1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Функция называется аналитической намножестве E, если она аналитична в каждой точке этого множества.•Если функция аналитична, то она бесконечно дифференцируема.§ 9.4. Методы суммирования расходящихся рядов.PЕсли последовательность {sk } частичных сумм числового ряда ∞k=1 ak расходится, то последовательности {ak } можно поставить в соответствие другую последовательность {σk },составленную по другому правилу, которая ужеP∞будет сходящейся. Предел последовательности {σk } назовем обобщенной суммой ряда k=1 ak .
Это правило должно удовлетворятьследующим требованиям:P∞P∞1. Линейность. Если A и B есть обобщенные суммырядовaиkk=1k=1 bk соответP∞ственно, то αA + βB есть обобщенная сумма ряда k=1 (αak + βbk ) для любых α, β ∈ R.PP∞2. Регулярность. Если ряд ∞k=1 ak суммируем в обычном смысле иk=1 ak = A, то этотряд суммируем в обобщенном смысле и его обобщенная сумма равна A.Метод Чезаро.(C, 1)∞Xk=1(C, 2)∞Xk=1s1 + · · · + sk,σk =kak = lim σk ,k→∞ak = lim γk ,γk =k→∞sk =kXai .i=1σ1 + · · · + σk.k...Метод Чезаро является линейным и регулярным.Метод Абеля — Пуассона.Пустьдана числовая последовательность {ak }∞k=0 .
Поставим ей в соответствие степеннойP∞kряд k=0 ak x . Если этот ряд сходится приPx ∈ (0, 1) к некоторой функции f и существуетпредел limx→1−0 f (x), то говорят, что ряд ∞k=0 ak суммируем по Абелю — Пуассону и(AP )∞Xak = lim f (x).x→1−0k=0Теорема (Абель). Если степенной рядравномерно на [0, R].P∞k=0ak xk сходится в точке x = R, то он сходится•Метод Абеля — Пуассона является линейным и регулярным.Глава 10.
Интегралы, зависящие от параметра.§ 10.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.Пусть P = [a, b] × [c, d].4Определение. Функция f : P → R называется равномерно непрерывной на P , если∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 : |f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 )| < ε как только |x1 − x2 | < δ и |y1 − y2 | < δ.Обозначим F (y) =Rba•f (x, y) dx.Теорема. Если функция f непрерывна на P , то функция F непрерывна на [c, d].Теорема. Пусть функция f и её частная производнаянепрерывно дифференцируема на [c, d] иZ b∂fdF(y) =(x, y) dx.dya ∂y∂f∂y•непрерывны на P .
Тогда F•Теорема. Пусть функция f и её частная производная ∂fнепрерывны на P . Пусть функ∂yции α = α(y) и β = β(y) непрерывно дифференцируемы на [c, d] и, кроме того, (α(y), y) ∈ Pи (β(y), y) ∈ P для всех y ∈ [c, d]. ТогдаZ β(y)Z β(y)d∂f00f (x, y) dx = β (y) f (β(y), y) − α (y) f (α(y), y) +(x, y) dx.•dy α(y)α(y) ∂yТеорема. Пусть f : P → R — непрерывная функция. ТогдаZ dZ bZ bZ df (x, y) dxdy =f (x, y) dydx.caa•cТеорема (Вейерштрасс).
Если функция f : [0, 1] → R непрерывна, то существует последовательность полиномов с вещественными коэффициентами, которая сходится к fравномерно на [0, 1].•Эта теорема справедлива и в многомерном случае. Кроме того, очевидно, что можно взятьпоследовательность полиномов с рациональными коэффициентами.§ 10.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.Пусть задана функция f = f (x, y), где x ∈ [a, ω) и y ∈ Y ⊂ Rn .
