1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Таким образом, мы можем рассмотретьфункцию xp , где переменная x пробегает множество R+ , а p — фиксированное число,называемое показателем степени (или просто степенью). Функция x 7→ xp называетсястепенной. Её можно представить в виде композиции показательной и логарифмическойфункций:pxp = aloga (x ) = ap loga x .Теорема.
(xp )q = xpq для всех x ∈ R+ и p, q ∈ R.•Напомним, что если p ∈ Z, то xp определено при всех x ∈ R. То есть, областью определениястепенной функции с целым показателем является вся вещественная прямая.Гиперболические функции.Определим ещё некоторые тесно связанные с показательной функции.sh x = 21 (ex − e−x ) — гиперболический синус (другое обозначение sinh x).ch x = 12 (ex + e−x ) — гиперболический косинус (другое обозначение cosh x).sh x— гиперболический тангенс (другое обозначение tanh x).chxchx= sh— гиперболический котангенс (другое обозначение coth x).x22th x =cth xОтметим одно свойство этих функций: ch x − sh x = 1.§ 3.
Асимптотическое поведение функций.Скажем, что lim f (x) = A lim f (x) = A , если для любого ε > 0 существует такоеx→+∞x→−∞K ∈ R+ , что |f (x) − A| < ε при всех x ∈ dom f , удовлетворяющих неравенству x > K(x < −K).Упражнение. Доказать, что для пределов приx → ±∞ справедлива теорема Гейне:для того, чтобы lim f (x) = Alim f (x) = A , необходимо и достаточно, чтобы дляx→+∞x→−∞любой возрастающей(убывающей)последовательности {xk }k∈N , стремящейся к +∞ (−∞),lim f (xk ) = A lim f (xk ) = A .•k→∞k→∞Теорема. (Второй замечательный предел)lim (1 + x)1/x = lim (1 + 1/x)x = lim (1 + 1/x)x = e.x→0x→+∞x→−∞25•Пусть f и g — функции, определенные в некоторой окрестности точки x0 ∈ R.
Скажем,что функция f бесконечно мала по сравнению с функцией g при x → x0 , если существуютокрестность U точки x0 и функция ϕ : U → R, такие, что f (x) = ϕ(x) g(x) при x ∈f (x)U и ϕ(x) → 0 при x → x0 . Другими словами, lim= 0. Этот факт записываетсяx→x0 g(x)следующим образом: f (x) = o g(x) при x → x0 (читается: f есть «о малое» от g при x,стремящемся к x0 ).
Заметим, что в случае x0 = +∞ (или x0 = −∞) под U понимаетсякакой-либо интервал (δ, +∞) (или (−∞, −δ)), δ > 0.Скажем, что f (x) = O g(x) при x → x0 (читается: f есть «о большое» от g при x,стремящемся к x0 ), если существуют K ∈ R+ и δ > 0, такие, что |f (x)| 6 K|g(x)| при всехx ∈ Uδ (x0 ), где(x0 − δ, x0 + δ), x0 ∈ R,Uδ (x0 ) = (δ, +∞),x0 = +∞,(−∞, −δ),x0 = −∞.Очевидно, что если f (x) = o g(x) при x → x0 , то f (x) = O g(x) при x → x0 .Примеры.xp= 0.x→+∞ axln x= 0.2) Пусть p > 0. Тогда x−p = o((ln x)−1 ) при x → +∞.
То есть, limx→+∞ xp3) Пусть p > 0. Тогда |x|p = o (ln |x|)−1 при x → 0. То есть, lim |x|p ln |x| = 0.1) Пусть a > 1 и p > 0. Тогда a−x = o(x−p ) при x → +∞. То есть, limx→04) sin x = O(x) при x → 0.5) sin x = O(1) при x → x0 для любого x0 ∈ R.•Справедливы следующие утверждения: 1) если f1 (x) = o g(x) и f2 (x) = o g(x) при x → x0 ∈ R, то f1 (x) + f2 (x) = o g(x) иf1 (x)f2 (x) = o g(x) при x → x0 ∈ R;2) если f1 (x) = o g(x) и f2 (x) = O g(x) при x → x0 ∈ R, то f1 (x)f2 (x) = o g(x) приx → x0 ∈ R;3) если f1 (x) = o g(x) и f2 (x) = O g(x) при x → x0 ∈ R, то f1 (x) + f2 (x) = O g(x) приx → x0 ∈ R.Обычно в качестве g берут какую-нибудь простую функцию, поведение которой при x →x0 уже известно. Например, при x0 = 0 или при x0 = ±∞ удобно брать g(x) = |x|p , гдеp ∈ R.Глава 5.
