1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Лля всех Ф е [а, Ь] выполняется неравенство: з (г) > О. П о к а ж е м, что с есть натуральная параметризация кривой К. Имеем: Ы'( )] = ] Ъ(з)Пф'(з) Согласно определению 4(, з[((((з)] ив з ж Отсюда з'[ф(з)]у('(з) = 1. Но з'[ф(з)] = [х'[у((з)]] и, следовательно, мы получаем, что ]с'(з)[ = 1. Отсюда следует, что для всякого з Е [О, Ц имеет место равенство: Согласно определению, это и означает, что ~ есть натуральная параметризация данной кривой К. Теорема доказана. ° У Следствие. Пусть х: [а,Ь] — И" и у: [с,д] — + К" суть регулярные кривые класса С в пространстве 2 .
Предположим, что этв параметризованные кривые эквивалентны. Тогда у(и) = х[(р(и)], где (з есть строго монотонная функция класса С", отображающая промежуток [с,(1] на [а, Ь!. З 4. Общее понятие кривой 473 у(и) = х(я [а(и))). Функция я 1 о а является строго возрастающей. Она принадлежит классу С" как с у и е р и о з и ц и я двух функций класса С" и отображает промежуток [с, с() на промежуток [а, Ь]. В силу леммы 4.3, отсюда следует, что я о а = р, что и требовалось доказать. -1 Следствие доказано. Приведем некоторые определения, относящиеся к общему случаю произвольной параметризованной кривой в пространстве К".
Сначала отметим следующее. Пусть даны вектор и ф 0 и точка а Е К". Множество р всех точек х Е К", допускающих представление: х = Дг) = а+гп, где г Е К есть некоторая прямая в К". Имеем: а = ~(0), так что а Е р. Мы будем говорить, что р есть прямая, проходящая через точку а и коллинеарнвл вектору и. Чтобы ввести понятие касательного орта в точке кривой, определим некоторые вспомогательные понятия. Пусть х: [а, Ь] — К" есть произвольная параметризованная кривая в пространстве К".
Предположим, что значения параметра г1, гг Е [а, Ь] таковы, что х(гг) ф х(гг). Тогда определен вектор: х(12) — х(11) если гг ( гг, [х(гг) — х(я1)) х(Гд) — х(1г) (4.10) если г1 > Мг. ]х(8г) — х(гг)) ' Л л и н а вектора я(г1, 1г) равна единице и он направлен от точки, соответствующей м е н ь ш е м у из значений Гг и гг, к точке, которая отвечает б о л ь ш е м у из этих двух значений.
Пусть х: [а, Ь) — К" есть произвольный нормальный путь в пространстве К . Зададим произвольно значение $о Е [а, Ь]. Оп елим понятия левого и авого касательных о тов в точке кривой. Доказательство. В доказательстве нуждается только утверждение, что функция р принадлежит классу С'. Кривые х и у являются параметризациями одной и той же регулярной кривой Х класса С'. В силу теоремы 3.5, эта кривая спрямляема. Пусть ~: [О, Х] — + К" есть натуральная параметризация кривой Х.
Тогда х(г) = С[я(г)), а у(и) = Я[сг(и)], где я и о — строго возрастающие функции, отображающие промежутки [а, Ь], и, соответственно, [с, д) на [О, Ц. Имеем, очевидно: Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Вектор Ф называется левым касательным ортом пути х в точке Фо и обозначается символом к (1о), если 1о > а, и выполнено условие: существует 6 > О такое, что для всякого 1 Е [а, Ь], удовлетворяющего неравенствам $о — 6 < Ф < Фо, точка х(Ф) отлична от точки х(Мо) и 8 = Бщ Ф(Ф,Фо).
с ьо-о Вектор к называется правым касательным ортом пути х в точке 1о < Ь и обозначается символом ь" ($о), если существует 6 > О такое, что для всякого Ф Е [а, Ь], удовлетворяющего неравенствам 1о < Ф < Фо + 6, точка х(Ф) отлична от точки х(Фо) и 11гп Ф(с, ~о). з во+о Вектор Ф называется хасатлельвым ортом в точке Фо пути х и обозначается символом Ф (1о), если существует 6 > О такое, что для любого 1 нз промежутка [а, Ь], отличного от Мо и такого, что [г — $о~ < 6, точка х(Ф) отлична от точки х(Фо) н к = 11гп Ф(г,Мо). ь ьо Р а с с м о т р и м специально тот частный случай, когда рассматривается регулярная кривая Х класса С', где т > 1.
