1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть X — область в Rn . Если f ∈ C k (X), (i1 , . . . , ik ) — упорядоченный наборk чисел из {1, 2, . . . , n} и (σ(i1 ), . . . , σ(ik )) — произвольная перестановка этого набора, то∂kf∂kf=∂xσ(i1 ) . . . ∂xσ(ik )∂xi1 . . . ∂xik•в X.Рассмотрим оператор дифференцирования по направлению вектора h ∈ Rn :∑∂∂=hi.∂h∂xii=1nЕсли f ∈ C k (X), то мы можем применить этот оператор к функции f k раз:(∑∂kf∂ )k=hf.i∂x∂hkii=1nОтдавая дань традиции, мы обозначим k-ю производную функции f в точке a понаправлению вектора h через dk f (a, h), т.е.,dk f (a, h) =n(∑∂kf∂ )k(a)=hf(x).ik∂xx=a∂hii=1Теорема. (Формула Тейлора) Пусть X — область в Rn и a ∈ X.
Если f ∈ C m+1 (X), тоf (a + h) − f (a) =m∑1 kd f (a, h) + rm (f, a, h)k!k=1для любого вектора h ∈ Rn , такого, что отрезок с концами в точках a и a + h лежит в X.Здесь∫ 11rm (f, a, h) =(1 − t)m dm+1 f (a + th, h) dt.•m! 0Применяя теорему о среднем, легко получить формулу Тейлора с остаточным членом вформе Лагранжа:1rm (f, a, h) =dm+1 f (a + θh, h),(m + 1)!где θ — некоторое число из интервала (0, 1).Часто используется также формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:f (a + h) − f (a) =m+1∑k=11 kd f (a, h) + o(|h|m+1 )k!26при h → 0.§ 8.4.
Экстремум функции многих переменных.Пусть X — область в Rn и f : X → R. Скажем, точка x0 ∈ X является точкой локального минимума (строгого локального минимума) функции f , если существует такая◦окрестность U (x0 ) точки x0 , что f (x0 ) 6 f (x) (f (x0 ) < f (x)) для всех x ∈ U (x0 ).Точка x0 ∈ X является точкой локального максимума (строгого локального максимума)функции f , если она является точкой локального минимума (строгого локального минимума) функции (−f ). Точка x0 ∈ X является точкой локального экстремума, если онаявляется точкой локального минимума или локального максимума.∂f(x0 ) = 0 для всех i = 1, 2, . . . , n. Тогда x0 называютПусть функция f ∈ C 1 (X) и∂xiстационарной или критической точкой функции f .Если X — область в Rn и x0 ∈ X является∂fточкой локального экстремума функции f ∈ C 1 (X), то(x0 ) = 0 для всех i = 1, 2, .
. . , n,∂xiт.е., x0 — стационарная точка функции f .•Теорема. (Необходимое условие экстремума)Пусть X — область в Rn и f ∈ C 2 (X). Матрица H(f, x0 ) размерности n×n с компонентами∂2f(x0 ) называется матрицей Гессе функции f в точке x0 .∂xi ∂xjТеорема. (Достаточное условие экстремума) Пусть X — область в Rn и x0 ∈ Xявляется стационарной точкой функции f ∈ C 2 (X). Тогда1. если матрица Гессе H(f, x0 ) функции f в точке x0 является положительно определённой, то x0 — точка строго локального минимума функции f ;2.
если при различных h ∈ Rn квадратичная форма h · H(f, x0 )h может приниматьзначения разных знаков, то x0 не является точкой экстремума функции f .•Напомним, что симметричная матрица A размерности n×n с компонентами Aij называетсяположительно определённой, еслиh · Ah =n ∑n∑Aij hi hj > 0i=1 j=1для всех h ∈ Rn \ {0}. Как известно из курса алгебры, для того, чтобы симметричная матрица обладала этим свойством, необходимо и достаточно, чтобы все её собственные числабыли положительны.
