1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Тогда существуеттакое r0 > 0, что для любого r ∈ (0, r0 ) справедлива оценка:µy ϕ(B)n(1 − α(r)) 66 (1 + α(r))n ,0| det ϕ (a)| µx (B)где α(r) → 0 при r → 0.•Лемма. Если A ⊂ Rn — множество меры нуль и ϕ : Rn → Rn — ограниченный диффеоморфизм, то ϕ(A) — множество меры нуль.•Теорема. (Об изменении меры множества при диффеоморфизме) Если A ⊂ Rnx — измеримое множество конечной меры и ϕ : Rnx → Rny — ограниченный диффеоморфизм, томножество ϕ(A) измеримо в Rny и справедлива формула:Zµy ϕ(A) =| det ϕ0 | dµx .•AТеорема.

(О замене переменных в интеграле Лебега) Если A ⊂ Rnx — измеримое множество конечной меры, ϕ : Rnx → Rny — ограниченный диффеоморфизм и f ∈ L ϕ(A) , тоf ◦ ϕ ∈ L(A) иZZf (y) dµy =f ϕ(x) | det ϕ0 (x)| dµx .•ϕ(A)A§ 11.5. Пространства интегрируемых функций.Пусть X — линейное нормированное пространство с нормой k · kX .

Последовательность{xk } элементов пространства X называется фундаментальной (или последовательностью16Коши), если для любого ε > 0 существует такое kε ∈ N, что kxm − xn kX < ε для всехm, n > kε .Говорят, что последовательность {xk } сходится к x в нормированном пространстве X,если kxk − xkX → 0 при k → ∞.Нормированное пространство называется полным, если в нём каждая фундаментальнаяпоследовательность имеет предел, принадлежащий этому пространству.Полное линейное нормированное пространство называется банаховым.Пример.

Рассмотрим пространство C[0, 1] непрерывных на отрезкеR [0, 1] функций. Введёмв этом пространстве две нормы: kf kC = max |f (x)|, kf k1 = [0,1] |f | dµ. Пространствоx∈[0,1](C[0, 1], k·kC ) является полным и потому банаховым, а пространство (C[0, 1], k·k1 ) полным,а значит и банаховым, не является.

Ко второй части этого утверждение мы ещё вернёмсяв дальнейшем.•Пусть G — измеримое множество в Rn . Обозначим через L1 (G) линейное пространствоинтегрируемых по Лебегу функций (раньше мы обозначали его через L(G)). Для каждойфункции f ∈ L1 (G) положимZkf k1 =|f | dµ.GНетрудно проверить, что k · k1 удовлетворяет всем аксиомам нормы, кроме одной. Вообщеговоря, из kf k1 = 0 не следует, что f = 0.

Можно лишь утверждать, что f = 0 почтивсюду в G. То есть, функция f может быть отличной от нуля на множестве меры нуль(например, функция Дирихле).Определение. Назовём функции f и g : G → R эквивалентными (f ∼ g), если f (x) =g(x) для почти всех x ∈ G.•Мы не будем различать функции, совпадающие почти всюду, а элементами пространстваL1 (G) будем считать классы эквивалентных функций. Если kf k1 = 0, то f ∼ 0. Согласнонашему соглашению, последнее соотношение означает, что f = 0 в L1 (G). Таким образом,k·k1 является нормой в L1 (G).

Чтобы вычислить норму элемента (класса эквивалентности)пространства L1 (G), нужно посчитать её от произвольного представителя (функции) этогокласса.Аналогично определим пространства Lp (G) при произвольных p ∈ [1, ∞), элементамикоторых являются измеримые функции f (классы эквивалентности), такие, что kf kp < ∞,гдеZ1/ppkf kp =|f | dµ.GПусть f — измеримая на G функция. Скажем, что число K является существенной верхней гранью для функции f , если f (x) 6 K для почти всех x ∈ G. Наименьшая из существенных верхних граней обозначается через ess sup f (x) и называется существеннымx∈Gсупремумом функции f на множестве G.Обозначим через L∞ (G) пространство измеримых функций f (классов эквивалентности),таких, что ess sup |f (x)| < ∞.

