1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Другими словами, замкнутыйкуб есть множество вида {x ∈ Rn | ai 6 xi 6 bi , i = 1, . . . , n}.Открытый куб (или открытый параллелепипед ) в Rn есть декартово произведение nоткрытых интервалов.Теорема. Пусть {Qk } — последовательность вложенных замкнутых кубов, т.е., Qk+1 ⊂Qk для любого k ∈ N. Тогда ∩∞k=1 Qk ̸= ∅. Более того, если diam Qk → 0 при k → ∞, то∞•множество ∩k=1 Qk состоит из единственной точки.Здесь diam A есть диаметр множества A, т.е., diam A = supx,y∈A |x − y|.Семейство множеств {Aα }α∈I называется покрытием множества B, если B ⊂ ∪α∈I Aα . Если все множества Aα открыты, то семейство {Aα }α∈I называется открытым покрытиеммножества B. Если I ′ есть подмножество множества индексов I и B ⊂ ∪α∈I ′ Aα , то семейство {Aα }α∈I ′ называется подпокрытием покрытия {Aα }α∈I .
Таким образом, подпокрытиетакже является покрытием. Покрытие {Aα }α∈I называется конечным, если I — конечноемножество.Множество K ⊂ Rn называется компактным (или компактом), если из любого его открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие. Другими словами, если {Aα }α∈I— открытое покрытие множества K, то существует конечное множество I ′ ⊂ I, такое, чтоK ⊂ ∪α∈I ′ Aα .Теорема.Любой замкнутый куб в Rn является компактным множеством.•Множество A ⊂ Rn называется ограниченным, если существует r ∈ R+ , такое, что A ⊂B(0, r).Теорема.
(Гейне — Борель) Для того, чтобы множество в Rn было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.•Примеры. Сфера и замкнутый шар в Rn являются компактами. Открытый шар и всёпространство Rn компактами не являются.•Последовательности точек в Rn .Говорят, что последовательность точек {xk } в Rn сходится к точке a, если для любойокрестности U (a) точки a существует N ∈ N, такое, что xk ∈ U (a) для всех k > N .Утверждение.
Последовательность точек {xk } в Rn сходится к точке a тогда и толькотогда, когда для любого ε > 0 существует такое N ∈ N, что xk ∈ B(a, ε) для всех k > N .•Теорема. Для того, чтобы последовательность точек {xk } в Rn сходилась к точке a,необходимо и достаточно, чтобы xki → ai при k → ∞ для каждого i = 1, 2, . . . , n. Здесь•xk = (xk1 , xk2 , . . . , xkn ).Упражнение. Каждая ограниченная последовательность точек в Rn содержит сходящуюся подпоследовательность.17Указание: воспользоваться теоремой Больцано — Вейерштрасса для последовательностей.•Упражнение. Пусть A — замкнутое множество в Rn и {xk } — сходящаяся к точке aпоследовательность точек из A.
Доказать, что a ∈ A.•Последовательность точек {xk } в Rn называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого ε > 0 существует такое N ∈ N, что |xk − xm | < ε длявсех k, m > N .Теорема. (Критерий Коши) Для того, чтобы последовательность точек {xk } в Rn сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.•§ 7.2. Функции многих переменных.Мы будем изучать функции, действующие из некоторого множества X ⊂ Rn в Rm . Неисключается и случай X = Rn .
Такие функции ещё называют вектор-функциями, так каких значениями являются векторы.Проколотой окрестностью точки a ∈ Rn называется множество вида U (a) \ {a}, где◦U (a) — окрестность точки a. Проколотая окрестность обозначается U (a). Для краткости◦◦обозначим U X (a) = U (a) ∩ X, UX (a) = U (a) ∩ X.Пусть f : X → Rm и a ∈ X. Вектор b ∈ Rm называется пределом функции f в точке a(обозначается lim f (x) = b), если для любой окрестности U (b) точки b (в Rm ) существуетx→a◦(◦)проколотая окрестность U X (a) точки a, такая, что f U X (a) ⊂ U (b).Упражнение. Пусть X ⊂ Rn , f : X → Rm и a является предельной точкой множестваX.
