1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Тогда для любогоδ > 0 существует множество Eδ ⊂ E, такое, что µ(E \ Eδ ) < δ и fk → f равномерно на Eδ .•§ 11.4. Интеграл Лебега.Предположим, что X есть произвольное измеримое множество конечной меры (µ(X) < ∞)в Rn .12Определение. Функция f : X → R называется простой, если она измерима и принимаетне более чем счётное число значений a1 , a2 , . . ..
Скажем, чтоP простая функция f суммиру−1ема (или интегрируема), если абсолютно сходится ряд ∞(ak ).k=1 ak µ(Ak ), где Ak = fСуммуR этого ряда назовём интегралом от простой функции по мере Лебега и обозначимчерез X f dµ.•Отметим некоторые свойства интеграла от простых функций.R1) Если f и g —R простыеR интегрируемые функции, то функция (f + g) интегрируема и(f + g) dµ = X f dµ + X g dµ.X2)R Если f — Rпростая интегрируемая функция и k ∈ R, то функция kf интегрируема иkf dµ = k X f dµ.X3) Если Rf — простаяинтегрируемая функция, такая, что |f | 6 M для некоторой константыM , то A f dµ 6 M µ(A), где A — произвольное измеримое множество в X.Теорема.
Для того, чтобы функция f : X → R была измерима, необходимо и достаточно,чтобы существовала последовательность простых измеримых функций {fk }, сходящаясяк f равномерно на X.•Замечание. Если в предыдущей теореме f > 0, то последовательность простых функций{fk } можно выбрать монотонно возрастающей или монотонно убывающей.•Определение. Измеримая функция f : X → R называется интегрируемой (или суммируемой) на множестве A ⊂ X, если существует последовательность простых интегрируRемых функций {fk }, сходящаяся к f равномерно на A.
При этом число limk→∞R A fk dµназывается интегралом Лебега от функции f по множеству A и обозначается A f dµ. •Это определение корректно, так как справедливы следующие утверждения:R1) если fk ⇒ f , то существует limk→∞ A fk dµ;X2) этот предел не зависит от выбора последовательности {fk }.Обозначим через L(A) множество интегрируемых на множестве A функций.Отметим некоторые свойства интеграла Лебега.1) Если f ∈ L(X), то f ∈ L(A) для любого измеримого множества A ⊂ X.R2) Если f ∈ L(X), A ⊂ X и µ(A) = 0, то A f dµ = 0.R3) Для любого измеримого множества A ⊂ X справедливо равенство: X χA dµ = µ(A),где функция χA определяется следующим образом(1, x ∈ A,χA (x) =0, x 6∈ Aи называется характеристической функцией множества A.RR4) Если f ∈ L(X) и k ∈ R, то функция (kf ) ∈ L(X) и X kf dµ = k X f dµ.RRR5) Если f, g ∈ L(X), то (f + g) ∈ L(X) и X (f + g) dµ = X f dµ + X g dµ.R6) Если f ∈ L(A) и f > 0 почтивсюдуRR в A, то A f dµ > 0.
В частности, если f, g ∈ L(A) иf > g почти всюду в A, то A f dµ > A g dµ. Если f ∈ L(A)и M1 6 f 6 M2 почти всюду вRA для некоторых постоянных M1 и M2 , то M1 µ(A) 6 A f dµ 6 M2 µ(A).137) Если f ∈ L(X) и g(x) = f (x) для почти всех x ∈ X, то g ∈ L(X) иRXg dµ =RXf dµ.8) Если A1 и A2 R— измеримыемножества и f ∈ L(A1 ) ∩ L(A2 ), тоR непересекающиесяRf ∈ L(A1 ∪ A2 ) и A1 ∪A2 f dµ = A1 f dµ + A2 f dµ.R9)Пустьf—измеримаяфункция,ϕ∈L(X)и|f|6ϕ.Тогдаf∈L(X)и|f | dµ 6XRϕdµ.XСвойства 4 и 5 выражают факт линейности интеграла Лебега.Теорема. f ∈ L(X) тогда и только тогда, когда |f | ∈ L(X).•Теорема (Счётная аддитивность интеграла Лебега). Пусть A, A1 , . .
. , Ak , . . . — измеримые множества в X, такие, что Ai ∩ Aj = ∅ при i 6= j и A = ∪∞i=1 Ai . Если f ∈ L(A),тоZ∞ ZXf dµ =f dµ.•Ai=1AiТеорема (Неравенство Чебышева). Пусть f — неотрицательная интегрируемая на Aфункция. ТогдаZ 1f dµµ {x ∈ A | f (x) > c} 6c Aдля произвольного положительного числа c.•RСледствие. Если A |f | dµ = 0, то f = 0 почти всюду в A.•Теорема (Абсолютная непрерывностьинтегралаЛебега). Если f ∈ L(X), то для любогоRε > 0 существует такое δ > 0, что A f dµ < ε для любого измеримого множества A ⊂ X,мера Лебега которого меньше δ (т.е., µ(A) < δ).•Теорема (Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла). Пусть последовательность {fk } интегрируемых функций сходится почти всюду на множестве A кфункции f . Если существует интегрируемаяR функцияR ϕ, такая, что |fk | 6 ϕ для всех k,то функция f интегрируема на A и limk→∞ A fk dµ = A f dµ.•Теорема (Б.Леви).
