1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Пусть f : [a, b] → R — дифференцируемая функция. Для того, чтобы онабыла выпуклой (строго выпуклой), необходимо и достаточно, чтобы функция f ′ быланеубывающей (возрастающей).•Теорема. Пусть f : [a, b] → R — дважды дифференцируемая функция. Для того, чтобыf была выпуклой (строго выпуклой), необходимо и достаточно, чтобы f ′′ (x) > 0 (f ′′ (x) >0) для всех x ∈ (a, b).•Пусть f : (a, b) → R — дифференцируемая функция и x0 ∈ (a, b).

Если существует δ > 0,такое, что функция f выпукла на (x0 − δ, x0 ) и вогнута на (x0 , x0 + δ) или вогнута на (x0 −δ, x0 ) и выпукла на (x0 , x0 +δ), то x0 называется точкой перегиба функции f . Очевидно, чтоесли f дважды дифференцируема, то её вторая производная в точке перегиба обращаетсяв нуль.Теорема. Пусть функция f : (a, b) → R дифференцируема. Для того, чтобы f былавыпуклой, необходимо и достаточно, чтобы для любых x, x0 ∈ (a, b) выполнялось неравенство: f (x) > gx0 (x), где gx0 (x) — касательная (прямая) к f в точке x0 .•Следствие.

Пусть функция f : (a, b) → R дифференцируема. Для того, чтобы f былавыпуклой, необходимо и достаточно, чтобы для любых x, y ∈ (a, b) выполнялось неравенство: f (x) − f (y) > f ′ (y)(x − y).•Скажем, что график функции f : R → R имеет в точке a вертикальную асимптоту приx → a+ (при x → a−), если f (x) → +∞ или f (x) → −∞ при x → a+ (при x → a−).Прямая x 7→ g(x) = αx + β, α, β ∈ R, называетсянаклоннойасимптотой графика функ()ции f (x) при x → +∞ (при x → −∞), если f (x) − g(x) → 0 при x → +∞ (при x → −∞).Коэффициенты α и β, например, для случая x → +∞ вычисляются по следующим формулам:()f (x)α = lim,β = lim f (x) − αx .x→+∞ xx→+∞§ 5.5.

Классические неравенства анализа.Теорема. (Неравенство Йенсена) Пусть f : [a, b] → R — выпуклая функция и числаα1 , α2 , . . . , αn ∈ [0, 1] таковы, что α1 + α2 + . . . + αn = 1. Тогдаfn(∑)αk xk 6n∑αk f (xk )k=1k=1для любых чисел x1 , x2 , . . . , xn ∈ [a, b].•Если функция f строго выпукла, то равенство в неравенстве Йенсена достигается лишьтогда, когда x1 = x2 = . .

. = xn .Взяв в неравенстве Йенсена строго выпуклую на R+ функцию f (x) = − ln x, мы получимследующее неравенство:n∑xα1 1 xα2 2 · · · xαnn 6αk xk ,k=1которое справедливо, если x1 , . . . , xn ∈ R+ , α1 , . . . , αn ∈ [0, 1] иесли α1 = . . . = αn = 1/n, то√x1 + · · · + xnnx1 · · · xn 6.n3∑nk=1αk = 1. В частности,То есть, среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического.

Если мы положим n = 2, α1 = 1/p и α2 = 1/q, где p, q ∈ (1, ∞) и 1/p + 1/q = 1, то получим неравенствоЮнга:ap bqab 6+ ,pqсправедливое для всех a, b ∈ [0, +∞).Теорема. (Неравенство Гёльдера) Если p, q ∈ (1, ∞) и 1/p + 1/q = 1, тоnnn∑ (∑)1/p ( ∑)1/qpqxk yk 6|xk ||yk |k=1k=1k=1для любых наборов вещественных (и даже комплексных) чисел {x1 , . . .

, xn } и {y1 , . . . , yn }.•Теорема. (Неравенство Минковского) Если p > 1, тоn(∑|xk + yk |p)1/pk=16n(∑k=1|xk |p)1/p+n(∑|yk |p)1/pk=1для любых наборов вещественных (и даже комплексных) чисел {x1 , . . . , xn } и {y1 , . . . , yn }.•Глава 6. Интегрирование.§ 6.1. Неопределённый интеграл.Дифференцируемая функция F : (a, b) → R называется первообразной функции f :(a, b) → R, если F ′ (x) = f (x) при x ∈ (a, b).Очевидно, что первообразная определена неоднозначно.

Если F — первообразная функцииf , то F + C тоже является первообразной этой функции для любой константы C.Утверждение. Если F1 (x) и F2 (x) — первообразные функции f (x), то существует постоянная C, такая, что F1 (x) = F2 (x) + C для всех x.•Нахождение первообразной некоторой функции f является операцией, обратной дифференцированию. Эта операция называется неопределённым интегрированием, а её∫ результат — непределённым интегралом от функции f , которыйобозначаетсячерезf (x) dx.∫′Таким образом, если F (x) = f (x) для всех x ∈ (a, b),∫то f (x) dx = F (x)+C при x ∈ (a, b),где C = const. Мы будем считать, что в выражение f (x) dx уже включена произвольнаяпостоянная C.Мы не зря отмечаем, что функция f определена на интервале.

Если бы f была определенана объединении непересекающихся интервалов (a1 , b1 ) и (a2 , b2 ), то её первообразные F иG отличались бы на константу на каждом из этих интервалов, но, вообще говоря, несуществовало бы константы C, такой, что F (x) − G(x) = C для всех x ∈ (a1 , b1 ) ∪ (a2 , b2 ).По этой причине мы будем всегда предполагать, что функция f , у которой мы ищемпервообразную или неопределенный интеграл, определена на интервале.Дифференцируемость первообразной является довольно ограничительным условием.

