1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Этот факт обозначается так: lim an = α или «an → α при n → ∞».n→∞Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.Теорема. Последовательность может иметь только один предел.•Теорема. Сходящаяся последовательность ограничена.•Теорема. Пусть {an } и {bn } — сходящиеся последовательности и lim an = α, lim bn = β.n→∞n→∞Тогдаа) lim (an + bn ) = α + β;n→∞б) lim (an bn ) = αβ;n→∞αan= .n→∞ bnβДалее мы будем рассматривать последовательности вещественных чисел.в) если β 6= 0 и bn 6= 0 для всех n ∈ N, то lim•Теорема.
(О сравнении последовательностей) Пусть {an } и {bn } — сходящиеся последовательности и lim an = α, lim bn = β. Если α < β, то существует такое N ∈ N, что an < bnn→∞n→∞для всех n > N .•Следствие. Пусть N ∈ N, {an } и {bn } — сходящиеся последовательности и lim an = α,n→∞lim bn = β.
Если an < bn для всех n > N , то α 6 β.•n→∞Теорема. (Принцип двух полицейских) Пусть {an } и {bn } — числовые последовательности, сходящиеся к одному и тому же пределу p. Если an 6 cn 6 bn для всех n ∈ N, топоследовательность {cn } также сходится к p.•16Определение. Последовательность {an } называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого ε > 0 существует такое N ∈ N, что |ak − am | < εдля всех k > N и m > N .•Теорема.
(Критерий Коши) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.•Пусть {an } — числовая последовательность. Если для всех n ∈ Nan < an+1 , то последовательность {an } называется возрастающей;an 6 an+1 — неубывающей;an > an+1 — убывающей;an > an+1 — невозрастающей.Неубывающая или невозрастающая последовательность называется монотонной. Убывающая или возрастающая последовательность называется строго монотонной.Теорема.
(Вейерштрасс) Любая ограниченная сверху неубывающая последовательностьимеет предел.•Скажем, что последовательность {an } стремится к +∞ (будем писать an → +∞ приn → ∞), если для любого A ∈ R+ существует такое N ∈ N, что an > A для всех n > N .Скажем, что последовательность {an } стремится к −∞ (будем писать an → −∞ приn → ∞), если для любого A ∈ R+ существует такое N ∈ N, что an < −A для всех n > N .Примеры.1. Если q ∈ [0, 1), то lim q n = 0.n→∞2. Если q > 1, то q n → +∞ при n → ∞.nk= 0.n→∞ q n3. Если k ∈ N и q > 1, то lim4.
Если a > 0, то limn→∞5. limn→∞√n√na = 1.n = 1.qn= 0 для любого q ∈ R.n→∞ n!6. lim7. (Определение числа e) Существует предел limn→∞1+1 n= e.n•Пусть {xn }n∈N — какая-либо последовательность. Если {nk }k∈N — возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность {xnk }k∈N называется подпоследовательностью последовательности {xn }n∈N .Упражнение. Если последовательность сходится к a, то любая её подпоследовательностьтоже сходится к a.•Теорема. (Теорема Больцано — Вейерштрасса для последовательностей) Любая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.•17Пусть {xn }n∈N — ограниченная последовательность.
Определим последовательности:in = inf{xk | k > n},sn = sup{xk | k > n}.Если последовательность {in } (последовательность {sn }) сходится к a, то говорят, что aесть нижний предел (верхний предел) последовательности {xn }. Обозначения:lim xn или lim inf xn — нижний предел последовательности {xn },n→∞n→∞lim xn или lim sup xn — верхний предел последовательности {xn }.n→∞n→∞Если последовательность ограничена, то её верхний и нижний пределы существуют.Число a называется частичным пределом последовательности {xn }n∈N , если существуетподпоследовательность {xnk }k∈N , сходящаяся к a.Теорема.
Нижний и верхний пределы ограниченной последовательности являются её наименьшим и наибольшим частичными пределами соответственно.•Теорема. Для того, чтобы ограниченная последовательность сходилась, необходимо идостаточно, чтобы её верхний и нижний пределы совпадали.•§ 2. Числовые ряды.Рядом называется пара последовательностей {an }n∈N и {sn }n∈N , таких, что s1 = a1 иsn+1 = sn + an+1 для всех n ∈ N.Элементы последовательности {an }n∈N называются членами ряда. Последовательность{sn }n∈N называется последовательностью частичных сумм ряда. Говорят, что ряд сходится, если сходится его последовательность частичных сумм, предел которой называетсясуммой ряда.
Если ряд не является сходящимся, то говорят, что он расходится. Для са∞Pмого ряда и для его суммы используется одно и то же обозначение:an . Таким образом,n=1∞Xn=1an = lim sn = limn→∞n→∞nXak .k=1PТеорема. (Критерий Коши для рядов) Для того, чтобы ряд ∞n=1 an сходился,Pm необходимои достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое N ∈ N, что | n=k an | < ε длявсех m > k > N .•P∞P∞P∞Упражнение. Если n=1Pan и n=1 bn — PсходящиесяPряды и Pλ ∈ R, то рядыPP∞ n=1 λan и∞∞∞∞∞•n=1 (an + bn ) сходятся иn=1 (an + bn ) =n=1 an +n=1 bn ,n=1 λan = λn=1 an .∞ 1PПример.
(Гармонический ряд) Рядрасходится.•n=1 nPТеорема. (Необходимый признак сходимости ряда) Если ряд ∞n=1 an сходится, то an → 0при n → ∞.•P∞P∞Ряд n=1 an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд n=1 |an |. Из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Если ряд сходится, но не сходится абсолютно,то говорят, что он сходится условно.Перестановкой назовём любое взаимно-однозначное отображение σ множества N на себя.18PP∞Теорема.
