1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Этот метод заключается в том, что∞∞XXai bj =dk ,(∗)i,j=1k=1PPP∞где dk = kn=1 ak−n+1 bn . Если ряды ∞i иi=1 aPj=1 bj сходятся абсолютно к A и B соответ∞ственно, то справедливо равенство (∗) и k=1 dk = AB. Более Pтого, можноP∞показать, чтопоследнее утверждение верно и в случае, когда один из рядов ∞aиi=1 ij=1 bj сходится20абсолютно, а другой — условно. Происхождение метода Коши демонстрирует следующийпример.PP∞ijПример.
Для произвольного x ∈ R перемножим ряды ∞axиii=1j=1 bj x . Собираячлены с одинаковыми степенями x, мы получим:∞X∞Xai x ibj x j =j=1i=1∞Xdk xk ,k=1где dk — коэффициенты, определенные в (∗).•P∞ kПример. Для каждого x ∈ R ряд k=0 x /k ! сходится абсолютно. Обозначим его суммучерез exp(x). Тогда exp(x + y) = exp(x) exp(y) для всех x, y ∈ R.•Глава 4. Функции вещественной переменной.В этой главе мы будем изучать функции (отображения), действующие из некоторого множества E ⊂ R в R.§ 1. Предел функции в точке.Определение. Скажем, что вещественное число A является пределом функции f в точкеa ∈ R, если для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что |f (x)−A| < ε для всех x ∈ dom f ,удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ.•Заметим, что точка a может и не принадлежать dom f , однако она должна быть предельной точкой этого множества.
Тот факт, что A является пределом функции f в точке a,записывают следующим образом: A = lim f (x).x→aТеорема. (Гейне) Для того, чтобы lim f (x) = A, необходимо и достаточно, чтобы дляx→aлюбой последовательности точек {xn }, сходящейся к точке a при n → ∞, выполнялосьсоотношение lim f (xn ) = A.•n→∞Определим сумму и произведение функций f и g, имеющих одну и ту же область определения:(f + g)(x) = f (x) + g(x),(f g)(x) = f (x)g(x).Следствие. Если функции f и g имеют одну и ту же область определения, lim f (x) = Ax→aи lim g(x) = B, тоx→a1) lim (f + g)(x) = A + B,x→a2) lim (f g)(x) = AB,x→a3) limx→aAf (x)=при условии, что B 6= 0 и g(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки a.g(x)B•Следствие.
Пусть функции f и g имеют одну и ту же область определения, lim f (x) = Ax→aи lim g(x) = B. Если A < B, то существует δ > 0, такое, что f (x) < g(x) для всехx→ax ∈ dom f = dom g, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ.•Следствие. Пусть функции f , g и h имеют одну и ту же область определения, и f (x) 6h(x) 6 g(x) в некоторой окрестности точки a.
Если существуют пределы lim f (x) =x→alim g(x) = A, то существует предел lim h(x) = A.x→ax→a21•Функция f : R → R называется чётной, если f (−x) = f (x) для всех x ∈ R.Функция f : R → R называется нечётной, если f (−x) = −f (x) для всех x ∈ R.sin xПример. (Первый замечательный предел) lim= 1.x→0 x•§ 2. Непрерывные функции.Определение. Скажем, что функция f непрерывна в точке a ∈ dom f , если для любогоε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − f (a)| < ε для всех x ∈ dom f , удовлетворяющихнеравенству |x − a| < δ (или, что эквивалентно, неравенству 0 < |x − a| < δ).•Сравнив это определение с определением предела функции в точке, мы заметим, что функция f непрерывна в точке a ∈ dom f тогда и только тогда, когда lim f (x) = f (a).x→aТеорема.
Пусть функция f : R → R непрерывна в точке a ∈ R. Тогда существуют δ > 0и K ∈ R+ , такие, что |f (x)| 6 K для всех x ∈ (a − δ, a + δ).•Теорема. Пусть функция f : R → R непрерывна в точке a ∈ R и f (a) > 0. Тогдасуществует δ > 0, такое, что f (x) > 0 для всех x ∈ (a − δ, a + δ).•Теорема. Пусть функции f и g непрерывны в точке a ∈ R. Тогда1) функции (f + g) и f g непрерывны в точке a;2) если g(a) 6= 0, то функция f /g непрерывна в точке a.•Теорема.