Дифференцирование.§ 1. Дифференцируемые функции.Определение. Пусть на множестве E ⊂ R задана функция f : E → R. Функция fназывается дифференцируемой в точке x0 ∈ E, если существуют число A ∈ R и функцияϕ : E → R, такие, чтоf (x) − f (x0 ) − A(x − x0 ) = ϕ(x) для x ∈ E26и ϕ(x) = o(x − x0 ) при x → x0 .•В качестве множества E обычно встречаются отрезки или интервалы. Иногда это определение удобно сформулировать в такой форме: функция f : (a, b) → R называетсядифференцируемой в точке x0 ∈ (a, b), если существуют число A ∈ R и функция ϕ :(a − x0 , b − x0 ) → R, такие, чтоf (x0 + h) − f (x0 ) − Ah = ϕ(h) для h ∈ (a − x0 , b − x0 )и ϕ(h) = o(h) при h → 0.Число A называется производной функции f в точке x0 .
Обычно производная функции fdf(x0 ).в точке x0 обозначается f 0 (x0 ) илиdxСогласно определению o(x − x0 ), должна существовать такая функция ψ, чтоϕ(x − x0 ) = ψ(x − x0 ) (x − x0 )и ψ(x − x0 ) → 0 при x → x0 .Нетрудно видеть, что если функция дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна вэтой точке.Теорема. Для того, чтобы функция f : (a, b) → R была дифференцируемой в точкеx0 ∈ (a, b), необходимо и достаточно, чтобы существовал пределlimx→x0f (x) − f (x0 )= A.x − x0При этом A = f 0 (x0 ).•Таким образом, если f дифференцируема в точке x0 , тоf 0 (x0 ) = limx→x0f (x0 + h) − f (x0 )f (x) − f (x0 ).= limh→0x − x0hПример.
Функции sin, cos и exp дифференцируемы в любой точке x0 ∈ R и(sin x)0 (x0 ) = cos x0 ,(cos x)0 (x0 ) = − sin x0 ,(ex )0 (x0 ) = ex0 .•Пример. Функция |x| не дифференцируема в точке x0 = 0, так как не существует пределlimh→0|h|= lim sgn h.h→0hТеорема. Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0 . Тогда1) функции f + g и f g дифференцируемы в точке x0 и(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ),(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 );27•2) если g(x0 ) 6= 0, то функция f /g дифференцируема в точке x0 и f 0g(x0 ) =f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 ).g 2 (x0 )Пример. Если cos x0 6= 0, то функция tg дифференцируема в точке x0 ∈ R и sin x 01(tg x)0 (x0 ) =.(x0 ) =cos xcos2 x0••Теорема.
(О производной сложной функции) Если функция g дифференцируема в точкеx0 , а функция f дифференцируема в точке g(x0 ), то функция f ◦ g дифференцируема вточке x0 и(f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 g(x0 ) g 0 (x0 ).•Пример. Найдем производную функции sin x2 . Положим f (y) = sin y и g(x) = x2 . Тогда(sin x2 )0 (x0 ) = (f ◦ g)0 (x0 ) = 2x0 cos x20 .•Пример. Пусть p ∈ R. Найдем производную функции xp в точке x0 ∈ R+ . Положимf (y) = ey и g(x) = p ln x. Тогда(xp )0 (x0 ) = (f ◦ g)0 (x0 ) = p xp−10 .•Теорема.
(О производной обратной функции) Пусть f : (a, b) → R — строго монотонная0непрерывная функция. Если f дифференцируема в точке x0 ∈ (a, b) и f (x0 ) 6= 0, то−1функция f : f (a, b) → R дифференцируема в точке f (x0 ) и(f −1 )0 f (x0 ) =1.f 0 (x0 )•В этой теореме строгая монотонность функции f необходима для существования обратнойфункции f −1 .Пример. Найдем производную функции arctg y в точке y0 ∈ R. Если f (x) = tg x, тоarctg y = f −1 (y). Обозначим через x0 точку, для которой tg x0 = y0 . Тогда(arctg y)0 (y0 ) =11= cos2 x0 =.0(tg(x)) (x0 )1 + y02•Скажем, что функция дифференцируема на множестве E, если она дифференцируема вкаждой точке этого множества.Пусть функция f дифференцируема на (a, b). Тогда мы можем определить функцию,которая каждой точке x интервала (a, b) ставит в соответствие f 0 (x).