Доказать, что вектор b ∈ Rm является пределом функции f в точке a, если справедливо хотя бы одно из следующих утверждений:1. для любого ε > 0 существует окрестность U (a) точки a, такая, что |f (x) − b| < ε для◦всех x ∈ U X (a);2. для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − b| < ε для всех x ∈ X, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ.•Теорема. Предел функции в точке определён единственным образом, то есть, Если векторы b1 и b2 являются пределами функции f в точке a, то b1 = b2 .•Пример.
Необходимо быть осторожным с вычислением предела функции многих переменных. Может случиться так, что пределы функции по каждой переменной существуюти даже равны, но сам предел функции в этой точке не существует. Например, рассмотримскалярную функцию f : R2 → R двух переменных : xx 1 2 , (x1 , x2 ) ̸= (0, 0),22f (x1 , x2 ) = x1 + x20,x1 = x2 = 0.Нетрудно видеть, что limx1 →0 f (x1 , 0) = limx2 →0 f (0, x2 ) = 0, однако эта функция не имеетпредела при (x1 , x2 ) → (0, 0).•Теорема. (Критерий Коши) Пусть X ⊂ Rn , f : X → Rm и a является предельной точкой множества X. Для того, чтобы существовал предел функции f при x → a, необходимо18и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая окрестность U (a) точки a, что( ◦)ω f , U X (a) < ε, где ω(f, A) — колебание функции f на множестве A.•Функция f : X → Rm называется непрерывной в точке a ∈ X, если для любой окрестности()U (f (a)) точки f (a) (в Rm ) существует окрестность UX (a) точки a, такая, что f UX (a) ⊂U (f (a)).Упражнение.
Пусть X ⊂ Rn , f : X → Rm . Доказать, что функция f : X → Rmявляется непрерывной в точке a ∈ X тогда и только тогда, когда справедливо хотя быодно из следующих утверждений:1. для любого ε > 0 существует окрестность U (a) точки a, такая, что |f (x) − f (a)| < εдля всех x ∈ UX (a);2. для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0, что |f (x) − f (a)| < ε для всех x ∈ X,удовлетворяющих неравенству |x − a| < δ.•Очевидно, что функция f : X → Rm является непрерывной в точке a ∈ X тогда и толькотогда, когда lim f (x) = f (a).x→aЗаметим, что изучение( векторных функций) можно свести к изучению скалярных функций, так как f (x) = f1 (x), f2 (x), . .
. , fm (x) .Функция f : X → Rm называется ограниченной, если f (X) — ограниченное множество вRm . Функция f называется ограниченной на множестве E ⊂ X, если f (E) — ограниченное множество в Rm .Теорема. Если функция f : X → Rm непрерывна в точке a ∈ X, то она ограничена внекоторой окрестности UX (a) этой точки.•Теорема. Если функция f : X → R непрерывна в точке a ∈ X и f (a) > 0, то f (x) > 0для всех x из некоторой окрестности UX (a) точки a.•Теорема. Пусть заданы функции f : X ⊂ Rn → Y ⊂ Rm и g : Y → Rk . Если функцияf непрерывна в точке x0 ∈ X, а функция g непрерывна в точке y 0 = f (x0 ), то функция(g ◦ f ) : X → Rk непрерывна в точке x0 .•Теорема.
Пусть X ⊂ Rn и функции f : X → R и g : X → R непрерывны в точке a ∈ X.fТогда функции f + g, f g, а если g(a) ̸= 0, то и функция , непрерывны в точке a ∈ X. •gФункция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точкеэтого множества. Множество функций f : X → Rm , непрерывных на множестве E ⊂ X,обозначается через C(E, Rm ) или просто C(E), если из контекста понятно, что областьзначений этой функции лежит в Rm .Теорема. Если X — открытое множество в Rn и функция f : X → Rm непрерывна, томножество f −1 (A) (прообраз множества A) является открытым в Rn для любого открытого множества A ⊂ Rm .•Теорема. Если X ⊂ Rn и функция f : X → Rm непрерывна, то множество f (A) является компактным для любого компактного множества A ⊂ X.•Функция f : X → Rm называется равномерно непрерывной на множестве E ⊂ X, еслидля любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − f (y)| < ε для всех x, y ∈ E,удовлетворяющих неравенству |x − y| < δ.19Теорема.