Пусть х: [а, Ь] — К" есть регулярная параметризация класса С" кривой Х. Условие регулярности класса С' означает, что вектор-функция х имеет непрерывную производную порядка г, причем первая производная х'(Ф) отлична от нуля для всех Ф Е [а, д]. Лля всякого Фо Е [а, Ь! имеем: х(~) х(~0) ьо г — го Отсюда следует, что найдется 6 > О такое, что при ]ь' — го] < 6 разность х(з) — х(го) отлична от нуля. Нля таких значений 1 определен вектор ь(1, Фо). Легко проверяется, что к(Ф, йо)— х(Ф) — х(Фо) ]х(ь) — х(Фо) ! ~ — ~о [г — Йо [ 475 З 4.
Общее понятие кривой Отсюда вытекает, что рассматриваемый путь х: [а, б] — К" имеет в точке х(Со) касательный орт, причем значение этого орта равно х'(Со) ]х'(Со)[' В заключение сделаем еще одно замечание, которое будет использовано в дальнейшем. Пусть К есть регулярная кривая класса С' и С: [О, Ц вЂ” ~ К" есть ее натуральная параметризация, 1 — длина кривой. Тогда для всякого в Е [О, Х] определен касательный орт кривой С(в) кривой К в точке С(в). При этом С(в) = с'(в) для любого в Е [О, Ь]. В частности, в данном случае ]ф (в)] = 1 для всех в Е [О, Х]. 4.5. КРИВИЗНА КРИВОЙ Зля всякой регулярной кривой класса С" в пространстве К" определим величину, характеризующую меру искривленности кривой.
Предварительно рассмотрим некоторые вопросы, связанные с понятием угла между векторами в пространстве К". Пусть вектор С является либо левым, либо правым касательным ортом в точке х(Со) параметризованной кривой х: [а, о] — К". Прямая 1, проходящая через точку х(Со) и коллинеарная вектору С, называется касательной в точке х(Со) параметризованной кривой х: [а, О] — К", левой касательной, если С есть левый касательный орт в этой точке, правой касательной, если вектор С является правым касательным ортом данной кривой в точке х(Со). Прямая 1 есть совокупность всех точек г Е К", представимых в виде: г = х(Со) + (С вЂ” Со)С В случае, если в точке х(Со) параметризованной кривой левый и правый касательные орты совпадают, то левая и правая касательные кривой в этой точке представляют собой одну и ту же прямую, которая называется касательной в точке х(Фо) параметризованной кривой х: [а,Ц -+ К".
Приведем необходимые определения и установим некоторые простейшие свойства углов между векторами. Лля каждой пары (а, Ь) ненулевых векторов в пространстве К" определим некоторое число л.(а, Ь), которое будем называть углом между данными векторами. Пусть а ф 0 и Ь ф О. Тогда [а] > 0 и [Ь[ > О. В силу неравенства Коши — Буняковского (см. главу 4, следствие теоремы 8.6), имеем: )(а,Ь)] < ]а[ [Ь!, и, значит, имеют место неравенства: — 1« — '1 (а, Ь) ]а] ]Ь[ Гл. 8. Интегральное исчисление на параметризованных кривых Полагаем ~(а,Ь) = агссое ~ ' ) . ~, |а| |Ь!) В случае п = 2 и п = 3, в силу известных результатов аналитической геометрии, данное определение полностью согласуется с обычным геометрическим определением угла. Из определения следует, что значение угла между ненулевыми векторами а и Ь не изменится, если умножить данные векторы на произвольные положительные числа.
Пусть р = Л(а,Ь). Тогда из определения угла непосредственно вытекает равенство: (а,Ь) = |а||Ь|сов~р. Р а с с м о т р и м особо случаи, когда для данных ненулевых векторов а и Ь угол у = Л(а, Ь) равен либо О, либо я. Пусть сз = О. Тогда сов р = 1 и, значит, для данных векторов а и Ь имеет место равенство (а,Ь) = |а||Ь|, то есть неравенстпво Коши — Буняковского для данной пары векторов обращается в равенство! Для всякого ~ > О имеем: |а — ФЬ! =(а — еЬ,а — $Ь) = |а| — 21(а,Ь)+М |Ь| = |а| — 2й|а||Ь|+з~|Ъ! = (|а| — Ф|Ь!) . Последнее выражение обращается в нуль для 2 = —. Для этого 1, |а| |Ь| следовательно, мы получаем: |а — 1Ь! = О и, значит, а = ~Ь. Таким образом, мы получаем, что если гол меж анными векто ами а и Ь авен н лю то о ин из них по чается из гого мно- жением на положительное число. Легко проверяется, что и о б р а т н о, если а = ФЬ, где 1 > О, то гол меж векто ами ау Ь авен н лю.
В случае, когда угол между а и Ь равен я, аналогичным образом устанавливается, что а = ФЬ, где г ( О. (Формально, этот случай легко сводится к предыдущему, если заметить, что (а, -Ь) = — (а, Ь).) Для углов между векторами справедливо некоторое неравенство, устанавливаемое в следующей лемме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
