1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Точно так же Сг и и составляют разбиение ~г промежутка [а, Ь], удовлетворяющее условию: ]Щ < 6. Из определения сумм Римана — Стилтьеса следует, что Ей, У, д) = Е(6, Х, д) + Е(гь,|, д), Е(ьг У д) = ЕЫг, У, д) + Е(Ч, 1, д). В силу выбора 6 > О имеют место неравенства: ] Е((г, Х,д) — Х] < ег и ]Е(~г,Х,д) — Х] < ег. Отсюда ]Е(~1,,Хд) — Е(~г,Уд)] < еь+ег — — е.
Осталось заметить, что Е(('г,У,д) — Е(6,У,д) =Е(6 Л д) — Е(6 У д) и, таким образом, мы получаем, что для любых двух пунктироваииых разбиений с1 и сг промежутка [а, с], удовлетворяющих условиям Цг [] < 6 и Цг]] < 6, выполняется неравенство: [Е®,У,д) — Е(сг,У,д)[ < е. 446 Гл. 8. Интегральное исчисление ва параметризованных кривых в К" Таким образом, мы получаем, что для функции С ь Е(С, 1, д) пунхтированных разбиений отрезка [а,с] выполняется критерий Коши— Больцано существования конечного предела при [[Ц -+ О.
Тем самым установлено, что функция 1 интегрируема относительно функции д по промежутку [а, с]. Интегрируемость функдии 1 относительно д по промежутку [с, Ь] устанавливается аналогичными рассуждениями. Положим (УИ) ФИ)) 1 = (У(~) Ф(~)). а с Пусть (с„)„еи и (О„),ен суть последовательности пунктированных разбиений промежутков [а, с] и [с, Ь], соответственно, такие что Ц„[[ — ~ 0 и [~О„[[ -+ 0 при и — + оо. Обозначим символом ~„пунктированное разбиение промежутка [а, Ь], составленное из пунктированных разбиений с, и л„. Очевидно, [[~ [~ — + 0 при м — + оо. При каждом г Е И имеем: ЕЫ. 1 д) = Ю. 1 д) + Т(ч 1 д). (3.20) При и — оо, очевидно, имеем: Е(~„~,д) — ~ 1, Е(С„,1,д) — 11 и Е(0,1,д) — ~ Хз. Переходя в равенстве (3.20) к пределу, при и — оо получим 1 = 11 + 1з. Предложение доказано.
Ф Ф Предложение 3.5. Пусть функция 1": [а, Ь] — И" интегрируема в смысле Стилтьеса относительно функции д: [а, Ь] — И" по промежутку [а,д]. Тогда функция 1" интегрируема в смысле Стилтьеса относительно функции д по любому промежутку [а, р] С [а, Ь] и функции отрезка, определенная равенством Ф(ь) = (У() Ф()) а где Ь = [а, ~3], является аддитивной. Данное утверждение представляет собой очевидное следствие предложения 3.4. Ф Следующая теорема устанавливает некоторые у с л о в и я, выполнение которыхдляданныхфункций 1 и д га анти ет с ествование интег ала Стилтьеса.
3 3. Ллнна параметризованной кривой. Понятие интеграла Стнлтьеса 447 Доказательство. Пусть | — непрерывная функция, д — функция ограниченной вариации на промежутке [а, Ь]. Положим М=~/д. а Так как функция У непрерывна, то она равномерно непрерывна на промежутке [а, Ь]. е Зададим произвольно е > О, и пусть е1 = . Очевидно, е1 > 0 +1 и в силу равномерной непрерывности функции по нему найдется Б > 0 такое, что для любых х1, хз Е [а, Ь] таких, что [х1 — хе[ < 2Б, выполняется неравенство: ]~(х1) — у(хз)] < е1. Зададим произвольно пунктированные разбиения Ь' и и промежутка [а, д] такие, что )Щ < Б и [[и[[ < Б.
Пусть ~ есть разбиение промежутка [а, Ь], получаемое, если к узлам разбиения С добавить все узлы разбиения и. Пусть Ьи 1 = О, 1,..., й, суть узлы разбиения (, Ц, г = 1, 2,..., Й, — его отмеченные точки, ид, д = 0,1,...,1, — узлы разбиения О, йч д' = 1,2,...,1, — отмеченные точки пунктированного разбиения и. Имеем: (3.21) Е(О, ~, д) = ~ . (~(йр), д(ид) — д(ия 1)). (3.22) Пусть ее,и1,...,и 1,и — узлы разбиения ~. Рассмотрим промежуток [11 1,11]. Пусть ир — — Ц 1 < ир+1 « ич — — 11 — узлы разбиения 1,, лежащие между Ц 1 и Ц. Имеем: д(~') — д(Г1- ) = д( ) — д(пр) = ~ [д(и.) — д(и.— )]. (3.23) з=р+1 (Не исключается случай, когда д = р+ 1.