Здесь либо ω = +∞, либоRbf (x, y) → ∞ при x → ω. Обозначим Fb (y) = a f (x, y) dx, где b ∈ (a, ω). Если FbR(y) сходитсяωпри b → ω, то говорят, что существует (сходится) несобственный интеграл a f (x, y) dx,значение которого мы обозначим через F (y).RωОпределение. Несобственный интеграл a f (x, y) dx называется сходящимся равномернопо y ∈ Y , если Fb сходится при b → ω равномерно по y ∈ Y .•RωТеорема (Критерий Коши). Для того, чтобы несобственный интеграл a f (x, y) dx сходился равномерно по y ∈ Y , необходимо и достаточно, чтобы Z b2∀ε > 0 ∃B ∈ (a, ω) : f (x, y) dx < ε ∀b1 , b2 ∈ (B, ω) и ∀y ∈ Y.•b1Теорема (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов).Пусть функции f = f (x, y) и g = g(x, y) интегрируемы по x на [a, b] для любого b ∈ (a, ω)5и для любого y R∈ Y ⊂ Rn . Пусть, кроме того, |f (x, y)| 6 g(x, y) для всех xR ω∈ [a, ω) и y ∈ Y .ωЕсли интеграл a g(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y , то интеграл a f (x, y) dx тожесходится равномерно по y ∈ Y .•Теорема (Признак Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов).
ПустьRωа) a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y ;б) функция g = g(x, y) монотонна по x на [a, ω) при каждом y ∈ Y и равномерно ограничена, т.е. существует K, такое, что |g(x, y)| 6 K для всех x ∈ [a, ω) и y ∈ Y .RωТогда a f (x, y)g(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y•Теорема (Признак Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов). ПустьR bа) существует константа K, такая, что a f (x, y) dx 6 K для всех b ∈ [a, ω) и y ∈ Y ;б) функция g = g(x, y) монотонна по x на [a, ω) при каждом y ∈ Y и g(x, y) → 0 при x → ωравномерно по y ∈ Y .RωТогда a f (x, y)g(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y•Теорема (О предельном переходе под знаком несобственного интеграла). Пустьа) f (x, y) → ϕ(x) при y → y0 равномерно по x ∈ [a, b] для всех b ∈ (a, ω);Rωб) интеграл a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y .RωТогда сходится интеграл a ϕ(x) dx иωZωZϕ(x) dx = limТеорема.
Пусть функции f (x, y) и∂fR∂yω•f (x, y) dx.y→y0aa(x, y) непрерывны на [a, ω) × [c, d] иа) существует y0 ∈ [c, d], такой, что a f (x, y0 ) dx сходится;Rω(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ [c, d].б) a ∂f∂yRωТогда интеграл a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ [c, d] иddyZωωZf (x, y) dx =aa∂f(x, y) dx.∂yТеорема. Пусть функция f (x, y) непрерывна на [a, ω) × [c, d] и интегралсходится равномерно по y ∈ [c, d]. ТогдаZdZωωZZaf (x, y) dydx.aRωaf (x, y) dxdf (x, y) dxdy =c••cТеорема. Пусть функция f (x, y) непрерывна на [a, ω1 ) × [c, ω2 ) иRωRωа) интегралы a 1 f (x, y) dx и c 2 f (x, y) dy сходятся равномерно на [a, b] и [c, d] соответственно для всех b ∈ (a, ω1 ) и d ∈ (c, ω2 );б) существует хотя бы один из интеграловZ ω1 Z ω2Z ω2 Z ω1|f (x, y)| dydx,|f (x, y)| dxdy.acc6aТогдаω1ZZω2ω2ZZω1cca•f (x, y) dxdy.f (x, y) dydx =aΓ и B функции Эйлера.Z∞xΓ (α) =α−1 −xeZdx,1B(α, β) =xα−1 (1 − x)β−1 dx,α > 0, β > 0.00Свойства:Γ (α + 1) = αΓ (α),Γ (n + 1) = n!,Γ (1/2) =√π,Γ (α)Γ (β)(упражнение).Γ (α + β)Z π/21 p + 1 q + 1sinp x cosq x dx = B,.2220B(α, β) = B(β, α),B(α, β) =Объем n-мерного шара радиуса R: Vn =π n/2 Rn.Γ (1 + n/2)Глава 11.
