1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Таким образом, можно сказать, что две нормальные параметризованные кривые в метрическом пространстве М определяют одну и ту же кривую в том и только в том случае, если они эквивалентны. Чтобы задать кривую в метрическом пространстве, достаточно у к а з а т ь некоторую нормальную параметризованную кривую. 462 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Исследование геометрических аспектов понятия кривой опирается на следующее предложение. Доказательство.
Пусть выполнены все условия леммы. То, что функция ф является строго возрастающей, доказано ранее (см. замечание, предшествующее лемме 4.2). Пусть х: [а,д] — М и у: [с,д] — + М вЂ” нормальные параметризованные кривые. Предположим, что, вопреки утверждению леммы, существуют две различные непрерывные неубывающие функпии 1Ь1 и ф2, определенные на промежутке [с,д] и такие, что 1р1(с) = ф2(с) = а, ф1(д) = ф2(д) = Ь, и для всех и Е [с, д~ выполняются равенства: у(и) = х[ф1(и)] и у(и) = х[1р2(и)].
(4.1) По доказанному, функции ф1 и 1Ь2 — строго возрастающие. Функция х = ф2 с ф1 ' является непрерывной и строго возрастающей. Она отображает промежуток [а,Ь] на себя. Так как, согласно предположению, функции у11 и ф2 — различны, то функция ~р не является тождественным отображением отрезка [а, Ь] на себя. Имеем: у(и) = х[у11(и)]. Полагая здесь и = ф1 (1), где $ Е [а, Ь], получим: Подставляя во второе из равенств (4.1) значение и = у1 ~(1), получим: 'И) = '[р(~)]. (4.2) Функция у не является тождественным отображением промежутка [а, Ь] на себя, то есть существуют значения 1 Е [а, Ь], для которых равенство Ф = у(1) — не выполняется.
Пусть|1 естьодноизтакихзначений Положим 12 = ~р(11). Имеем 12 ф. 11. В то же время выполняется равенство х(~2) = х[~2(~1)] = х(11) ° ° Лемма 4.3. Пусть х: [а,д] — М и у: [с,д] — ~ М вЂ” нормальные параметризованные кривые в пространстве М. Предположим, что существует непрерывная неубывающая функция 1р: [с, д] — ~ К такая, что у1(с) = а, ф(а) = Ь, и для всех и Е [с,а] выполняется равенство: у(и) = х[ф(и)]. Фувхция ф является строго возрастающей и для данных нормальных параметризованных кривых х и у может существовать только одна функция 1р, удовлетворяющая указанным условиям. 463 З 4. Общее понятие кривой Пусть [а, Д] есть промежуток, концами которого являются точки 1, и 1г.
Так как функция х является нормальной, то, согласно определению, она не постоянна на промежутке [сз, Д] и, следовательно, найдется значение т Е [а, Д такое, что х(т) ф х(зг). По индукции, построим некоторые последовательности значений параметра (1„)„ен и (т„)„еи. Полагаем: зг = 1о($г), Фз = ~р($г) и, вообще, Ф ег = ~р(1„). Палее, положим т1 = т. Если для некоторого и точка т„ определена, то пусть т„+1 = ~р(т„).
Функция <р — строго возрастающая. Точка т = т1 лежит между 8г и 1г Если 4г < т1 < $г, то Мг = ~р(гг) < у(тз) < Р(Зг), то есть 1г < тг < 1з Палее, индукпией по и, устанавливается, что последовательность ($„)„ен является возрастающей, причем $„< т„< $ +г при каждом и. В случае, когда гг > 1г, точно так же устанавливается, что последовательность (з„)„ен является убывающей, причем т лежит между Ф и 1„+г при любом и. Из равенства (4.2) следует, что х(1„) = х[1е($„)] = х(1 +1) х(т„) = х[~р(т„)] = х(т„.+1) при каждом и, откуда, по индукпии, х(з„) = х(гг) и х(т„) = х(т) для всех значений и Е М. Из доказанного следует, что существует предел: йш з„= йо й [а, Ь].
и оэ Так как т„лежит между г„и 1„+ы то также и т — зе при и — оо. В силу непрерывности функции х, получаем, что х(1о) = 11ш х(1„) = 1пп х(т„). Отсюда, в частности, следует,что р[х(З„), х(т„)] — ~ О при и — оо. Но, как вытекает из построения, р[х($„), х(т„)] = р[х($г),х(т)] > О при каждом и. Тем самым получено п р о т и в о р е ч и е.
464 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметрнзованных кривых Таким образом, д о и у щ е н и е, что существуют две различные непрерывные неубывающие функции 4з и 41, отображающие промежуток [с, д] на [а, Ь] и такие, что для всех и Е [с, а] выполняются равенства (4.1), и иве ит к и отиво ечию.
Отсюда следует, что для нормальных параметризованных кривых х: [а,Ь] — Мну: [с,д] — ~ МвпространствеМможет с ествовать самое большее — на неп ывная не бываю ая нк ия отображающая промежуток [с,д] на [а,Ь] и такая, что у(и) = х[ф(и)] для всех и Е [с,с(]. Лемма доказана. ° Рассмотрим некоторые дальнейшие вопросы, связанные здесь с понятием кривой.