Тогда в правой части послед- него равенства будем иметь единственное слагаемое.) ° 2'еоремв З.В (о достаточном условии существования интеграла Стилтьеса). Если функция ~: [а, Ь] — + К" непрерывна, а д: [а, Ь] — 1 К" есть функция ограниченной вариации, то интеграл Стилтьеса функции у относительно функции д сугцествует. 448 Гл.
8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в Квв Подставляя представление для д(11) — д(Ц 1) в виде суммы, которое дается равенством (3.22), в правую часть равенства (3.20) при каждом г = 1, 2,..., й, получим: ЕЫ,У,д) =,) (У(н.'), д(гв) -д( .— )). в=1 (3.24) Промежуток [гв 1,е,] при всяком з = 1,2,...,т содержится в одном и только в одном из промежутков [Ц 1,11]. Пусть е,' есть отмеченная точка разбиения С, соответствующая атому промежутку [М; 1, 11], то есть / и, = Ф;. Аналогичным образом получим, что (3.25) в=1 В этом случае вв = й„где у таково, что имеет место включение: [гв 1,пв] С [ия 1,и1]. Этим Условием номеР У' опРеделнетсн однозначно.
Из равенств (3.23) и (3.24) получаем: ]Е(С,У,д) — Е(ц,У,д)[ < ~ [Ди,') — У(п,")[[д(е,) — д(п, 1)[. (3.20) в=1 [У(нв) У(нв ) [ < Е1 = для всех з = 1, 2,..., гл. На основании (3.25) отсюда вытекает, что [ЕЫ У д) — Е(0 У д)[ < ~~ + ]д(п.) — д(е.— Н= в=1 [д(п,) — д(п, 1)] < М < е. (3.27) в=1 При всяком з число е', есть точка промежутка [11 1, Ц], содержащего промежуток [п, 1,г,], а н," есть точка промежутка [из 1,из], содержа- ЩЕГО тОт жЕ ПРОМЕжУтОК [Ев 1, Ев].
Отрезки [и 1, и ] и [Ц 1, Ф1] имеют общие точки и каждый из них имеет длину, меньшую 6. Отсюда следует, что ]п,' — ив] < 26 при всяком з = 1,2,..., ги. В силу выбора 6 ) О, зто позволяет заключить, что 3 3. Пляпа параметризованной кривой. Понятие интеграла Стнлтьеса 449 Пля пунктированных разбиений с и и требовалось только, чтобы выполнялись условия: ]ф] < 6 и ]]и]] < 6. Число е > О было взято произвольно. Следовательно, мы получаем, что для всякого е > О можно указать 6 > О такое, что для любых двух пунктированных разбиений С и О отрезка [о, Ь], удовлетворяющих указанным условиям, выполняется неравенство: ] Е(6У д) — Е(О У, д)] < Таким образом, для функции С ~-+ Е(С, у, д), определенной на множестве всех пунктированных разбиений промежутка [а, Ь], выполняется кригперий Коши — Больаано сушестпвованил конечного предела при Щ] — + О. Следовательно, с у щ е с т в у е т конечный предел: Согласно определению, этот интеграл и есть антее ал Стилтьеса и относительно Теорема доказана.
° Во многих вопросах бывает полезна оценка интеграла Стилтьеса, устанавливаемая следующей леммой. (Заметим, что слово «оценка» в математике имеет смысл, не вполне совпадающий с тем, который ему придается в обычном словоупотреблении. Как правило, под оценкой в математике понимается некоторое неравенство, позволяющее делать определенные заключения качественного характера о том или ином математическом объекте.) | ь ь (1(х), дд(х)) < Б|/ д. (3.28) ° Лемма 8.1. Пусть ~: [а, Ь] -+ К" есть непрерыввал функция, д: [а, Ь] — ~ 1л" — функция ограличенной вариации. Пусть постояннал Б < оо такова, что ]Дх)] < Б для всех х Е [а,Ь].
Тогда имеет место неравенство: 450 Гп. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К~ Доказательство. Зададим произвольно пунктированное разбиение с отрезка [о, Ь]. Тогда определена величина: Имеем, очевидно: ) Е(6У д)] < ~ /(И'), д(~') — д(~'- )) /. При каждом г' = 1, 2,..., т выполняются неравенства: [О('), д(') - ('-.)) ~ < [М)[[д(.) -д('-.)[< ь[д(;) -д(; —.)[ Отсюда, суммируя по г зти неравенства, получаем: [ ЕЫ У д)) < 5,~ ]д(~*) — д(с - ) [ < Т ~/ д.