Определим норму в этом пространстве:x∈Gkf k∞ = ess sup |f (x)|.x∈G17Убедимся, что Lp (G) является линейным пространством и k · kp удовлетворяет аксиомамнормы. Достаточно проверить, что справедливо неравенство треугольника: kf + gkp 6kf kp + kgkp . При p = ∞ это неравенство очевидно.Теорема (Неравенство Юнга). Если f ∈ Lp (G) и g ∈ Lq (G), где p, q ∈ (1, ∞) и p−1 + q −1 =1, то функция f g интегрируема иZZZ1111p•|f g| dµ 6|f | dµ +|g|q dµ = kf kpp + kgkqq .p Gq GpqGПусть µ(G) < ∞. Положив в последнем неравенстве g ≡ 1, мы получимZZ11|f | dµ 6|f |p dµ + µ(G).p GqGКроме того, так как |f | 6 kf k∞ почти всюду в G,Z|f | dµ 6 kf k∞ µ(G).GТаким образом, из того, что f ∈ Lp (G) с p ∈ (1, ∞] следует, что f ∈ L1 (G). В этомслучае говорят, что пространство Lp (G) вкладывается в пространство L1 (G) и пишутLp (G) ⊂ L1 (G).

Если мы положим в последних неравенствах |f | = |u|α с α ∈ (1, ∞), мылегко получим, что Lq (G) ⊂ Lp (G) при 1 6 p 6 q 6 ∞.Теорема (Неравенство Гёльдера). Если f ∈ Lp (G) и g ∈ Lq (G), где p, q ∈ (1, ∞) и p−1 +q −1 = 1, то функция f g интегрируема и ZZ1/q1/p Zqp|g| dµ= kf kp kgkq .•|f | dµ f g dµ 6GGGИз неравенства Гёльдера также легко следует, что Lq (G) ⊂ Lp (G) при p 6 q в случаеµ(G) < ∞.Теорема (Неравенство Минковского). Если f, g ∈ Lp (G), где p ∈ [1, ∞], то справедливонеравенство: kf + gkp 6 kf kp + kgkp .•Неравенство Минковского есть не что иное, как неравенство треугольника для норм впространстве Lp (X). Таким образом, пространства Lp (G), p ∈ [1, ∞], являются линейнымии нормированными.Теорема.

(О полноте Lp ) Пусть X — измеримое множество в Rn , µ(X) < ∞ и p ∈ [1, ∞].Тогда нормированное пространство Lp (X) является полным.Более того, если {uk } — фундаментальная последовательность в Lp (X), то из неё можновыбрать сходящуюся почти всюду в X подпоследовательность.•Утверждение теоремы справедливо и для случая, когда X — измеримое множество бесконечной меры.Из первого утверждения этой теоремы следует, что Lp (X) является банаховым пространством.Пусть M — некоторое множество в банаховом пространстве X. Говорят, что множество Mзамкнуто в X, если любая фундаментальная последовательность, лежащая в M , сходится18к элементу из M .

Замыканием множества M в пространстве X называется наименьшеезамкнутое множество в X, содержащее M . Говорят, что множество M плотно в множествеN ⊂ X, если его замыкание в X содержит N . Если M плотно во всём пространстве X, точасто говорят, что M всюду плотно.Можно дать и другое определение плотного множества.

Скажем, что множество M ⊂ Xплотно в банаховом пространстве X, если для любого ε > 0 и для любого u ∈ X существуеттакое v ∈ M , что ku−vkX < ε. Фактически, это означает, что для любого u ∈ X существуетпоследовательность uk ∈ M , такая, что kuk − ukX → 0 при k → ∞.Упражнение. Пусть X, Y, Z — банаховы пространства, такие, что Z ⊂ Y ⊂ X и k · kX 6c1 k · kY 6 c2 k · kZ для некоторых постоянных c1 и c2 . Если Z плотно в Y , а Y плотно в X,то Z плотно в X.•Теорема. Если µ(G) < ∞, то L∞ (G) плотно в Lp (G) для любого p ∈ [1, ∞).•Следствие. Если µ(G) < ∞, то Lp (G) плотно в Lq (G) для любых p, q ∈ [1, ∞], таких, чтоp > q.•Теорема.

Если G — измеримое множество в Rn и µ(G) < ∞, то пространство C(G) плотнов Lp (G) для любого p ∈ [1, ∞).•Замечание. Если f ∈ C(G), то kf k∞ = ess sup |f (x)| = max |f (x)|. То есть, если последоваx∈Gx∈Gтельность непрерывных функций сходится по норме пространства L∞ (G), то она сходитсяравномерно на G, и предельная функция будет непрерывной. Поскольку в пространствеL∞ (G) есть разрывные функции, мы приходим к выводу, что C(G) не плотно в L∞ (G).

•Как следует из теоремы, замыкание C(G)по норме k · kp , p ∈ [1, ∞), совпадает с Lp (G) 6=C(G). Поэтому пространство C(G), k · kp , p ∈ [1, ∞), не является полным (см. пример вначале параграфа).Определение. Банахово пространство называется сепарабельным, если в нём существуетсчётное всюду плотное множество.•По теореме Вейерштрасса множество полиномов с рациональными коэффициентами плотно в C(G). Так как это множество является счётным, банахово пространство C(G) сепарабельно. Следовательно сепарабельными являются все пространства Lp (G) при p ∈ [1, ∞).Пространство L∞ (G) не сепарабельно.Пример.

