1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Зафиксируем какую-либо точку x0 и составим полиномnPn (f, x, x0 ) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + . . . +X 11 (n)f (x0 )(x − x0 )n =f (k) (x0 )(x − x0 )k .n!k!k=0Для того, чтобы ответить на вопрос, насколько близки значения f (x) и Pn (f, x, x0 ), мыдолжны оценить rn (f, x, x0 ) = f (x) − Pn (f, x, x0 ).
Очевидно, что Pn (f, x, x0 ) → f (x) приn → ∞ тогда и только тогда, когда rn (f, x, x0 ) → 0 при n → ∞. Таким образом, намнеобходимо исследовать функцию rn (f, x, x0 ). Записав последнее равенство в несколькодругой форме, мы получим формулу Тейлора:nX1 (k)f (x) =f (x0 )(x − x0 )k + rn (f, x, x0 ).k!k=0Функция rn (f, x, x0 ) называется остаточным членом в формуле Тейлора. При x0 = 0формула Тейлора часто называется формулой Маклорена.Введем обозначения:Ia,x((a, x), x > a,=(x, a), x < a,I a,x30([a, x], x > a,=[x, a], x < a,Теорема.
Пусть f : (A, B) → R — (n + 1) раз дифференцируемая функция и x0 ∈ (A, B).Тогда для любого x ∈ (A, B) и любой функции φ, непрерывной на I x0 ,x , дифференцируемойна Ix0 ,x и такой, что φ 0 6= 0 на Ix0 ,x , существует такая точка ξ ∈ Ix0 ,x , чтоrn (f, x, x0 ) =φ(x) − φ(x0 ) (n+1)f(ξ)(x − ξ)n .0n! φ (ξ)•Возьмем φ(t) = x − t.
Тогдаrn (f, x, x0 ) =(x − x0 ) (n+1)f(ξ)(x − ξ)nn!— остаточный член в форме Коши.Возьмем φ(t) = (x − t)n+1 . Тогдаrn (f, x, x0 ) =1f (n+1) (ξ)(x − x0 )n+1(n + 1)!— остаточный член в форме Лагранжа.Лемма. Если φ : (A, B) → R — n раз дифференцируемая функция, x0 ∈ (A, B) и φ(x0 ) =φ 0 (x0 ) = . . . = φ(n) (x0 ) = 0, то φ(x) = o(|x − x0 |n ) при x → 0.•Теорема. (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано) Пусть f : (A, B) → R— n раз дифференцируемая функция и x0 ∈ (A, B).
Тогдаf (x) =nX1 (k)f (x0 )(x − x0 )k + o(|x − x0 |n ) при x → x0 .k!k=0•Пусть f : R → R — бесконечно дифференцируемая функция. Ряд∞X1 (k)f (x0 )(x − x0 )kk!k=0называется рядом Тейлора функции f в точке x0 . Если значение функции f совпадает ссуммой её ряда Тейлора в некоторой окрестности точки x0 , то говорят, что функция fявляется аналитической в точке x0 .
Функция называется аналитической на множестве E,если она аналитична в каждой точке этого множества. Иногда множество аналитическихна E функций обозначают через C ω (E). Очевидно, что C ω (E) ⊂ C ∞ (E).Пример. Функция sin аналитична на R иsin x =∞X(−1)kx2k+1(2k + 1)!k=0Этот ряд сходится абсолютно для любого x ∈ R.•Пример. Функция cos аналитична на R иcos x =∞X(−1)kk=0(2k)!Этот ряд сходится абсолютно для любого x ∈ R.31x2k•Пример. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, которые не являютсяаналитическими.
Рассмотрим функциюexp − 1 , x 6= 0,f (x) =x20,x = 0.Нетрудно проверить, что f ∈ C ∞ (R). Кроме того, f (k) (0) = 0 для всех k ∈ N. ПоэтомуPn (f, x, 0) = 0 для всех x ∈ R и всех n ∈ N. Но f 6≡ 0 на R (эта функция обращается внуль только в точке x = 0), поэтому Pn (f, x, 0) 6→ f (x) при n → ∞, если x 6= 0.•Пример. Разложение функции ex по формуле Тейлора в точке x0 = 0 с остаточнымчленом в форме Лагранжа:nXeξ xn+1xkx+,e =k! (n + 1)!k=0где ξ ∈ I0,x .
Переходя в этом равенстве к пределу при n → ∞, мы получим разложениефункции ex в ряд Тейлора в точке 0:ex =∞Xxkk=0k!.В частности, при x = 1 получим представление для числа e: e =Теорема.P∞k=0•1/k!.•Число e иррационально.αПример. (Неравенство Бернулли) Если α ∈ [1, ∞) и x ∈ [−1, ∞), то (1 + x) > 1 + αx.
•Правило ЛопиталяТеорема. (Правило Лопиталя) Пусть функции f : (a, b) → R и g : (a, b) → R дифференцируемы на интервале (a, b) (−∞ 6 a < b 6 +∞), причём g(x) 6= 0 и g 0 (x) 6= 0 приx ∈ (a, b). Еслиf 0 (x)→ A ∈ R при x → a+g 0 (x)и выполняется одно из следующих двух условий:1. limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0,2. |g(x)| → ∞ при x → a+,тоf (x)→ A при x → a+.g(x)Пример. Правило Лопиталя упрощает вычисление некоторых пределов.0√√7+x−37+x−3111√= lim=lim.=limx→2x→2x−2(x − 2)02 x→2 7 + x6••Упражнение.