Пусть К вЂ” кривая в пространстве М, х: [а, Ь] — М и у: [с, д] — М вЂ” какие-либо две ее параметризадии. Тогда, согласно данному здесь определению, каждая из параметризованных кривых х и у представляет собой безостановочный путь в пространстве М и эти пути эквивалентны. Отсюда следует, что существует непрерывная неубывающая функция 4:[с,д] -~ 2 такая,что 4(с) = а, ЦЙ) = Ь и Чи Е [с,д! у(и) = х[4(и)].
(4.3) Это позволяет заключить, что множества х([а, Ь]) и у([с, а]) с о ни ад аю т. Полагаем: х([а, Ь]) = у([с, с~]) = Бдрр(К). Множество тпрр(К) будем называть носителем кривой К. Непрерывная неубывающая функция 4~, удовлетворяющая условиям (4.3), согласно лемме 4.3, — е д и н с т в е н н а. Пусть | Е [а, Ь] и и Е [с, а] таковы, что 4 = 4 (и).
Будем говорить, что 4 и и — соответствующие значения параметров в параметризациях х: [а, Ь] — М и у: [с, д] — ~ М кривой К. Пусть х: [а,Ь] — М есть произвольная параметризация кривой К в пространстве М. Возьмем произвольно значение 4 Е [а, Ь]. Будем говорить, что данное значение параметра 4 определяет точку Х = х(4) кривой К. Если у:[с,д] — М есть другая параметризадия кривой К и и — значение параметра, соответствующее Ф, то у(и) = х(г). Условимся считать, что и определяет ту же точку Х кривой К, что и значение ~.
Пусть даны кривая К и ее параметризадия х: [а, Ь] — ~ М. Для пром хая рр(к) . у~ * * ьчдрк и ° ния параметра 4 такого, что х(4) = Х. Пусть, например, пространство М с о в и а д а е т с множеством всех вещественных чисел И. 465 З 4. Общее понятие кривой Р а с с м о т р и м функцию з: г Е [О,к] н згп г Е 2. Функция з определяет некоторую кривую в пространстве й. При ~, меня- и ющемся от 0 до —, точка з(1) = пп 8 пробегает отрезок [О, Ц, двигаясь 2' в нап авлении от 0 о 1 а при дальнейшем изменении параметра точка з($) пробегает тот же отрезок, но — в об атном нап авлении. В рассматриваемом случае множество Бпрр(К) есть отрезок [О, Ц. Пусть Х Е [О, Ц. Тогда если Х ф 1, то существуют два различных значения 1 е [О, к] таких, что з(1) = Х. Точка кривой есть объект, который определен, если указана точка Х носителя кривой,и для всякой параметризации х:[а,Ь] — М данной кривой указано значение параметра Ф е [а,Ь] такое, что х(ь) = Х.
При этом должно выполняться условие: значения параметра, соотносимые разным параметризапиям кривой, должны быть соответствующими, то есть переходить одно в другое при замене параметра, превращающей одну из данных параметризаций в другую. Пусть К есть кривая в метрическом пространстве М, х: [а, Ь] — М вЂ” произвольная параметризация кривой К. Точки кривой .К, соответствующие значениям а и Ь, называются концевыми точками кривой. При этом точка, отвечающая значению параметра Ф = а, называется началом кривой К, а точка, отвечающая значению параметра 1 = Ь,— концом кривой К. В заключение этого раздела приведем теорему, которая позволяет распространить понятие эквивалентности на параметризованные кривые, не удовлетворяющие условию нормальности.
(Доказательство теоремы, как и было сказано выше, опускается, ввиду его громоздкости.) ° Теорема 4.1. Пусть х: [а, Ь] — М есть произвольный путь в метрическом пространстве М. Тогда если функция х не является тождественно постоянной на промежутке [а, Ь], то существуют безостановочный путь с: [О, Ц вЂ” ~ М и непрерывная неубывающая функция ф: [а,Ь] — ~ К такая, что ф([а, Ь]) = [О, Ц и для всех Ф Е [а, Ь] имеет место равенство: х(й) = с[ф(Ф)]. Если безостановочные пути (: [О, Ц вЂ” ~ М и ц: [О, Ц вЂ” ~ М таковы, что путь х может быть получен из каждого из них заменой параметра, то пути С и ц эквивалентны.
4.3. НАтурАдьиАя пАгАмктгизА ии кривой Докажем, что длина параметризованной кривой при замене параметра сохраняется. ° Лемма 4.4. Если путь у: [с, д] — М в метрическом пространстве М получается из пути х: [а, Ь] — ~ М заменой параметра, то длины путей х ну равны. 466 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Локнзательстно. Пусть х: [а, Ь] — + М и у: [с, д] — М вЂ” пути в пространстве М такие, что у(и) = х[зр(и)] для всех и б [с,д], где 1Ь: [с, ьЕ] — ~ К есть неубывающая функция такая, что зЬ([с, 18]) = [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