При Щ[ — ~ 0 величина [Е(с,У,д)[ стремится к пределу, равному интегралу от функции у относительно функции д. На основании теоремы о предельном переходе в неравенстве (см. 8 4 главы 6), из доказанного вытекает неравенство (3.28). Лемма доказана. ° ь ь | (У(1) дд(~)) = (УИ) д'И)) д~ (3.29) Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Тогда функция д является функцией ограниченной вариации, как следует из теоремы 3.5, откуда следует, что интеграл, стоящий в левой части равенства (3.29), для данных функций у и д определен.
и Теорема 3.7. Предположим, что функция у": [а,Ь) — К" непрерывна, а функция д: [о, Ь) — ~ К" непрерывна н дифференцнруема в основном в промежутке «а, Ь). Тогда если функция [д (г)«интегрируема по [а, Ь], то функция у ннтегрируема относительно д по промежутку [а, Ь], причем имеет место равенство: 3 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 451 Для произвольного отрезка Ь = [а, ~3] С [а, Ь] положим: Функции отрезков 1(Ь) и Я(Ь), определенные таким образом, являются аддитивными.
Так как функция 1: [а, Ь] — ~ К" непрерывна, то она является ограниченной. Пусть 1 < оо таково, что [1(1)] < 1 для всех Ф Е [а, Ь]. В силу леммы 3.1, для всякого промежутка Ь = [а,)3] имеем: [1(Л)] < Ь|/ д = ЬЯ(Ь). 1(1а) — (Д~о), д()3) — д(а)) = д(1з). Применяя предложения 3.2 и 3.3, получим, что д(1з) = (У(г) — У(го), Ид(г)). а Отсюда, в силу леммы 3.1, следует, что имеет место неравенство: [д(Ь)] < соЩ)Я(О,). 1(1з) д(фУ) — д(а) д(Ь) = (У(го), „) + (3.30) Аддитивная функция отрезка Я является непрерывной, откуда следует непрерывность аддитивной функции отрезка 1. Пусть точка 8о Е [а, Ь] такова, что функция д дифференцируема в точке Фе и ]д'(Фо)[ является п л о т н о с т ь ю аддитивной функции отрезка Я. Множество точек Ф, для которых эти условия не выполняются, не более чем счетно.
Для Ь > 0 пусть м(Ь) есть точная верхняя граница величины [1(Ф) — 1(йе)[ на множестве всех значений М Е [а, Ь] таких, что [г — Мо[ < Ь. В силу непрерывности функции 1, ы(Ь) -+ 0 при Ь вЂ” ~ О. Пусть Ь = [а,д] С [а,Ь] есть произвольный отрезок такой, что ~о е 1з, и длина [1г[ отрезка 1з не превосходит Ь. Положим: 452 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в 2~ Так как функция д дифференцируема в точке Фо, то выражение при [гд! — + 0 стремится к конечному пределу, равному (у(го), д'(Фо)).
Далее, имеем: Ф вЂ” !Ф~ "~) < «~!) ( ) (3.31) При [Ь! — ~ 0 величина юЩ) стремится к нулю. Так как функция отрезка Яимеет в точкеФо конечную плотность, то отношение й~1) стремится к конечному пределу при ]гз! -+ О. Отсюда вытекает, что правая часть неравенства (3.31) стремится к пределу, равному нулю. д(сх) Это позволяет заключить, что отношение — стремится к нулю при Ф ]Ь! — + О. В результате получаем, что правая часть равенства (3.30) при ]гз! — + 0 стремится к пределу, равному (У(го), д'(го)). Е(ьз ) Таким образом, предел 1пп существует и равен (у(го),д'(го)). Д-со [Ь! Следовательно, аддитивнвя функция отрезка 1(Ь) непрерывна в каждой точке промежутка [а, Ь] и имеет в промежутке [а,д] плотность, равную (~($),д'(Ф)) всюду, кроме, может быть, точек, образующих не более чем счетное множество. Отсюда вытекает, что Теорема доказана.
° Пусть У есть открытое множество в пространстве К" и Р есть линейная дифференциальная форма с непрерывными коэффициентами, определенная на множестве У. Для произвольной точки х Е У и всякого вектора х = (гыхз,...,я ) Е К" имеем: Обозначим символом Р*(х) вектор (Гг(х),гз(х),...,Г„(х)) в пространстве зк . Тогда для всякого вектора х Е К имеем: Е(х, х) = (Р'(х), х). 453 З 4.
Общее понятие кривой На множестве У, таким образом, определено некоторое векторное поле х ~ Г*(х). Будем говорить, что векторное поле Р*(х) является сопряженным линейной форме Е(х). Пусть х: [а,'о] — + К" — произвольный спрямляемый путь, лежащий в множестве У. Вектор-функция Р*[х($)] непрерывна, 8 х(й) есть функция ограниченной вариации. Отсюда, в силу теоремы 3.6, вытекает, что определен интеграл Стилтьеса: | ь (Е* [х(й)], дх(й) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