Пусть G = [0, 1]. Для каждого α ∈ (0, 1) определим функцию(0, x ∈ [0, α),uα (x) =1, x ∈ [α, 1].Очевидно, что все uα ∈ L∞ (G) и kuα − uβ k∞ = 1 при α 6= β. Кроме того, семейство{uα , α ∈ (0, 1)} является несчётным (оно имеет мощность континуума). Предположим,что существует счётное плотное в L∞ (G) множество V = {v1 , v2 , . . .}. Тогда∞L (G) ⊂∞[B(vk , 1/3),k=1где B(vk , 1/3) = {v ∈ L∞ (G) | kv − vk k∞ < 1/3} — шар в L∞ (G) с центром в vk радиуса 1/3.Но в каждом из этих шаров может лежать только одна из функций uα , поэтому мощность19множества шаров должна быть больше или равна мощности семейства {uα , α ∈ (0, 1)}.Получили противоречие. Таким образом, в L∞ (G) не существует счётного всюду плотногомножества.•20Математический анализЛектор - профессор В.

Н. Старовойтов4-й семестрГлава. Ряды Фурье. Преобразование Фурье.§ 1. Гильбертовы пространства.Определение. Банахово пространство называется гильбертовым, если в нём определенасимметричная билинейная форма (·, ·), называемая скалярным произведением, такая, что(u, u) = kuk2 .•Пространство L2 (X) являетсяRгильбертовым. Скалярное произведение в нём определяетсяследующим образом: (u, v) = X u v dµ, где µ — мера Лебега.Пусть H — гильбертово пространство со скалярным произведением (·, ·) и нормой k · k.Лемма. (Неравенство Коши — Буняковского) Для любых u, v ∈ H справедливо неравенство: |(u, v)| 6 kuk kvk.•Линейной оболочкой множестваM называется совокупность всех конечных линейных комPcбинаций элементов из M : mi=1 i ui , ci ∈ R, ui ∈ M .Определение.

Набор элементов {uα } гильбертова пространства H называется полным вH, если замыкание линейной оболочки {uα } совпадает с H.•Определение. Полная линейно независимая система {uα } элементов пространства Hназывается базисом. Базис {uα } в гильбертовом пространстве H называется ортонормированным, если (uα , uβ ) = 0 при α 6= β и kuα k = 1 для всех α.•Утверждение. В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ортонормированнаясистема элементов может быть не более чем счетной.•Утверждение. В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует счетныйортонормированный базис.•Далее мы будем полагать, что H — сепарабельное гильбертово пространство.Определение.

Пусть {ϕk } — счетная ортонормированная система в гильбертовом пространстве H, которая не обязательноявляется базисом. Для произвольного u ∈ H обоP∞значим: αk = (u, ϕk ). Ряд k=1 αk ϕk называется рядом Фурье элемента u относительносистемы {ϕk }. Числа αk называются коэффициентами Фурье.•PmОбозначим через Sm (u) (или просто Sm ) частичные суммы k=1 αk ϕk ряда Фурье.P0Лемма. Для каждого m ∈ N среди всех сумм Sm= mk=1 γk ϕk , γk ∈ R, минимум величины0ku − Sm k в H достигается на частичной сумме Sm ряда Фурье, то есть при γk = αk .•Лемма. (Неравенство Бесселя) Для каждого u ∈ H имеет место неравенство∞Xαk2 6 kuk2 ,k=1•где αk — коэффициенты Фурье элемента u.1Теорема. Пусть {ϕk } — ортонормированная система в H. Для того, чтобы эта система была полной в H, необходимо и достаточно, чтобы для любого u ∈ H выполнялосьравенство Парсеваля:∞Xkuk2 =αk2 ,k=1•где αk — коэффициенты Фурье элемента u.Теорема.

(Теорема Рисса — Фишера) Пусть {ϕk } — ортонормированная, не обязательносистема в H и {γk } — произвольная последовательностьчисел, такая, чтоP∞P∞полная2k=1 γk ϕk с γk = (u, ϕk ) иk=1 γkP< ∞. Тогда существует u ∈ H, такой, что u =∞22•kuk = k=1 γk .Определение. Система {ϕk } элементов гильбертова пространства H называется тотальной, если для любого u ∈ H из того, что (u, ϕk ) = 0 для всех k следует, что u = 0 в H.•Теорема. Для того, чтобы система {ϕk } была полной в сепарабельном гильбертовом пространстве H, необходимо и достаточно, чтобы она была тотальной.•§ 2.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)