1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Величина х(во) в случае, рассматриваемом здесь, может принимать значения произвольного знака. Имеем: З 4. Общее понятие кривой где Л Е К. Из равенства (4.14) вытекает, что Л = зг(во). Таким образом, мы получаем формулу, связывающую кривизну и вектор нормали в точке кривой: Ф'(во) = зг(во)п(во). Напомним определение кривизны, данное в и.
4.5.1, а именно, согласно етому определению, кривизна в точке х(во) есть предел Й(во) отношения ' . Имеем: ~р(в,зо) = [д(з,зо)[. Отсюда вытекает, что ~р(в, зо) з — во кривизна к(зо) в смысле определения и. 4.5.1 связана с понятием кривизны плоской кривой определенным здесь соотношением: й(зо) = [зг(зо)]. Найдем выражение для кривизны регулярной плоской кривой относительно произвольной регулярной параметризации. Пусть х(т) = (х(т), у(Ф)) есть регулярная кривы класса С на плоскости Ж~.
Пусть Дз),з Е [О,Ь], есть натуральны параметризация кривой. Имеем: х(т) = С[в(г)]. Как и выше для кривых в И", получаем: х' = ~в', х" = Явв) + ~вв'. Отсюда х' х х" = (с х с)(з') . Осталось заметить, что с х с = ь х ж(х)п = гг(з)к х и = гт(во), а з' = [х'[. В результате получим: [х~[з [(х~)г + у)г]зуг ' Значения производных справа берутся для значения 8 = 1о, для которого в(Фо) = во. 4.5.4.
Рассмотрим некоторую интегральную характеристику кривой. Пусть Х есть регулярная кривая класса С", где т > 2. Пусть х: [О,Ц вЂ” + Ж" есть натуральная параметризация кривой Х и к(з)— кривизна в точке х = х(з) данной кривой. Функция Й(з) переменной з Е [О,Ь] непрерывна и, значит, определена величина к(з) йз. о 484 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Положим: й(Х) = к(з) Нз. о (4.18) /Ф (з) [ = [х (з) [ = к(з).
Отсюда и из равенства (4.15), определяющего величину й(К), вытекает, что если кривая К принадлежит классу Сз, то й(К) = [С'(з)[дз. о Мы получаем, что в этом случае поворот кривой К равен длине ее индикатрисы касательных. Это подсказывает нам с п о с о б оп еления ново ота к ивой ля сл чая к ивых класса С~. Мы можем определить его как лин ин икат усы касательных анной к ивой. Такой способ имеет, однако, тот недостаток, что он применим только к регулярным кривым класса С~. Определение, имеющее смысл для произвольных кривых, мы получим, используя некоторое о б о б щ е н н о е понятие касательного орта.
Приведем описание того, как может быть определена интегральная кривизна кривой по А. Л'. Александрову, опуская доказательства, которые оказываются сравнительно трудоемкими. Понятие интегральной кривизны кривой представляется почти столь же классическим, как и понятие длины кривой. Теория, посвященная изучению свойств кривых, связаннь|х с понятием интегральной кривизны кривой, известна, Будем называть й(К) интегральной кривизной или поворотом кривой К. Понятие поворота кривой в пространстве К может быть распространено на случай произвольных кривых, как было показано А.
Л. Александровым еще в 1947 г. Приведем нехоторые соображения наводящего характера. Пусть К есть регулярная кривая класса С, х: [0,Ц вЂ” ~ й" — ее натуральная параметризация. Тогда (см. выше) для всякого з Е [О, Ц определен единичный вектор $(з) = х'(з). Тем самым определена некоторая параметризованная кривая Ф: [О, Ь] -+ К". Лля всех з имеем: [Ф(з)[ = 1, и, стало быть, эта кривая лежит на сфере Я(0,1) пространства К". Эта кривая называется индикатрисой касагаельных кривой Х.
Если кривая К принадлежит классу С~, то вектор-функпия Ф(з) = х'(з) — дифференцируема. При этом 485 З 4. Общее понятие кривой однако, лишь узкому кругу специалистов. Единственная публикация, содержащая полное изложение этой теории, — вышедшая в 1989 г. монография А. Л. Александрова и Ю. Г. Решетняка "сепега1 Т1геогу о1 1ггейп1аг Сш чез." Пусть К есть произвольная кривая в пространстве Ж". Зададим произвольно нормальную параметризацию х : [а,Ь] — Е" кривой Х.
Если вектор-функция х является регулярной класса С, то под интегральной кривизной кривой будем понимать длину ее индикатрисы касательных. Если же вектор-функция х не принадлежит классу С, то индикатриса касательных не может быть построена. Пусть х: [а,д] — + К" есть произвольный безостановочный путь в пространстве и' . Зададим произвольно значение го Е [а, Ь]. Вектор $ будем называть частичным касательным ортом пути х в точке го, если выполнено следующее условие. Сугцествует последовательность значений параметра (1„) ен талая, что х(1„) ф х(го) лри каждом п, г„— го при п — + оо и векторы (4.19) 4„ = С(ГО,Г„) при и — оо сходятся к вектору Ф. П у т ь х имеет,по крайней мере, один частичный касательный орт в точке х($о) при любом 1о Е [а, Ь].