Пусть функция g : R → R непрерывна в точке a ∈ R, а функция f : R → Rнепрерывна в точке g(a). Тогда функция f ◦ g непрерывна в точке a.•Из этой теоремы следует, что lim f g(x) = f lim g(x) , если функция f непрерывна вx→ax→aточке g(a) = lim g(x).x→aГоворят, что функция разрывна (или терпит разрыв) в точке a, если она не являетсянепрерывной в этой точке. Точки разрыва функции можно классифицировать. Для этоговведем понятие одностороннего предела функции.Число A называется пределом слева функции f в точке a если для любого ε > 0 существуеттакое δ > 0, что |f (x) − A| < ε для всех x ∈ (a − δ, a) ∩ dom f .•Предел слева в точке a обозначается lim f (x), lim f (x) или просто f (a − 0).x→a−0x→a−Число A называется пределом справа функции f в точке a если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − A| < ε для всех x ∈ (a, a + δ) ∩ dom f .•Предел слева в точке a обозначается lim f (x), lim f (x) или просто f (a + 0).x→a+0x→a+Упражнение.
Для того, чтобы функция f была непрерывна в точке a ∈ dom f , необходимо и достаточно, чтобы f (a − 0) = f (a + 0) = f (a).•Скажем, что функция f имеет в точке a устранимый разрыв, если f (a − 0) = f (a + 0) 6=f (a). Например, функция f (x) = (sgn x)2 имеет в точке x = 0 устранимый разрыв.Скажем, что функция f имеет в точке a разрыв первого рода, если f (a − 0) и f (a + 0)существуют, но не совпадают. Например, функция f (x) = sgn x имеет в точке x = 0разрыв первого рода.Скажем, что функция f имеет в точке a разрыв второго рода, если хотя бы один изпределов f (a − 0) или f (a + 0) не существует. Например, функция f (x) = sin(1/x) имеет22в точке x = 0 разрыв второго рода (оба предела не существуют).
Функция f (x) = 1/xтакже имеет в точке x = 0 разрыв второго рода (оба предела не существуют).Скажем, что функция непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точкеэтого множества. Множество функций, непрерывных на множестве E, обозначают черезC(E). Выражение «f — непрерывная функция» будет означать, что f непрерывна на всейсвоей области определения.Примеры.1) Функции sin x и cos x непрерывны на R.2) Функция 1/x непрерывна на множестве R \ {0}.•Теорема.
(О промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция f : R → Rнепрерывна на [a, b]. Если f (a) < 0 и f (b) > 0, то существует точка c ∈ (a, b), такая, чтоf (c) = 0.•С помощью этой теоремы можно приближенно находить решения уравнения f (x) = 0(методом деления отрезка пополам).Теорема. (Вейерштрасс) Пусть f : R → R — непрерывная на [a, b] функция.
Тогда fограничена на [a, b] и существуют точки α, β ∈ [a, b], такие, что f (α) = min f (x) и f (β) =x∈[a,b]•max f (x).x∈[a,b]Пусть E ⊂ dom f . Скажем, что функция f равномерно непрерывна на E, если для любогоε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x0 ) − f (x00 )| < ε для всех x0 , x00 ∈ dom f , удовлетворяющих неравенству |x0 − x00 | < δ.Очевидно, что если функция равномерно непрерывна на E, то она непрерывна в каждойточке множества E.Теорема. (Кантор — Гейне) Если функция f : [a, b] → R непрерывна, то она равномернонепрерывна на [a, b].•§ 3. Монотонные функции.Функцияf называется неубывающей (невозрастающей), если f (x0 ) 6 f (x00 ) f (x0 ) >00f (x ) для всех x0 , x00 ∈ dom f , удовлетворяющих неравенству x0 6 x00 .Функция f называется убывающей (возрастающей), если f (x0 ) > f (x00 ) f (x0 ) < f (x00 )для всех x0 , x00 ∈ dom f , удовлетворяющих неравенству x0 < x00 .Функция f называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая. Функция f называется строго монотонной, если она убывающая или возрастающая.Теорема.
Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода.•Теорема. Монотонная функция может иметь не более, чем счетное число разрывов.•Теорема. Пусть f : [a, b] → R — неубывающая функция.Для того, чтобы f была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы f [a, b] = [f (a), f (b)].•Аналогичное утверждение справедливо и для невозрастающих функций.Теорема. Если f : [a, b] → R — возрастающая функция, то существует обратная к нейфункция f −1 : f [a, b] → R, которая тоже является возрастающей. Если дополнительноизвестно, что f непрерывна, то f −1 тоже непрерывна.•23Аналогичное утверждение справедливо и для убывающих функций.Заметим, что для того, чтобы функция f : [a, b] → R была обратимой, необходимо идостаточно, чтобы она была строго монотонной.§ 4.
Показательная, логарифмическая и степенная функции.Показательная функция (ax ).Наша цель определить ax для всех a ∈ R+ и x ∈ R. Мы уже определили an , a1/n дляn ∈ N и a−1 для a 6= 0, причем an am = an+m для n, m ∈ N, а a−1 и a1/n пока что являются−11/n nсимволами, обозначающими такие вещественные числа, что aa = 1 и a= a.Положим по определению a0 = 1 для всех a ∈ R.Лемма. Для всех a ∈ R+ и всех p ∈ Q однозначно определены числа ap , обладающиеследующими свойствами:1◦ .
a−p = 1/(ap ) для любого p ∈ Q.2◦ . ap1 +p2 = ap1 ap2 для всех p1 , p2 ∈ Q.3◦ . Пусть p1 , p2 ∈ Q и p1 < p2 . Тогда ap1 < ap2 при a ∈ (1, ∞) и ap1 > ap2 при a ∈ (0, 1).•Таким образом, для каждого a ∈ R+ на множестве рациональных чисел Q определенафункция p 7→ ap со значениями в R+ , которая, как следует из следующей леммы, являетсянепрерывной.Лемма.lim ap = ap0 для каждого a ∈ R+ и каждого p0 ∈ Q.•Q3p→p0Мы определили показательную функцию на Q. Доопределим её на R. Пусть a > 1.Лемма. sup{ar | r < x, r ∈ Q} = inf{ar | r > x, r ∈ Q} для любого x ∈ R.•Положим по определению ax = sup{ar | r < x, r ∈ Q} = inf{ar | r > x, r ∈ Q}. Такимобразом, функция ax полностью определена на R при a ∈ (1, +∞).
Аналогично определяется ax при a ∈ (0, 1), а при a = 1, как уже отмечалось, ax = 1 для всех x ∈ R. В итоге,мы определили ax для всех a ∈ R+ и всех x ∈ R. Эта функция называется показательнойи обозначается expa (т.е., ax = expa x). Число a называется основанием показательнойфункции. Если a = e, то индекс a опускают и пишут просто exp. Функцию exp x = exназывают экспонентой или экспоненциальной функцией. Изучим свойства функции expa .Лемма.lim ar = ax для любого x ∈ R.•Q3r→xЛемма. ax1 ax2 = ax1 +x2 для всех x1 , x2 ∈ R.•Лемма. Если x1 , x2 ∈ R и x1 < x2 , то ax1 < ax2 при a ∈ (1, +∞) и ax1 > ax2 при a ∈ (0, 1).•Лемма.lim ax = ax0 для любого x0 ∈ R.•R3x→x0Теорема. При a ∈ R+ \ {1} показательная функция expa является биекцией R на R+ .
•Логарифмическая функция.Поскольку отображение expa : R → R+ является биекцией при a ∈ R+ \ {1}, можно определить обратное к нему отображение, которое называется логарифмической функцией с24основанием a и обозначается loga . Как следует из определения, loga : R+ → R является биективным отображением.
Если a = e, эта функция называется натуральным логарифмоми обозначается ln или log.Теорема. Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:1) loga (ax ) = x для всех x ∈ R и aloga y = y для всех y ∈ R+ .2) loga (y1 y2 ) = loga y1 + loga y2 для всех y1 , y2 ∈ R+ .3) lim loga y = loga y0 для любого y0 > 0.R+ 3y→y04) loga y p = p loga y для любого y > 0 и любого p ∈ R.•Теорема. Если a > 1, то loga — возрастающая функция, а если 0 < a < 1, то — убывающая.•Степенная функция.Мы уже определили ap для всех a > 0 и p ∈ R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