Мера и интеграл Лебега.§ 11.1. Общее понятие меры.Пусть X — некоторое множество и P(X) — система всех его подмножеств.Система множеств R ⊂ P(X) называется кольцом множеств, если для любых множествA и B из R множества A ∪ B и A \ B также принадлежат R.Каждое кольцо R обладает следующими свойствами:1. ∅ ∈ R;2. A, B ∈ R ⇒ A ∩ B ∈ R, A 4 B ∈ R;3. A1 , . . . , Ak ∈ R ⇒ ∪ki=1 Ai ∈ R, ∩ki=1 Ai ∈ R.Скажем, что U ⊂ P(X) является системой множеств с единицей, если существует множество E ∈ U, такое, что E ∩ A = A для любого множества A ∈ U. При этом E называютединицей системы U.Нетрудно видеть, что U является системой множеств с единицей тогда и только тогда,когда E = ∪A∈U A ∈ U.
При этом E является единицей.Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств.Обычно, если рассматриваются множества из какого-либо кольца R ⊂ P(X), то можносчитать, что X = ∪A∈R A, так как элементы множества X, не входящие в какое-либо множество из R, не рассматриваются. Таким образом, кольцо R ⊂ P(X) является алгеброй,если X ∈ R.Кольцо R называется σ-кольцом множеств, если для любой последовательности {Ai }множеств Ai ∈ R их объединение ∪∞i=1 Ai также является элементом R.σ-кольцо с единицей называется σ-алгеброй.7Если R — σ-кольцо или σ-алгебра, то для любой последовательности {Ai } множеств Ai ∈R их пересечение ∩∞i=1 Ai также является элементом R.Любая функция ϕ с областью определения dom(ϕ) ⊂ P(X), принимающая значения в R,называется функцией множества.Определение.
Неотрицательная функция множества ϕ называется конечно-аддитивноймерой, если1. её область определения dom(ϕ) является кольцом (или алгеброй);2. ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) + ϕ(B) для любых непересекающихся множеств A и B из dom(ϕ). •Определение. Неотрицательная функция множества ϕ называется мерой, если1. её область определения dom(ϕ) является σ-кольцом (или σ-алгеброй);P∞2. ϕ(∪∞i=1 Ai ) =i=1 ϕ(Ai ) для любой последовательности непересекающихся множествAi ∈ dom(ϕ).•Второе свойство называют счётной аддитивностью (или σ-аддитивностью) меры.
Иногда предполагают, что мера принимает значения из [0, +∞], т.е., допускают значение +∞.В этом случае в определении необходимо дополнительно предположить, что ϕ(∅) = 0,дабы исключить единственный пример, в котором мера любого множества равна +∞.Пространством с мерой называется тройка (X, ϕ, A), где X — некоторое множество, ϕ —мера с dom(ϕ) = A. Множества из A обычно называют ϕ-измеримыми.Пример (Считающая мера). Пусть X — произвольное множество и dom(ϕ) = P(X). Дляпроизвольного множества A ∈ P(X) определим ϕ(A) как количество элементов множестваA. Эта мера может принимать значение +∞.•Пример (Мера Дирака).