Если полученнаяфункция f 0 дифференцируема, мы можем её продифференцировать и получить функцию(f 0 )0 , называемую второй производной функции f . Действуя далее по такой же схеме, мыможем определить производную функции f любого порядка. Производные порядка k обоdk fзначаются f (k) или. Для производных второго и третьего порядка используются ещёdxk28обозначения f 00 и f 000 соответственно. Кроме того, под f (0) (производная нулевого порядка)понимают саму функцию f .Через C k (E) обозначается множество функций, имеющих на E непрерывные производныепорядка k.
Множество C 0 (E), обозначаемое обычно через C(E), есть множество непрерывных на E функций. Через C ∞ (E) обозначается множество функций, имеющих на Eнепрерывные производные любого порядка k ∈ N.Упражнение. Доказать формулы:0f1 f2 · · · fn = f10 f2 · · · fn + f1 f20 · · · fn + · · · + f1 f2 · · · fn0 ,(f g)(n) =nXCnm f (n−m) g (m) .•m=0Скажем, что графики функций f и g имеют в точке x0 касание порядка n, если f (x0 ) =(n)g(x0 ), f 0 (x0 ) = g 0 (x0 ), .
. . , f (n) (x0 ) = g (x0 ). Другое определение этого понятия состоит вnтом, что f (x) − g(x) = o (x − x0 ) при x → x0 .Если функция g является аффинной, то есть g(x) = a + b x для некоторых чисел a и b, тоеё график — прямая линия. Эта прямая называется касательной к графику функции f ,если f (x0 ) = g(x0 ) и f 0 (x0 ) = g 0 (x0 ) (касание первого порядка).Пример. Найдем касательную к графику функции f (x) = x2 в точке x0 = 2. Если y =a + b x — уравнение этой касательной, то коэффициенты a и b определяются из системыуравнений:x20 = a + b x0 , 2x0 = b.При x0 = 2 мы получаем, что a = −4 и b = 4.
Таким образом, искомая касательнаязадается уравнением y = −4 + 4x.•§ 2. Классические теоремы дифференциального исчисления.Теоремы Ферма и РолляТочка x0 ∈ R называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f : R → R, если существует такая окрестность U этой точки, что f (x0 ) > f (x)f (x0 ) 6 f (x) для всех x ∈ U . Если x0 — точка локального минимума или максимума,она называется точкой локального экстремума.Точка x0 ∈ R называется точкой строго локального максимума (строго локального минимума) функции f : R → R, если существует такая окрестность U этой точки, чтоf (x0 ) > f (x) f (x0 ) < f (x) для всех x ∈ U \ {x0 }.Теорема. (Ферма) Пусть f : (a, b) → R — дифференцируемая функция. Если x0 ∈ (a, b)есть точка локального экстремума функции f , то f 0 (x0 ) = 0.•Пример.
Функция f (x) = x2 имеет в точке x0 = 0 минимум и f 0 (x0 ) = 2x0 = 0.•Если f 0 (x0 ) = 0, то x0 называется стационарной точкой (иногда — критической точкой)функции f . Из того, что x0 — стационарная точка функции f не следует, что x0 — точкалокального экстремума этой функции. Например, x0 = 0 является стационарной, но неэкстремальной точкой функции f (x) = x3 .29Теорема. (Ролль) Пусть f : [a, b] → R — непрерывная функция, дифференцируемая на(a, b). Если f (a) = f (b), то существует такая точка x0 ∈ (a, b), что f 0 (x0 ) = 0.•Теоремы о конечных приращенияхТеорема.
(Теорема Коши о конечных приращениях) Пусть f : [a, b] → R и g : [a, b] → R— непрерывные функции, дифференцируемые на (a, b). Тогдаg 0 (ξ) f (b) − f (a) = f 0 (ξ) g(b) − g(a)для некоторой точки ξ ∈ (a, b).•Следствие. (Теорема Лагранжа о конечных приращениях) Пусть f : [a, b] → R — непрерывная функция, дифференцируемая на (a, b). Тогдаf (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a)для некоторой точки ξ ∈ (a, b).•Следствие.Пусть f : (a, b) → R — дифференцируемая функция. Если f 0 (x) > 0 f 0 (x) >0 для всех x ∈ (a, b), то f — возрастающая (неубывающая) на (a, b) функция.•Следствие. Пусть f : (a, b) → R — дифференцируемая функция.
Для того, чтобы f былапостоянной на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы f 0 (x) = 0 для всех x ∈ (a, b).•Формула ТейлораПри исследовании функции сложного вида бывает полезно заменить её более простой,но в каком-то смысле близкой к исходной. Хорошими кандидатами на роль этой простойфункции являются полиномы.Пусть функция f : R → R — гладкая функция, т.е., она дифференцируема столько раз,сколько нам потребуется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
