1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тригонометрические ряды Фурье.Рассмотрим в гильбертовом пространстве L2 (−π, π) тригонометрическую систему функций:1, cos x, sin x, . . . , cos kx, sin kx, . . .Эта система является ортогональной, но не нормированной. Нетрудно убедиться в том,что системаcos x sin xcos kx sin kx1√ , √ , √ , ..., √ , √ , ...ππππ2πортонормирована в L2 (−π, π).Каждой функции f ∈ L2 (−π, π) поставим в соответствие ряд Фурьеf (x) ∼∞a0 Xak cos kx + bk sin kx ,+2k=1где коэффициенты Фурье определены следующим образом:ZZ1 π1 πak =f (x) cos kx dx,bk =f (x) sin kx dx.π −ππ −πОпределение. Тригонометрическим полиномом называется выражение видаc0 +mXck cos kx + dk sin kx ,ck , dk ∈ R.•k=1Если T (x) — тригонометрический полином, а P (y) — алгебраический полином, то P (T (x))— тригонометрический полином.2Теорема.
(Вейерштрасс) Пусть f : [−π, π] → R — непрерывная функция и f (−π) =f (π). Тогда для любого ε > 0 существует тригонометрический полином T , такой, чтоmax |f (x) − T (x)| < ε.•x∈[−π,π]Утверждение. (Обращение теоремы Вейерштрасса) Если функция f : [−π, π] → Rаппроксимируется с любой точностью тригонометрическими полиномами по норме пространства C[−π, π], то f непрерывна и f (−π) = f (π).•Теорема. (Следствие из теоремы Вейерштрасса)Тригонометрическая система {1, cos x, sin x, .
. . , cos kx, sin kx, . . . } полна в пространстве L2 (−π, π).•Таким образом, для тригонометрической системы в L2 (−π, π) справедливы все утверждения, доказанные для полных ортонормированных систем в сепарабельных гильбертовыхпространствах. В частности,1) для каждой функции f ∈ L2 (−π, π) справедливо равенство Парсеваля: π1 kf k2 = a20 /2 +P∞22k=1 (ak + bk );2) ряд Фурье, соответствующий функции f ∈ L2 (−π, π), сходится к f в L2 (−π, π).Далее мы исследуем поточечную сходимость рядов Фурье.Обозначим через Sn (x) (или через Sn (f, x)) частичную сумму ряда Фурье функции f :Sn (x) =na0 Xak cos kx + bk sin kx ,+2k=1Продолжим функцию f периодически на всю числовую ось R. Нетрудно посчитать, чтоZ π1 sin y(n + 1/2)Sn (x) =f (x + y) Dn (y) dy, где Dn (y) =.2πsin y/2−πИнтеграл в выраженииR π для Sn (x) называется интегралом Дирихле, а Dn (y) — ядром Дирихле. Заметим, что −π Dn (y) dy = 1.Теорема.
(Риман) Пусть f ∈ L1 (a, b), где [a, b] — произвольный ограниченный интервалв R. ТогдаZ bZ blimf (t) sin pt dt = limf (t) cos pt dt = 0.•p→∞p→∞aaЛемма. Для любого δ ∈ (0, π) имеет место равенствоZlimDn (t) dt = 0.n→∞•[−π,π]\(−δ,δ)Теорема. (Принцип локализации) Пусть f, g ∈ L1 (−π, π) и f = g на некотором интервале(a, b) ⊂ R. Тогда ряды Фурье, соответствующие функциям f и g, сходятся или расходятся одновременно на любом интервале (a0 , b0 ) ⊂ (a, b), и если они сходятся, то их суммысовпадают.•Теорема. Пусть f ∈ L1 (−π, π), x ∈ [−π, π] и выполняется условие Дини:Z δ|f (x + t) − f (x)|dt < ∞|t|−δ3для некоторого δ > 0.