Пусть задана последовательность интегрируемых функций{fk }, таRких, что f1 6 f2 6 . . . 6 fk 6 . . . на измеримом множестве A ⊂ X и A fk dµ 6 M длявсех k, где M — некоторая константа. Тогда дляR почти всехR x ∈ A существует конечныйпредел limk→∞ fk (x) = f (x), f ∈ L(A) и limk→∞ A fk dµ = A f dµ.•Теорема (Фату). Если последовательность интегрируемых неотрицательныхR функций{fk } сходится почти всюду на измеримом множестве A ⊂ X к функции f Rи A fk dµ 6 Mдля всех k, где M — некоторая константа, то функция f интегрируема и A f dµ 6 M .
•Чтобы определить интеграл Лебега по множеству X бесконечной меры, введём последовательность шаров {Bk } в Rn с центрами в начале координат и с радиусами rk → ∞ приk → ∞. Скажем,что f ∈ L(X), если f ∈ L(X ∩ Bk ) для каждого k и существует конечныйRпредел lim X∩Bk f dµ.k→∞Заметим, что если этот предел существует для какой-то одной последовательности «раздувающихся» шаров, то он существует и для любой другой последовательности и имеетто же самое значение.14Если µ(X) = ∞ и f ∈ RL(X), то интегралЛебега от функции f по множеству X определимRследующим образом: X f dµ = lim X∩Bk f dµ.k→∞Нетрудно проверить, что теоремы Лебега, Леви и Фату о предельных переходах остаютсясправедливыми и для интегралов по множествам бесконечной меры. RbRТеорема.
Если f ∈ Rim[a, b], то f ∈ L [a, b] и a f (x) dx = [a,b] f dµ. Здесь µ — одномерная мера Лебега.•Рассмотрим пространства X = Rn , Y = Rm и X × Y = Rn+m . Меру Лебега в этих пространствах обозначим через µx , µy и µ соответственно.Если A — множество в X × Y , то обозначимA(x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ A} — сечение множества A, проходящее через точку x ∈ Xпараллельно пространству Y ;A(y) = {x ∈ X | (x, y) ∈ A} — сечение множества A, проходящее через точку y ∈ Yпараллельно пространству X.Теорема (О сечениях измеримого множества). Если A — ограниченное µ-измеримоемножество в X × Y , то1. для µx -почти всех точек x ∈ X множество A(x) µy -измеримо и функция x 7→ µy A(x)интегрируема на X,2.
для µy -почти всех точек y ∈ X множество A(y) µx -измеримо и функция y 7→ µx A(y)интегрируема на Y ,RR3. µ(A) = X µy A(x) dµx = Y µx A(y) dµy .•Теорема (Фубини). Если f ∈ L(A), где A — ограниченное µ-измеримое множество в X ×Y ,то1. f (x, ·) ∈ L A(x) для почти всех x ∈ X и f (·, y) ∈ L A(y) для почти всех y ∈ Y ,2.
функцииZZx 7→f (x, y) dµyи y 7→f (x, y) dµxA(y)A(x)интегрируемы на X и Y соответственно,3.Z ZZZ Zf dµ =f (x, y) dµy dµx =XAYA(x)f (x, y) dµx dµy .•A(y)Теорема (Тонелли). Пусть A — ограниченное µ-измеримое множество в X × Y и функцияf = f (x, y) измерима на A. Если существует хотя бы один из интеграловZ ZZ Z|f (x, y)| dµy dµx ,|f (x, y)| dµx dµy ,XA(x)YA(y)то f ∈ L(A) и для этой функции справедлива теорема Фубини.•Пусть A — измеримое множество в Rn и f : A → R — неотрицательная функция. Множество QA (f ) = {(x, y) ∈ Rn+1 | x ∈ A, 0 6 y 6 f (x)} называется подграфиком функции fна множестве A.Обозначим через µn меру Лебега в Rn .15Теорема.
(О мере подграфика функции) Пусть A — µn -измеримое множество конечноймеры в Rn , f ∈ L(A) и f > 0. ТогдаZf dµn .•µn+1 QA (f ) =AТеорема. Пусть A — µn -измеримое множество конечной меры в Rn , f ∈ L(A) и f > 0.ТогдаZZf dµn =h dµ1 ,AR+где h = h(λ) = µn {x ∈ A | f (x) > λ} , R+ = [0, ∞).•Пусть X и Y — области в Rn . Отображение ϕ : X → Y называется диффеоморфизмом,если оно биективно, и отображения ϕ и ϕ−1 непрерывно дифференцируемы. Для удобства,точки в области определения ϕ будем обозначать через x, а в множестве значений —через y. Кроме того, обозначим через Rnx и Rny пространство Rn с переменными x и yсоответственно.
Меру Лебега в Rnx и Rny обозначим через µx и µy соответственно.Мы будем называть диффеоморфизм ϕ ограниченным, если ϕ0 (x) и ϕ0 (y)−1 являются равномерно по x ∈ X и y ∈ Y , соответственно, ограниченными операторами.Теорема. Пусть B — шар в Rnx (замкнутый или открытый — не важно) радиуса r сцентром в точке a и ϕ : B → Rny — ограниченный диффеоморфизм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