Критерий Сильвестра даёт другое условие: симметричная матрицаявляется положительно определённой тогда и только тогда, когда все её главные минорыположительны.27Математический анализ1Лектор — профессор В. Н. Старовойтов3-й семестрГлава 9. Функциональные последовательности и ряды.§ 9.1. Функциональные последовательности.Пусть X — множество в Rn . Последовательность функций fk : X → R сходится в точкеx ∈ X, если сходится числовая последовательность {fk (x)}.Функциональная последовательность {fk } сходится поточечно на множестве E ⊂ X, еслипоследовательность {fk (x)} сходится для всех x ∈ E.Функциональная последовательность {fk } сходится равномерно на множестве E ⊂ X кфункции f (обозначение: fk ⇒ f или fk ⇒ f на E), еслиE∀ε > 0 ∃kε ∈ N : |fk (x) − f (x)| < ε ∀k > kε и ∀x ∈ E.Если ввести метрику %E (f, g) = sup |f (x) − g(x)|, то это определение можно сформулироx∈Eвать следующим образом: функциональная последовательность {fk } сходится равномернона множестве E ⊂ X к функции f , если(∀ε > 0) (∃kε ∈ N) (∀k > kε ) %E (fk , f ) < ε.Предельная функция не всегда известна, поэтому скажем, что последовательность {fk }сходится равномерно на множестве E ⊂ X, если существует функция f : X → R, такая,что fk ⇒ f .EТеорема (Критерий Коши равномерной сходимости).
Для того, чтобы последовательность функций {fk } сходилась равномерно на E ⊂ X, необходимо и достаточно, чтобы(∀ε > 0) (∃kε ∈ N) (∀m, n > kε ) %E (fm , fn ) < ε.•Теорема (Дини). Пусть X — компактное множество в Rn и fk : X → R — монотоннаяпоследовательность непрерывных функций (т.е., fk (x) > fk+1 (x) для каждого x ∈ X илиfk (x) 6 fk+1 (x) для каждого x ∈ X). Если {fk } сходится поточечно на X к непрерывнойфункции f , то эта сходимость равномерна.•Теорема (Непрерывность равномерного предела последовательности непрерывных функций). Пусть функциональная последовательность {fk } сходится к функции f равномернона X.
Если все fk непрерывны в некоторой точке x0 ∈ X, то f тоже непрерывна в этойточке.•Следствие. Если fk непрерывны на X и fk ⇒ f , то f непрерывна на X.X1c В.Н. Старовойтов1•Следствие. Если последовательность {fk (x)} непрерывных в точке x0 ∈ X функцийсходится равномерно на X, то•lim lim fk (x) = lim lim fk (x).x→x0 k→∞k→∞ x→x0Теорема (Теорема о перестановке пределов двойной числовой последовательности).Пусть двойная числовая последовательность {ak,m } для любого k ∈ N сходится при m →∞ равномерно по k и для любого m ∈ N сходится при k → ∞.
Тогда•lim lim ak,m = lim lim ak,m .m→∞ k→∞k→∞ m→∞Теорема. Пусть задана последовательность функций fk : [a, b] → R, такая, что fk ∈Rim[a, b] и fk ⇒ f . Тогда f ∈ Rim[a, b] и[a,b]Zlimk→∞bZfk (x) dx =abZlim fk (x) dx =a k→∞bf (x) dx.•aТеорема. Пусть задана последовательность дифференцируемых функций fk : (a, b) → R.Если {fk } сходится в некоторой точке x0 ∈ (a, b), а последовательность производных {fk0 }сходится равномерно на (a, b), то {fk } сходится равномерно на (a, b), предельная функцияf дифференцируема и f 0 (x) = lim fk0 (x) для любого x ∈ (a, b).•k→∞Упражнение. Обобщить последнюю теорему на многомерный случай.•§ 9.2. Функциональные ряды.Ряд, членами которого являются функции с одной и той же областью определения, называется функциональным рядом.Пусть {uk } есть функциональная последовательность (uk : X → R, X ⊂ Rn ).P∞в точке x0 ∈ X, если сходитсяОпределение.Функциональныйрядk=1 uk сходитсяP∞P∞ряд k=1 uk сходится поточечно на множечисловой ряд k=1 uk (x0 ).