Лействительно, пусть (г„)„ен есть произвольная последовательность значений г из промежутка [а, Ь] такал, что при каждом и точка х(г„) отлична от х(го) и г„— + го при и -~ оо. При каждом и Е 1ч определен единичный вектор 4„= С(го,г„). Таким образом, мы имеем последовательность векторов (Ф ) ен, где вектор Ф определяется равенством (4.19). Векторы Ф все лежат на единичной сфере Я(0, 1) пространства Гк". Эта с ф е р а представляет собой компактное множество, и, значит, из последовательности ($ ) ен можно извлечь сходящуюся подпоследовательность (глава 6, теорема 6.4). Предел этой подпоследовательности, очевидно, будет частичным касательным ортом в точке х(го). Будем называть цепочкой касательных ортов кривой х всякую конечную последовательность векторов ~ = (Ко,йг,...,4 3, удовлетворяющую следующему условию.
При каждом 4 = О, 1, 2,..., т вектор Ф; является частичным касательным ортом пути х в точке г = гг, где числа г; удовлетворяют условиям: го < Фг < гз « . г . Векторы С; при этом называются элементами цепочки С, значения г; параметра à — узлами цепочки (. 486 Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Будем говорить, что цепочка касательных ортов С взята на промежутке (а,,о) С [а, Ь], если все ее узлы лежат в этом промежутке.
Пусть дана произвольная цепочка с касательных векторов параметризованной кривой х:[а,Ь] — ~ 2", с = (»о,»ы ...,» ). Полагаем: Предположим, что задан интервал (а,~3) С [а,Ь]. Точную верхнюю границу сумм Й(х, с) на множестве всех цепочек с, узлы которых Ц лежат в интервале (сг, ~3), будем обозначать символом Й'~х и называть поворотом или интегральной кривизной кривой х на промежутке (а,~З). Точную верхнюю границу величин Й(х, с) на множестве всех цепочек с касательных векторов пути х будем называть поворотом или интегральной кривизной параметризованной кривой х и обозначать символом Й(х).
О т м е т и м, что в данном определении не предполагается существование касательных ортов в обычном понимании в точках пути х. Заметим еще,что если нормальные параметризованные кривые х: [а,Ь] — й" и у: [с,д] — + В" — эквивалентны и и есть частичный касательный орт пути х в точке х(»), то и является частичным касательным ортом пути у в точке, отвечающей х(»), согласно определению эквивалентности. Это позволяет заключить, что Й'.
х = Й," у. Величина Й, х, следовательно, не зависит от выбора параметриь зации кривой К. В связи с этим будем называть эту величину интегральной кривизной или поворотом кривой К, параметризацией которой является путь х, и обозначать ее символом Й(К). Легко проверяется, что в случае, когда кривая К является кривой класса С1, величина Й(К) равна лине ин икат исы касательных к ивой К. Р а с с м о т р и м еще случай, когда кривая К является замкнутой, то есть для любой ее параметризации х: [а, Ь] — К" выполняется равенство: х(а) = х(Ь).
Пусть с есть произвольная цепочка касательных ортов, пн» = О, 1, 2,..., т, — элементы этой цепочки. В этом случае полагаем: Й(х,с) =~~~ г'(и; ып;)+г'.(п,пв). З 4. Общее понятие кривой 487 Поворот замкнутой кривой определим так же, как точную верхнюю границу величин Й(х, С) на множестве всех цепочек касательных ортов кривой. Понятие поворота кривой допускает также другое определение, использующее только представления, относящиеся к элементарной геометрии. Параметризованная кривая х: [с, а] — й" называется параметризованной ломаной, если существует конечная последовательность значений 4в = а < $1 « .
Ф, 1 < Ф, = Ь такая, что при каждом г' функция х на отрезке [Ц м Ф;] допускает представление: Ф вЂ” Ц х(4) = а, г+р, Л( где Л; = Ф; — Ц г, а р; ф О. Очевидно, а, = х(г;) при каждом 4 = =0,1,2,...,т и р; = а; — а; г. Векторы р, называются звеньями ломаной, точки а; — ее вершинами. Кривая называется ломаной, если она допускает параметризацию, которая представляет собой параметризованную ломаную. Легко проверяется, что у всякой ломаной поворот конечен.
При этом имеет место равенство: П~(х) = > л-(Рп Р1+г). (4.20) а=1 (В случае, если ломаная замкнута, к последней сумме следует добавить еще одно слагаемое, а именно, — угол между векторами р и р1.) Пусть х: [а, Ь] -+ К" — произвольный безостановочный путь в пространстве К". Параметризованная ломаная у: [а, Ъ] — + 2" называется ломаной, вписанной в кривую х, если существует последовательность значений параметра Фе — а < Ф1 « ° ° ° 1 1 < Ф = Ь такая, что точки а; = х(4;) = у(Ф;) являются последовательными вершинами параметризованной ломаной у. Пусть Х есть кривая, параметризацией которой служит путь х, Ь вЂ” ломаная, имеющая параметризацией путь у.
Будем говорить, что Ь есть ломаная, вписанная в кривую К. Имеет место следующая теорема, принадлежащая А. Д. Александрову. ° Теорема 4.3 (теорема Александрова). Поворот произвольной кривой К в пространстве м'" равен точной верхней границе поворотов ломаных, вписанных в эту кривую. Если поворот кривой Х конечен, то 488 Гл.
8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых в )а" кривая К спрямляема. Прн этом если кривая К содержится в замкнутом шаре радиуса гь в пространстве )х'", то длина Х кривой К допускает оценку Х ( Ф [й(К), Н], где Ф есть некоторая функция двух переменных. Доказательство теоремы 4.3 оказывается сравнительно громоздким и по этой причине не может быть здесь приведено. 3 а м е ч а н и е. Явное выражение для функции Ф известно (здесь оно не приводится).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