Тогда Sn (f, x) → f (x) при n → ∞.•Заметим, что в формулировке теоремы допущена неточность (для наглядности). Функциииз L1 (−π, π) определены с точностью до значений на множестве меры нуль, поэтому f (x)может быть не определена. Было бы более правильно изменить формулировку следующимобразом. ЕслиZ δ|f (x + t) − S0 |dt < ∞|t|−δдля некоторого числа S0 , то Sn (f, x) → S0 при n → ∞.Теорема. Пусть f ∈ L1 (−π, π), x ∈ [−π, π], существуют пределы limt%x f (t) = f (x − 0),limt&x f (t) = f (x + 0) и выполняется второе условие Дини:Z 0Z δ|f (x + t) − f (x + 0)||f (x + t) − f (x − 0)|dt < ∞,dt < ∞|t||t|0−δf (x + 0) + f (x − 0)при n → ∞.•2Обозначим через C 0, α [−π, π], α ∈ (0, 1), пространство непрерывных на [−π, π] функцийf , которые удовлетворяют условию Гёльдера: |f (x) − f (y)| 6 C |x − y|α для некоторойконстанты C. При α = 1 условие Гёльдера называется условием Липшица.
C 0, α [−π, π]является банаховым пространством с нормойдля некоторого δ > 0. Тогда Sn (f, x) →kf kC 0, α [−π,π] = max |f (x)| +x∈[−π,π]|f (x) − f (y)|.x,y∈[−π,π]|x − y|αmaxФункции из C 0, α [−π, π] удовлетворяют условиям Дини.Теорема. Пусть f ∈ C 0, α [−π, π] с α ∈ (0, 1] и f (−π) = f (π). Тогда ряд Фурье функции fсходится к f равномерно на [−π, π].•Теорема. (Упражнение) Пусть функция f интегрируема на [−π, π], продолжена периодически на R и f (−π) = f (π). Если f ∈ C 0, α [a, b], где α ∈ (0, 1] и [a, b] ⊂ R, то для любогоδ ∈ (0, (b − a)/2) ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на [a + δ, b − δ].•Пусть f — непрерывная на [−π, π] функция, продолженная периодически на R. Обозначим1S0 (f, x) + · · · + Sn−1 (f, x) .
Нетрудно вычислить, чтоσn (f, x) =nZ π1 sin nt/2 2f (x + t)Φn (t) dt, где Φn (t) =σn (f, x) =.2πn sin t/2−πВеличина σn (f, x) называется суммой Фейера, а Φn — ядром Фейера. Ядра Фейера обладают следующими свойствами:Rπ1) −π Φn (t) dt = 1 для всех n;RπR −δ2) δ Φn (t) dt → 0 и −π Φn (t) dt → 0 при n → ∞ для любого δ ∈ (0, π).Теорема. (Фейер) Пусть f ∈ C[−π, π] и f (−π) = f (π). Тогда σn (f ) → f равномерно на[−π, π].•Из этой теоремы, в частности, следует теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими полиномами.4В пространстве L2 (0, π) полными являются следующие две ортогональные системы функций:1, cos x, cos 2x, . . .
, cos kx, . . .sin x, sin 2x, . . . , sin kx, . . .Предположим, что функция f представима своим рядом Фурье. Согласно формуле Эйлера11cos kx = (eikx + e−ikx ) и sin kx = (eikx − e−ikx ). Отсюда получаем, что22if (x) =∞Xck eikx ,k=−∞где c0 = a0 /2, ck = (ak + ibk )/2 при k < 0 и ck = (ak − ibk )/2 при k > 0. Можно вычислитьck и по следующей формуле:Z π1f (x)e−ikx dx.ck =2π −πЭто представление справедливо и для комплексных функций f = f1 + if2 : [−π, π] → C.Скажем, что комплексная функция принадлежит пространству Lp , если её вещественнаяи мнимая части лежат в этом пространстве. С пространством L2 есть небольшой нюанс.Скалярное произведениев комплексном пространстве L2 [−π, π] определяется следующимRπобразом: (u, v) = −π u(x) v(x) dx, где черта означает комплексное сопряжение.
