1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Таким образом, выражение f ′ (a)⟨h⟩ (или df (a)⟨h⟩) означает, что мы подействовали линейным оператором f ′ (a)(или df (a)) на вектор h.Иногда бывает удобнее использовать другую форму определения дифференцируемостифункции. Скажем, что функция f : X → Rm является дифференцируемой в точке a ∈ X,если существует такое линейное отображение La : Rn → Rm , чтоf (a + h) − f (a) − La ⟨h⟩ = o(h) при h → 0.Введем обозначение:φ(a, h) = f (a + h) − f (a) − La ⟨h⟩,где La — линейное отображение, о котором говорится в определении.

Функция f дифференцируема в точке a, а La является её производной в этой точке, еслиφ(a, h) = o(h) при h → 0.Как следует из определения o-малого, существует такая функция ψ, чтоφ(a, h) = |h| ψ(a, h) и ψ(a, h) → 0 при h → 0.21Наверно, будет полезно напомнить, что равенство φ(a, h) = o(h) при h → 0 согласноопределению o-малого означает, чтоφ(a, h)= 0.h→0|h|limПриведённое выше определение производной годится и для случая, когда X — произвольное множество в Rn , а a ∈ X является его предельной точкой. Мы будем рассматриватьтолько простые случаи, когда X — открытое множество или замыкание открытого множества.Будем говорить, что функция f : X → Rm дифференцируема, если она дифференцируемав каждой точке множества X.Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то её производная в этойточке определена единственным образом.•Очевидно, что если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна вэтой точке.

Обратное утверждение неверно.Теорема. Если функции f , g : X → Rm дифференцируемы в точке a ∈ X и λ ∈ R, тофункции (f + g) и (λf ) дифференцируемы в точке a и(f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a),(λf )′ (a) = λ f ′ (a).•Теорема. Пусть функции f, g : X → R дифференцируемы в точке a ∈ X. Тогда функfция (f g), а если g(a) ̸= 0, то и функция , дифференцируема в точке a иg( f )′(f g)′ (a) = g(a) f ′ (a) + f (a) g ′ (a),g(a) =g(a) f ′ (a) − f (a) g ′ (a).g 2 (a)•Теорема.

Пусть функция f : X ⊂ Rn → Y ⊂ Rm дифференцируема в точке x0 ∈ X, афункция g : Y → Rk дифференцируема в точке y 0 = f (x0 ). Тогда функция (g ◦ f ) : X →Rk дифференцируема в точке x0 и(g ◦ f )′ (x0 ) = g ′ (y 0 ) ◦ f ′ (x0 ).То есть,⟨⟩(g ◦ f )′ (x0 )⟨h⟩ = g ′ (y 0 ) ◦ f ′ (x0 )⟨h⟩ = g ′ (y 0 ) f ′ (x0 )⟨h⟩ .•Теорема. Пусть функция f , отображающая некоторую окрестность U (x0 ) точки x0 ∈Rn на окрестность V (y 0 ) точки y 0 = f (x0 ) ∈ Rm , обладает следующими свойствами:1. f дифференцируема в точке x0 ;2. определена обратная функция f −1 : V (y 0 ) → U (x0 ), которая является непрерывнойв точке y 0 ;3.

линейное отображение f ′ (x0 ) : Rn → Rm обратимо.22Тогда обратная функция f −1 дифференцируема в точке y 0 и (f −1 )′ (y 0 ) = (f ′ (x0 ))−1 .•Заметим, что основное утверждение этой теоремы заключается в дифференцируемостиобратной функции. Если этот факт уже известен, то формулу для производной обратнойфункции мы могли бы легко вывести из теоремы о производной композиции функций.Теорема. (О конечном приращении) Пусть функция f : X ⊂ Rn → R дифференцируема. Если x, y ∈ X и отрезок I, соединяющий эти точки, также лежит в X, то существуетточка ξ ∈ I, такая, чтоf (x) − f (y) = f ′ (ξ)⟨x − y⟩.•Теорема. Если функция f : X ⊂ Rn → R дифференцируема и f ′ (x) = 0 для всех x изнекоторой области E ⊂ X, то f постоянна на E.•§ 8.2.

Частные производные.Пусть X — открытое множество в Rn , f : X → Rm , a ∈ X и h ∈ Rn . Предел, если онсуществует,f (a + λh) − f (a)lim,λ ∈ R,λ→0λназовём производной функции f в точке a по направлению вектора h и обозначим его∂fчерез(a).∂hЕсли функция f дифференцируема в точке a, то, как нетрудно видеть, ∂f /∂h(a) =f ′ (a)⟨h⟩.Пусть {ei } — стандартный базис в Rn . Частной производной функции f по переменнойxi называется производная функции f по направлению i-го базисного вектора ei .

Она∂fобозначается(a). Таким образом,∂xi∂f∂f(a) =(a) = f ′ (a)⟨ei ⟩∂xi∂eiилиf (a + λei ) − f (a)∂f(a) = lim,λ ∈ R.λ→0∂xiλДругими словами, чтобы посчитать частную производную по xi функции f : Rn → R вточке a ∈ Rn , достаточно вычислить производную функции одной переменной f˜(t) в точкеt = ai , где f˜(t) = f (a1 , . . . , ai−1 , t, ai+1 , . . . , an ).Производная функции является линейным отображением, поэтому мы можем сопоставить ей матрицу, которая называется матрицей Якоби.

Если f : Rn → Rm , то частные∂fi(a) являются компонентами матрицы Якоби относительно стандартныхпроизводные∂xjбазисов пространств Rn и Rm . Если n = m, то матрица Якоби является квадратной и мыможем посчитать её определитель, называемый якобианом.Интересно исследовать вопрос о связи производной функции и её частных производных.Если функция дифференцируема, то её частные производные, очевидно, существуют.