Рассмотрим пример.4Пример.Пусть f (x) = sgn x на интервале (−1, 1), т.е.,−1, x ∈ (−1, 0),f (x) = 0,x = 0,1,x ∈ (0, 1).Первообразными данной функции на интервалах (−1, 0) и (0, 1) являются функции −x+C1и x + C2 соответственно. «Склеивая» эти функции по непрерывности в точке x = 0, мыполучим функцию F (x) = |x|+C. Нетрудно видеть, что F ′ (x) = f (x) во всех точках интервала (−1, 1) за исключением точки x = 0.

В этой точке функция F не дифференцируема.Таким образом, функция sgn x не имеет первообразной на интервале (−1, 1).•Этот пример показывает, что имеет смысл расширить понятие первообразной (и, как следствие, неопределённого интеграла). Непрерывная функция F : (a, b) → R называется первообразной функции f : (a, b) → R, если существует конечное подмножество E интервала(a, b), такое, что на множестве (a, b) \ E функция F дифференцируема и F ′ (x) = f (x).Согласно новому определению, неопределённым интегралом от функции sgn x на интервале (−1, 1) является функция |x| + C, где C — произвольная постоянная.Теорема.

(Линейность неопределённого интеграла) Пусть α, β ∈ R. Если на интервале(a, b) существуют неопределённые интегралы от функций f и g, то на этом интервалесуществует неопределённый интеграл от функции αf + βg и∫∫∫()αf (x) + βg(x) dx = α f (x) dx + β g(x) dx для всех x ∈ (a, b).•Теорема. (Формула интегрирования по частям) Если функции f и g дифференцируемы на (a, b), то∫∫′f (x) g (x) dx = f (x) g(x) − f ′ (x) g(x) dx для всех x ∈ (a, b).•Теорема. (Первая теорема о замене переменной) Если дифференцируемая на интервале (a, b) функция F является на этом интервале первообразной функции( f) : (a, b) → R,а φ : (c, d) → (a, b) — дифференцируемая функция,тофункцияt→7Fφ(t) является на() ′интервале (c, d) первообразной функции t 7→ f φ(t) φ (t) и∫()()f φ(t) φ ′ (t) dt = F φ(t) + Cдля всех t ∈ (c, d).•Теорема.

(Вторая теорема о замене переменной) Пусть функция f : (a, b) → R имеет на интервале (a, b) первообразную и φ : (c, d) →((a, b)) является биективным дифференцируемым отображением. Тогда функция t 7→ f φ(t) φ ′ (t) имеет первообразную наинтервале (c, d) и∫∫()для всех x ∈ (a, b).•f (x) dx = f φ(t) φ ′ (t) dtt=φ−1 (x)5§ 6.2. Определённый интеграл.Разбиением отрезка [a, b] ⊂ R назовём произвольное множество точек P = {x0 , x1 , . . . , xn },таких, что a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Далее будут приняты следующие обозначения:Ak = [xk−1 , xk ], λk = xk − xk−1 , λ(P ) = maxk=1,...,n λk .Разбиением с выделенными точками называется пара (P, ξ), где P — разбиение и ξ =(ξ1 , .

. . , ξn ) — набор точек, таких, что ξk ∈ Ak .Пусть заданы функция f : [a, b] → R и разбиение с выделенными точками (P, ξ) отрезка[a, b]. Величинаn∑σ(f, P, ξ) =f (ξk ) λkk=1называется интегральной суммой функции f , соответствующей разбиению (P, ξ).Определение.

Функция f : [a, b] → R называется интегрируемой по Риману на отрезке[a,такое число I ∈ R, что для любого ε > 0 найдётся δ > 0, такое, что b], если существуетσ(f, P, ξ)−I < ε для любого разбиения с выделенными точками (P, ξ), удовлетворяющегонеравенству λ(P ) < δ.Число I называется интегралом Римана (или определённым интегралом Римана) от∫bфункции f по отрезку [a, b] и обозначается a f (x) dx.•Фактически, это определение означает, что существует пределlim σ(f, P, ξ) = Iλ(P )→0и этот предел не зависит от выбора выделенных точек в разбиениях (P, ξ).

Используятеорему Гейне о пределе функции, это определение можно переформулировать следующимобразом: число I называется интегралом Римана функции f по отрезку [a, b], еслиlim σ(f, P m , ξ m ) = Im→∞для любой последовательности разбиений (P m , ξ m ), такой, что λ(P m ) → 0 при m → ∞.Заметим, что, как и в теореме Гейне, предел интегральных сумм должен быть одними тем же для любой последовательности разбиений.

Если мы установили, что функцияинтегрируема по Риману, то для вычисления интеграла достаточно посчитать предел покакой-либо одной последовательности разбиений.Множество функций, интегрируемых по Риману на отрезке [a, b], будем обозначать черезRim[a, b].Пример. Пусть α ∈ R и f ≡ α на [a, b] (т.е, f (x) = α для всех x ∈ [a, b]). Тогда∫ bf (x) dx = α (b − a).•aФункция f : E ⊂ R → R называется ограниченной, если существует число K ∈ R+ , такое,что |f (x)| 6 K для всех x ∈ E.Теорема. (Необходимое условие интегрируемости функции по Риману)Если f ∈ Rim[a, b], то f — ограниченная функция на [a, b].6•Пример. Существуют функции, по Риману неинтегрируемые.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)