Если ряд ∞n=1 an сходится абсолютно, то рядk=1 aσ(k) , полученный перестановкой членов исходного ряда, тоже сходится абсолютно и суммы обоих рядов совпадают.•P∞P∞Теорема. (Признак сравнения) Пусть n=1 an и n=1 bn — ряды с положительными членами и an 6Pbn для всех n ∈ N. ТогдаP∞а) если ряд P∞bсходится,тосходитсярядan ;nn=1n=1P∞б) если ряд ∞aрасходится,торасходитсяряд•n=1 nn=1 bn .Следствие. (Мажорантный признак Вейерштрасса) Пусть последовательности{an } иP∞{bn } таковы, что |an | 6 bn дляP∞всех n ∈ N. Тогда из сходимости ряда n=1 bn следуетабсолютная сходимость ряда n=1 an .•pP∞Теорема.
(Признак Коши) Пусть n=1 an — произвольный ряд и α = lim n |an |. Тогдаn→∞Pа) если α < 1, то ряд P∞aабсолютносходится;nn=1б) если α > 1, то ряд ∞•n=1 an расходится.P∞Теорема. (Признак Даламбера) Пусть n=1 an — произвольный ряд и существуетa n+1 lim = α.n→∞anТогдаPа) если α < 1, то ряд P∞n=1 an абсолютно сходится;•б) если α > 1, то ряд ∞n=1 an расходится.P∞последовательностьПусть n=1 an — произвольный ряд и {nk } — возрастающаяPнатуPnk+1 −1ральных чисел, такая, что n1 = 1. Определимbk = m=nk am . Говорят, что ряд ∞k=1 bkP∞получен группировкой членов ряда n=1 an .PПоследовательность частичных сумм рядаP ∞k=1 bk является подпоследовательностьюP∞ по∞a.Поэтомуизсходимостирядаследовательности частичныхсуммрядаn=1 anP∞ n=1 nP∞следует сходимость ряда k=1 bk .
Если Pn=1 an — ряд с положительными членами, то егосходимость следует из сходимости ряда ∞k=1 bk .Теорема. (Прореживающий признак Коши) Пусть {an } — невозрастающаяпоследоваPaсходитсятогда ительность положительных чисел: Pa1 > a2 > a3 > . . . > 0. Ряд ∞n=1 n∞kтолько тогда, когда сходится ряд k=0 2 a2k .•P∞Пример. Ряд n=1 1/np сходится при p > 1 и расходится при p 6 1.•P∞Пусть {an } — последовательность положительных чисел. Ряд вида n=1 (−1)n+1 an называется знакочередующимся.Теорема.
(Лейбниц) Если последовательностьположительных чисел {an } такова, чтоP∞an > an+1 для всех n ∈ N и lim an = 0, то ряд n=1 (−1)n+1 an сходится.•n→∞Пусть даны наборы чисел:P {α1 , α2 , . . . , αn } и {β1 , β2 , . . . , βn }. Обозначим: B0 = 0, B1 = β1 ,B2 = β1 + β2 , . . . , Bn = nk=1 βk . Тогда βk = Bk − Bk−1 для k = 1, 2, . . . , n.Лемма.
(Преобразование Абеля)nXm=1αm βm = αn Bn −n−1X(αm+1 − αm )Bm .m=119•Лемма.Пусть L = max{|B1 |, |B2 |, . . . , |Bn |} и последовательность {αm } монотонна. ТогдаPn| m=1 αm βm | 6 L(|α1 | + 2|αn |).•Теорема. (Признак Абеля) Предположим, что1) {an } — монотонная последовательность;2) существуетчисло K ∈ R+ , такое, что |an | 6 K для всех n ∈ N;P∞3) ряд n=1 bn сходится.PТогда сходится ряд ∞n=1 an bn .•Теорема. (Признак Дирихле) Предположим, что1) {an } — монотонная последовательность;2) существует lim an = 0;n→∞Pm3) существует K ∈ RP+ , такое, что |n=1 bn | 6 K для всех m ∈ N.Тогда сходится ряд ∞ab.n=1 n n•Двойной числовой последовательностью называется отображение из N × N в R.
Обозначим через {γij } двойную числовую последовательность. Двойным рядом называется парадвойных последовательностей {γij } и {σmn }, таких, чтоσmn =m XnXγiji=1 j=1для всех m, n ∈ N.PСкажем, что двойной ряд ∞i,j=1 γij сходится к числу G, если для любого ε > 0 существуютmε ∈ N и nε ∈ N, такие, что |σmn − G| < ε для всех m > mε и n > nε .
Если мы заменимγij на |γij |, то получим определение абсолютной сходимости двойного ряда. Мы исследуемсходимость двойных рядов, полученных произведением двух обычных рядов.P∞P∞Теорема. (О произведении рядов) Пустьj=1 bj сходятся абсолютно к Ai=1 ai иPряды∞•и B соответственно. Тогда двойной ряд i,j=1 ai bj сходится абсолютно к AB.Поскольку card N = card N × N, существует биективное отображение ϕ : N → N ×БолееPN.∞того, таких отображений можно построить бесконечно много. Если двойной ряд i,j=1 ai bjсходится абсолютно, то мы можем суммировать его члены в любом порядке, составив изних при этом обычный ряд:∞∞XXai b j =ck ,i,j=1k=1где (i, j) = ϕ(k) и ck = ai bj .Наиболее часто используется метод Коши суммирования двойных рядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