ФункциональныйP∞стве E ⊂ X, если числовой ряд k=1 uk (x) сходится для каждого x ∈ E. Функциональныйряд сходится равномерно, если сходится равномерно его последовательность частичныхсумм.•Теорема (КритерийКоши равномерной сходимости ряда). Для того, чтобы функциоP∞нальный ряд k=1 uk сходился равномерно на E ⊂ X, необходимо и достаточно, чтобы∀ε > 0 ∃kε ∈ N : |un (x) + · · · + um (x)| < ε ∀m > n > kε и ∀x ∈ E.•Теорема (Необходимый признак сходимости ряда). Для равномерной сходимости рядаP∞•k=1 uk необходимо, чтобы последовательность {uk } равномерно сходилась к нулю.Теорема.P∞ Пусть {uk } есть последовательность непрерывных функций uk : X → R.
Еслиряд k=1 uk сходится равномерно на множестве E ⊂ X, то его сумма есть непрерывнаяна E функция.•2Теорема (Дини). Пусть {uk } есть последовательность непрерывных неотрицательныхPфункций uk : X → R и пусть X есть компактное множество в Rn . Если ряд ∞k=1 uk сходится поточечно на множестве X к непрерывной функции, то эта сходимость равномерная.•Теорема (Об интегрировании по Риману равномерно сходящихся рядов). Пусть {uk } естьPпоследовательность интегрируемых по Риману функций uk : (a, b) → R.
Если ряд ∞k=1 ukR b P∞P∞ R b•сходится равномерно на (a, b), то a k=1 uk (x) dx = k=1 a uk (x) dx.Теорема (О дифференцировании рядов). Пусть {uPk } есть последовательность диффе∞ренцируемых функцийнекоторогоP∞P∞ u0 k : (a, b) → R. Пусть ряд k=1 uk (x0 ) сходится дляx0 ∈ (a, b), а ряд k=1 uk сходится равномерно на (a, b). Тогда сумма ряда k=1 uk дифP0 P∞0ференцируема на (a, b) иu= ∞•k=1 kk=1 uk .Теорема (Вейерштрасс). Пусть {uk : X → R} — функциональная последовательность.Если существует числовая последовательность {ck }, такая, что1.
|uk (x)|6 ck для всех k ∈ N и всех x ∈ X,P∞2. ряд Pk=1 ck сходится,то ряд ∞•k=1 uk сходится равномерно и абсолютно на X.Определение. Функциональная последовательность {uk : X → R} называется равномерно ограниченной на множестве E ⊂ X, если существует константа K, такая, чтоsup |uk (x)| 6 K для всех k ∈ N.•x∈EТеорема (Признак Абеля равномерной сходимости ряда).
Пусть {uk } — монотонная равномерно ограниченнаяпоследовательность функций uk : XR, X ⊂ Rn . Если функциоP→P∞∞нальный ряд k=1 vk сходится равномерно на X, то ряд k=1 uk vk тоже сходится равномерно на X.•Теорема (Признак Дирихле равномерной сходимости ряда). Пусть {uk } — монотоннаяравномерно сходящаяся к нулю последовательность функцийPuk : X → R, X ⊂ Rn . ЕслипоследовательностьPчастичных сумм функционального ряда ∞k=1 vk равномерно ограни∞•чена на X, то ряд k=1 uk vk сходится равномерно на X.§ 9.3. Равномерная сходимость степенных рядов.PkРадиусом сходимости степенного ряда ∞k=0 ak (x−x0 ) называется наибольшее вещественное число R, такое, что Pэтот ряд сходится при |x−x0 | < R. С помощью замены переменнойk•можно перейти к ряду ∞k=0 ak x .P∞Теорема.
Степенной ряд k=0 ak xk сходится равномерно и абсолютно на отрезке [−r, r]для каждого r ∈ [0, R).•Следствие. Сумма степенного ряда есть непрерывная функция на интервале (−R, R). •P∞kТеорема. Степенной рядk=0 ak x можно дифференцировать почленно на интервале(−R, R), причем радиус сходимости продифференцированного ряда тоже равен R и∞∞∞X dXd Xak x k =(ak xk ) =k ak xk−1 .dx k=0dxk=0k=1•Следствие. Сумма степенного ряда есть бесконечно дифференцируемая функция на интервале (−R, R).•3PP∞kkСледствие.
Если степенные ряды ∞k=0 ak x иk=0 bk x сходятся на некотором интервале(−A, A) и их суммы совпадают, то ak = bk для всех k.•Определение. Функция f , являющаяся суммой степенного ряда в некоторой окрестноститочки x0 , называется аналитической в точке x0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