Ответить на вопрос: могли ли мы доказать теоремы о замечательных пределах, используя правило Лопиталя? Например,sin x(sin x)0lim= lim= lim cos x = 1.x→0 xx→0x→0x032•Математический анализ1Лектор - проф. В. Н. Старовойтов2-й семестр§ 5.3. Степенные ряды.Мы будем рассматривать ряды с комплексными членами. Их сходимость определяется также, как для вещественных рядов (через сходимость последовательности частичных сумм).Скажем, что последовательность комплексных чисел {zk } сходится к z0 ∈ C (zk → z0 ), если|zk − z0 | → 0 при k → ∞.
Если zk = xk + iyk и z0 = x0 + iy0 , где xk , yk , x0 , y0 ∈ R, то zk → z0тогда и только тогда, когда xk → x0 и yk → y0 .Пусть {ak } — последовательность комплексных чисел и z0 ∈ C. Ряд вида∞∑ak (z − z0 )kk=0называется степенны́м.Теорема. Если степенной ряд сходится в некоторой точке z1 ̸= z0 , то он сходится абсолютно в каждой точке открытого круга {z ∈ C | |z − z0 | < ϱ}, где ϱ = |z1 − z0 |.Если степенной ряд расходится в некоторой точке z1 , то он расходится в каждой точкеz ∈ C, удовлетворяющей неравенству |z − z0 | > |z1 − z0 |.•Таким образом, множество точек, в которых степенной ряд сходится, представляет собойкруг с центром в точке z0 .
Радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда.Другими словами, радиусом сходимости степенного ряда называется такое вещественноечисло R, что ряд сходится в круге {z ∈ C | |z − z0 | < R} и расходится в некоторой точкевне него.Как следует из последней теоремы, R = sup{r ∈ R+ | ряд сходится в круге |z − z0 | < r}.√Теорема. (Коши — Адамар) R = α−1 , где α = lim k |ak |.•k→∞Пример.
Радиус сходимости равен 1 для следующих рядов:∞∑k=0kz ,∞∑zkk=0k,∞∑zkk=0k2,∞∑(z − 3)k .•k=0По аналогии с функциями вещественной переменной определим следующие функции комплексной переменной:ze =∞∑zkk=0k!,∞∑(−1)k 2k+1sin z =z,(2k+1)!k=0cos z =∞∑(−1)kk=0(2k)!z 2k .Радиус сходимости этих рядов равен +∞, т.е., они сходятся абсолютно во всей комплекснойплоскости C.1c В.Н.Старовойтов⃝1ez1 +z2 = ez1 ez2 для всех z1 , z2 ∈ C.•∑∞ kЭто свойство оправдывает обозначение ряда k=0 z /k! в виде показательной функции.Заметим, чтоeiz = cos z + i sin z.Утверждение.В частности, если z = φ ∈ R, то мы получаем формулу Эйлера:eiφ = cos φ + i sin φ.Другое важное свойство показательной функции состоит в том, что eiφ = e−iφ и, какследствие, |eiφ | = 1 для всех φ ∈ R.§ 5.4.
Исследование поведения функций.Теорема. Пусть функция f : (a, b) → R дифференцируема в каждой точке x ∈ (a, b).Для того, чтобы f была неубывающей на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы f ′ (x) > 0для всех x ∈ (a, b).•Если f — возрастающая дифференцируемая функция, то f ′ > 0. Обратное утверждение,вообще говоря, неверно. Однако, если f ′ > 0, то f — возрастающая.Теорема. Пусть функция f : (a, b) → R дифференцируема и ξ ∈ (a, b). Если f ′ (x) < 0при x ∈ (a, ξ) и f ′ (x) > 0 при x ∈ (ξ, b), то ξ — точка минимума функции f .•Теорема.
(Достаточное условие минимума) Пусть функция f : (a, b) → R дваждынепрерывно дифференцируема, x0 ∈ (a, b) и f ′ (x0 ) = 0.Если f ′′ (x0 ) > 0, то x0 — точка строгого локального минимума функции f .Если f ′′ (x0 ) < 0, то x0 — точка строгого локального максимума функции f .•Теорема. Пусть f : (a, b) → R — n раз непрерывно дифференцируемая функция, x0 ∈(a, b), f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = .
. . = f (n−1) (x0 ) = 0 и f (n) (x0 ) ̸= 0.Если n — нечётное, то x0 не является точкой локального экстремума функции f .Если n — чётное и f (n) (x0 ) > 0, то x0 — точка строгого локального минимума функции f .Если n — чётное и f (n) (x0 ) < 0, то x0 — точка строгого локального максимума функцииf.•Функция f : [a, b] → R называется выпуклой, если()f (1 − λ)x1 + λx2 6 (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 )для всех x1 , x2 ∈ [a, b] и любого λ ∈ (0, 1). Если это неравенство является строгим приx1 ̸= x2 , то функция f называется строго выпуклой.Функция f называется вогнутой, если выпукла функция (−f ).Можно дать эквивалентное определение выпуклости функции: для того, чтобы функцияf : [a, b] → R была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы для любых x1 , x, x2 ∈ [a, b],таких, что x1 < x < x2 , выполнялось неравенствоf (x2 ) − f (x)f (x) − f (x1 )6.x − x1x2 − xДля строго выпуклых функций это неравенство является строгим.2Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