Если f : X → Rm , K — компактное множество в X и f ∈ C(K), то f равномерно непрерывна на K.•Теорема. Если K — компактное множество в Rn и f ∈ C(K), то функция f ограничена на K, т.е., существует C ∈ R+ , такое, что |f (x)| 6 C для всех x ∈ K. Более того,существуют a, b ∈ K, такие, что f (a) = maxx∈K f (x) и f (b) = minx∈K f (x).•Две нормы N1 и N2 в Rn называются эквивалентными, если существуют такие постоянныеc1 , c2 ∈ R+ , что c1 N1 (x) 6 N2 (x) 6 c2 N1 (x) для всех x ∈ Rn .Теорема.
Любая норма в Rn эквивалентна евклидовой норме.•Заметим, что если N1 эквивалентна N2 , а N2 эквивалентна N3 , то N1 эквивалентна N3 .Поэтому из последней теоремы следует, что все нормы в Rn эквивалентны.Путь в Rn есть непрерывное отображение отрезка [0, 1] ⊂ R в Rn . Множество E ⊂ Rnназывается линейно связным, если для любых точек x0 , x1 ∈ E существует путь Γ : [0, 1] →E, связывающий эти точки, т.е., удовлетворяющий следующим свойствам:1. Γ(0) = x0 ,2. Γ(1) = x1 ,3. Γ(λ) ∈ E для всех λ ∈ [0, 1].Других типов связности (кроме линейной) в нашем курсе не встретится, поэтому длякраткости мы будем часто говорить просто «связное множество», подразумевая при этомлинейно связное. Областью в Rn называется открытое линейно связное множество.Теорема.
Пусть E — область в Rn и f ∈ C(E, R). Если a, b ∈ E, то для любого вещественного числа c, лежащего между f (a) и f (b), существует точка ξ ∈ E, такая, чтоf (ξ) = c.•Глава 8. Основы дифференциального исчисления в Rn .§ 8.1. Производная функции многих переменных.Отображение L : Rn → Rm называется линейным, если L(x + y) = L(x) + L(y) и L(λx) =λL(x) для всех x, y ∈ Rn и всех λ ∈ R.Часто, чтобы подчеркнуть, что на вектор x действует линейное отображение L, мы будемиспользовать угловые скобки: L⟨x⟩.
Также используется обозначение Lx, пришедшее изалгебры. Линейные отображения называют ещё линейными операторами.Линейное отображение L : Rn → Rm называется ограниченным, если существует C ∈ R+ ,такое, что |L⟨x⟩| 6 C|x| для всех x ∈ Rn . Нормой линейного отображения L называетсявеличина|L⟨x⟩|.∥L∥ = supx∈Rn \{0} |x|Упражнение. Показать, что ∥L∥ = supx∈S(0,1) |L⟨x⟩|, где S(0, 1) — сфера единичногорадиуса в Rn .•Линейное отображение является ограниченным тогда и только тогда, когда ∥L∥ < ∞.Линейное отображение L : Rn → Rm называется непрерывным, если L⟨xk ⟩ → L⟨x⟩ длялюбой последовательности {xk }, сходящейся к x.20Упражнение. Любое линейное отображение из Rn в Rm является непрерывным и ограниченным.•Каждому линейному отображению L : Rn → Rm можно поставить в соответствие матрицу.
Пусть {e1 , . . . , en } и {w1 , . . . , wm } — стандартные базисы в Rn и Rm соответственно.Положим∑nLij = wi · L⟨ej ⟩. Заметим, что если y = L⟨x⟩, x = (x1 , . . . , xn ) и y = (y1 , . . . , ym ),то yi = j=1 Lij xj . В самом деле,y=m∑yi wi ,x=i=1поэтомуm∑k=1n∑x j ej ,j=1yk wk = Ln⟨∑n⟩ ∑⟨ ⟩xj ej =x j L ej .j=1j=1Умножив это равенство скалярно на wi и воспользовавшись тождеством wi · wk = δik , мыполучим требуемое соотношение.Производная функции.Пусть X — открытое множество в Rn . Функция f : X → Rm называется дифференцируемойв точке a ∈ X, если существует такое линейное отображение La : Rn → Rm , чтоf (x) − f (a) − La ⟨x − a⟩ = o(x − a) при x ∈ Xи x → a.•Линейное отображение La : Rn → Rm называется производной (или дифференциалом)функции f в точке a. Для производной используются следующие обозначения:f ′ (a),Df (a),а если мы используем термин «дифференциал», то пишем df (a).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