Обратное утверждение неверно. Более того, существование всех частных производных функции в некоторой точке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке.23Пример. Пусть G = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 | 0 < x1 < 1, x2 = x21 }. Определим функциюf : R2 → R следующим образом:{1, x ∈ G,f (x) =0, x ∈ R2 \ G.∂f∂f(0) =(0) = 0. Но функция f разрывна в точке 0, поэтому она∂x1∂x2не может быть дифференцируемой в этой точке.•Тогда существуютТеорема.

Пусть функция f : X ⊂ Rn → R имеет все частные производные (по всемпеременным), которые непрерывны в точке a ∈ X. Тогда f дифференцируема в этойточке.•Обозначим через C 1 (X) множество функций, действующих из X в R, все частные производные от которых определены и непрерывны в X. Как следует из теоремы, еслиf ∈ C 1 (X), то f дифференцируема в X.Так как f = (f1 , f2 , . .

. , fm ), последнюю теорему, да и многие другие утверждения можносформулировать для векторных функций. Определим C 1 (X, Rm ), как множество функций, действующих из X в Rm , все частные производные от которых определены и непрерывны в X. Функции из этого множества дифференцируемы в X. Нетрудно проверить,что C 1 (X, Rm ) образует линейное пространство, называемое пространством непрерывнодифференцируемых функций.Градиент, дивергенция и ротор.Рассмотрим скалярную дифференцируемую функцию f : Rn → R. В любой точке a ∈ Rnеё производная является ограниченным линейным отображением из Rn в R.

Нетрудно доказать, что в этом случае существует единственный вектор ξ ∈ Rn , такой, чтоf ′ (a)⟨h⟩ = ξ · h для произвольного вектора h ∈ Rn . Этот вектор называется градиентом функции f в точке a и обозначается ∇f (a). В стандартном базисе градиент имеетследующие компоненты:( ∂f ∂f∂f )∇f =,,...,.∂x1 ∂x2∂xnУпражнение. Доказать, что градиент функции в точке a, если он отличен от нуля,указывает в сторону наискорейшего возрастания этой функции. Другими словами, если∇f (a) ̸= 0, тоf ′ (a)⟨v⟩ = max f ′ (a)⟨h⟩h∈S(0,1)где S(0, 1) — единичная сфера в Rn и v = ∇f (a)/|∇f (a)|.Заметим, что если h — вектор в Rn , то•∂f= h · ∇f .

В самом деле,∂hnnn∑⟨∑⟩ ∑∂f∂f′′′(a) = f (a)⟨h⟩ = f (a)hi f (a)⟨ei ⟩ =hi(a) = h · ∇f (a).hi e i =∂h∂xii=1i=1i=1Пусть f : Rn → Rn . Дивергенцией вектор-функции f в точке a называется след tr f ′ (a)линейного отображения f ′ (a). Дивергенция обозначается через div f (a). В стандартном24базисе дивергенция является следом матрицы Якоби и имеет следующий вид:div f =Пусть f : R3 → R3 иn∑∂fi.∂xii=1()∗Ω(a) = f ′ (a) − f ′ (a) ,()∗где f ′ (a) есть линейное отображение, сопряжённое (транспонированное) к f ′ (a). Существует единственный вектор ω ∈ R3 , такой, что Ω(a)⟨h⟩ = ω × h.

Вектор ω называетсяротором вектор-функции f в точке a и обозначается rot f (a) или curl f (a). В стандартномбазисе ротор имеет следующие координаты:( ∂f∂f2 ∂f1∂f3 ∂f2∂f1 )3rot f =−,−,−∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2Эти громоздкие выражения очень просто запомнитьe1e2 ∂∂rot f = det  ∂x ∂x12f1f2с помощью следующей формулы:e3∂  .∂x3 f3Определитель считается формально.§ 8.3. Производные высших порядков.Если функция f : X ⊂ Rn → R дифференцируема, то мы можем в каждой точке x ∈ X∂fпосчитать её частные производные(x), i = 1, .

. . , n. Эти частные производные так∂xiже являются функциями от x, действующими из X в R. От них тоже можно вычислить∂ 2f∂ ( ∂f )=, если они существуют. Эти производные начастные производные∂xj ∂xi∂xj ∂xiзываются частными производными второго порядка от функции f . Продолжая процессдифференцирования, мы придём к понятию частных производных порядка k:∂kf,∂xi1 . . . ∂xikгде ij ∈ {1, 2, .

. . , n}. В этом выражении производные вычисляются справа налево, т.е.,сначала по xik , потом — по xik−1 , . . . , и в последнюю очередь — по xi1 . Однако, как мыувидим, результат не зависит от порядка вычисления производных.Теорема. Пусть функция f : Rn → R дифференцируема в некоторой окрестности U (a)точки a ∈ Rn , а её вторые частные производные∂2f∂xi ∂xjи∂ 2f∂xj ∂xiопределены в U (a) и непрерывны в точке a.

Тогда∂ 2f∂ 2f(a) =(a).∂xi ∂xj∂xj ∂xi25•Скажем, что функция f : X → R принадлежит множеству C k (X), если все её частныепроизводные до порядка k включительно определены и непрерывны в X. Это множествообразует линейное пространство, называемое пространством k раз непрерывно дифференцируемых функций. Очевидно, что C k (X) ⊂ C k−1 (X). Аналогично определяется пространство C k (X, Rm ) k раз непрерывно дифференцируемых функций, действующих из Xв Rm .Теорема.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)