Таким образом, в полном соответствии с нашими определениями для абстрактныхP гильбертовыхпространств для комплексного пространства L2 [−π, π] мы имеем: f = ∞k=−∞ αk ϕk , где√ikxϕk (x) = e / 2π, αk = (f, ϕk ), k ∈ Z. Функции ϕk , k ∈ Z, образуют ортонормированныйбазис в L2 [−π, π].§ 3. Преобразование Фурье.Теорема. (Формула Фурье) Пусть функция f ∈ L1 (R) удовлетворяет условию Дини вточке x0 .
ТогдаZZ +∞1 ∞f (x0 ) =dλf (t) cos(λ(x0 − t)) dt.π 0−∞•Формулу Фурье можно записать в комплексной форме:Z +∞ Z +∞1f (x) =f (t) e−iλ(t−x) dtdλ .2π −∞ −∞Введем обозначение:1fb(λ) = √2πZ+∞f (t) e−iλt dt.−∞fˆ называется преобразованием Фурье функции f . Мы будем также использовать для преобразования Фурье обозначение F (f ). Согласно формуле Фурье справедлива формулаобращения преобразования Фурье:Z +∞1f (x) = √fb(λ) eiλx dλ.2π −∞5Выражение в правой части называется обратным преобразованием Фурье и обозначаетсяF −1 . Для того, чтобы формула обращения была справедлива, необходимо наложить нафункцию f некоторые ограничения (например, условие Дини).Утверждение.
Если fk → f в L1 (R), то F (fk ) → F (f ) равномерно на R.•Утверждение. Если f ∈ L1 (R), то F (f ) определено всюду в R и ограничено: |f (f )| 6(2π)−1/2 kf kL1 (R) .•Утверждение. Если f ∈ L1 (R), то F (f ) ∈ C(R) и F (f )(x) → 0 при x → ±∞.•Утверждение. Если f ∈ L1 (R), f 0 ∈ L1 (R) и f ∈ C 1 (R), то F (f 0 )(x) = ixF (f )(x).•Утверждение. Если f ∈ L1 (R) и xf (x) ∈ L1 (R), то F (f ) дифференцируема всюду на RdF (f ) = −iλF (f ).•и dλСверткой функций f, g ∈ L1 (R) называется функцияZ +∞1(f ∗ g)(x) = √f (t)g(x − t) dt.2π −∞Теорема.
Если f, g ∈ L1 (R), то F (f ∗ g) = F (f ) F (g).•21Если f ∈ L (R), то, вообще говоря, f 6∈ L (R) и поэтому преобразование Фурье F (f )в обычном смысле не определено. Тем не менее, мы можем обобщить понятие преобразования Фурье так, чтобы оно было определено на функциях из L2 (R) и совпадало склассическим на функциях из L1 (R).R +mТеорема (Планшерель). Пусть f ∈ L2 (R) и gm (λ) = √12π −m f (x) e−iλx dx. Тогдаа) gm ∈ L2 (R) для всех m ∈ N;б) последовательность {gm } сходится в L2 (R) при m → ∞ к некоторой функции g ∈ L2 (R),причем kgkL2 (R) = kf kL2 (R) ;в) если f ∈ L2 ∩ L1 (R), то g = F (f ).•Функция g называется преобразованием Фурье функции f ∈ L2 .Упражнение.
Пусть f, g ∈ L1 (R) и F (f ) = F (g) в R. Доказать, что f = g почти всюду вR. В частности, из F (f ) = 0 следует, что f = 0 почти всюду.•Глава. Анализ гладких отображений.§ 1. Непрерывные отображения.Определение. Метрическим пространством M называется множество точек, на котором определена метрика ρ. Метрика это функция ρ : M × M → R, обладающая следующими свойствами:1) ρ(x, y) > 0;2) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;3) ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y);4) ρ(x, y) = ρ(y, x).•Последовательность {xk } точек метрического пространства M называется сходящейся,если существует точка x ∈ M , такая, что ρ(xk , x) → 0 при k → ∞. Последовательность{xk } точек метрического пространства M называется фундаментальной, если∀ε > 0 ∃kε ∈ N : ρ(xm , x` ) < ε для всех m, ` > kε .6Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