Пусть X — произвольное множество и dom(ϕ) = P(X). Зафиксируем какой-либо элемент x0 ∈ X. Для произвольного множества A ∈ P(X) определим(1, x0 ∈ A,ϕ(A) =0, x0 6∈ A.Для этой меры часто используют специальное обозначение: δx0 .•§ 11.2. Мера Лебега в Rn .Пусть Rn — n-мерное евклидово пространство со стандартным базисом.Параллелепипедом (или n-мерным интервалом) будем называть множество вида {x =(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | ai / xi / bi , i = 1, 2, . . . , n}, где значок «/» означает «<» либо «6». Такимобразом, если I — параллелепипед, то I = I 1 × I 2 × . . . × I n , где I i — непустые одномерныепромежутки.Назовём число m(I) = Πni=1 (bi − ai ) = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ) объёмом (или n-мернымобъёмом) параллелепипеда I. Заметим, что всегда 0 6 m(I) < ∞.n∗Определение. Пусть A — произвольное множествоP∞ в R .
Внешней мерой µ (A) множества A называется точная нижняя грань сумм k=1 m(Ik ) по всем возможным последовательностям {Ik } параллелепипедов, таких, что A ⊂ ∪∞k=1 Ik . То есть,∗µ (A) = inf∞nXm(Ik ) | A ⊂ ∪∞k=1 Ikk=18o•Замечания.P1. Может случиться, что рядm(Ik ) расходится для любой покрывающей A последовательности параллелепипедов {Ik }.
В этом случае µ∗ (A) = ∞.2. Так как каждый параллелепипед можно разбить на несколько параллелепипедов меньшего размера, значение µ∗ (A) не изменится, если мы в определении дополнительно потребуем, чтобы диаметры параллелепипедов Ik были меньше некоторого заданного положительного числа.3. Значение µ∗ (A) не изменится, если мы в определении потребуем, чтобы параллелепипеды Ik были открытыми, т.е., имели вид {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | ai < xi < bi , i = 1, 2, .
. . , n}.4. Внешняя мера, вообще говоря, мерой не является.•Теорема (Монотонность внешней меры). Если A ⊂ B, то µ∗ (A) 6 µ∗ (B).•∞∗ТеоремаP∞ ∗ (Счётная полуаддитивность внешней меры). Если A ⊂ ∪k=1 Ak , то µ (A) 6•k=1 µ (Ak ).Теорема. Если I — параллелепипед, то µ∗ (I) = m(I).•Определение. Скажем, что множество A ⊂ Rn является множеством меры нуль, еслиµ∗ (A) = 0.•Если какое-либо утверждение справедливо для всех точек множества A ⊂ Rn , кроме некоторого множества меры нуль, то говорят, что это утверждение справедливо почти всюдув A или для почти всех точек множества A.Теорема.
Если F1 и F2 — непересекающиеся компактные множества в Rn , тоµ∗ (F1 ∪ F2 ) = µ∗ (F1 ) + µ∗ (F2 ).•Следствие.ЕслиF1 , . . . , Fk — непересекающиеся компактные множества в Rn , тоPµ∗ ∪ki=1 Fi = ki=1 µ∗ (Fi ).•Теорема. Для любого ограниченного открытого множества G и любого ε > 0 существуетзамкнутое множество F ⊂ G, такое, что µ∗ (G) < µ∗ (F ) + ε.•Теорема. Если F — замкнутое подмножество ограниченного открытого множества G, тоµ∗ (G \ F ) = µ∗ (G) − µ∗ (F ).•Определение. Множество A ⊂ Rn измеримо (по Лебегу), если для любого ε > 0 найдутсязамкнутое множество F и открытое множество G, такие, что F ⊂ A ⊂ G и µ∗ (G \ F ) < ε.Совокупность измеримых множеств будем обозначать через M.•Теорема.
Если A ∈ M, то (Rn \ A) ∈ M.•Теорема. Если множества A и B измеримы, то A ∩ B измеримо.•Теорема. Ограниченное множество A измеримо, если для любого ε > 0 найдётся замкнутое множество F ⊂ A, такое, что µ∗ (A) < µ∗ (F ) + ε.•Следствие. Любое ограниченное открытое множество измеримо.•Теорема. Любой параллелепипед и любое множество меры нуль измеримы.•Лемма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
