1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Еслиφ : [α, β) → [a, η) — непрерывно дифференцируемое возрастающее отображение,( причем)φ(α) = a и φ(γ) → η при γ → β, то несобственный интеграл от функции t 7→ f φ(t) φ ′ (t)сходится и∫ η∫ β()f (x) dx =f φ(t) φ ′ (t) dt.•aαСуществует ещё одно обобщение интеграла Римана, тесно связанное с понятием несобственного интеграла. Пусть η ∈ (a, b). Говорят, что функция f : [a, b] → R интегрируемав смысле главного значения, если существует предел(∫∫η−δlim)bf (x) dx +δ→0+af (x) dx .η+δ∫bЭтот предел обозначают p.v. a f (x) dx (аббревиатура “p.v.” происходит от английскоговыражения “principal value”). Интеграл в смысле главного значения по ограниченномупромежутку обычно возникает в случае, когда f (x) → ±∞ при x → η±.
Следует обратить внимание на то, что от точки η вправо и влево∫ ηотступаются∫ b промежутки одинаковойдлины. По-отдельности несобственные интегралы a f (x) dx и η f (x) dx могут и не существовать.Пример.∫1p.v.но несобственные интегралы∫0−11−1 xdx и∫110 x1dx = 0,xdx расходятся (см. пример выше).•Аналогично определяется интеграл в смысле главного значения по бесконечному промежутку (−∞, +∞):∫ +∞∫ ap.v.f (x) dx = limf (x) dx.a→+∞−∞−aТеорема. (Критерий Коши)Пусть f ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, η). Для того, чтобы∫ηнесобственный интеграл a f (x) dx сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого∫bε > 0 существовало такое число b ∈ (a, η), что b12 f (x) dx < ε для всех b1 , b2 ∈ (b, η).
•Пусть f, g : [a, η) → R и 0 6 f 6 g на [a, η). Тогда∫η1. если ∫несобственный интеграл a g(x) dx сходится, то сходится несобственный интеηграл a f (x) dx;∫η2. если несобственныйинтегралf (x) dx расходится, то расходится несобственныйa∫ηинтеграл a g(x) dx.•Теорема. (Признак сравнения)12Теорема. (Интегральный признак сходимости числовых рядов) Если f :∫[1, +∞) →+∞R — неотрицательная невозрастающая функция, то∑несобственный интеграл 1 f (x) dxсходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ∞•k=1 f (k).∫ηГоворят,∫ η что несобственный интеграл a f (x) dx сходится абсолютно, если сходится интеграл a |f (x)| dx.
Говорят, что несобственный интеграл сходится условно, если он сходится,но не сходится абсолютно. Как следует из признака сравнения, из абсолютной сходимостиследует сходимость несобственного интеграла.Теорема. (Признак Абеля)Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, η) и функция g : [a, η) → R монотонна. Если1. несобственный интеграл∫ηaf (x) dx сходится,2. функция g ограничена на [a, η),то сходится несобственный интеграл∫ηaf (x) g(x) dx.•Теорема. (Признак Дирихле)Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, η) и функция g : [a, η) → R монотонна. Если∫b1. существует K ∈ R+ , такое, что a f (x) dx 6 K для всех b ∈ [a, η),2. g(x) → 0 при x → η−,то сходится несобственный интеграл∫ηaf (x) g(x) dx.•Глава 7. Функции многих переменных.§ 7.1. Пространство Rn .Обозначим через Rn множество упорядоченных наборов x = (x1 , x2 , .
. . , xn ), где xi ∈ R,i = 1, 2, . . . , n. Таким образом, Rn есть декартово произведение n множеств вещественныхчисел R:Rn = |R × R ×{z. . . × R} .nМетрическая структура в Rn .Определим расстояние между элементами x и y множества Rn .Пусть A — какое-либо множество. Метрикой называется функция ρ : A × A → R, такая,что1. ρ(x, y) > 0 для всех x, y ∈ A;2. ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;3. ρ(x, y) = ρ(y, x) для всех x, y ∈ A;4.
ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) для всех x, y, z ∈ A.13Пара (A, ρ) состоящая из множества и определённой на нём метрики называется метрическим пространством. Часто, если из контекста понятно, какая метрика введена намножестве A, то говорят о метрическом пространстве A (без упоминания метрики). Элементы метрического пространства будем называть точками.На множестве Rn наиболее часто используется евклидова метрика:n)1/2(∑ρe (x, y) =(xi − yi )2,x, y ∈ Rn .i=1Таким образом, R есть метрическое пространство.nЛинейная (векторная) структура в Rn .Определим на Rn операции сложения и умножения на число.
Если x = (x1 , x2 , . . . , xn ),y = (y1 , y2 , . . . , yn ) — элементы множества Rn и λ ∈ R, то положимx + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) ∈ Rn ,λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ) ∈ Rn .Таким образом, Rn является линейным (векторным) пространством над полем вещественных чисел. Его элементы будем называть векторами. Нулём векторного пространства Rnназывается вектор 0 = (0, 0, . . . , 0).∑Векторы x1 , . . . , xk называются линейно независимыми, если из равенства ki=1 λi xi = 0,λi ∈ R, следует, что λ1 = .
. . = λk = 0. В противном случае векторы x1 , . . . , xk называютсялинейно зависимыми. Любой набор из n линейно независимых векторов в Rn называетсябазисом. Стандартным (или каноническим) базисом в Rn называется следующий наборвекторов:{ei = (δi1 , δi2 , . . . , δin )}ni=1 ,где δij — символ Кронекера: δij = 1, если i = j, и δij = 0, если i ̸= j. Другими словами,стандартный базис состоит из векторов ei , у которых на i-м месте стоит ∑1, а все остальныепозиции заняты нулями.
Заметим, что если x = (x1 , x2 , . . . , xn ), то x = ni=1 xi ei .Евклидова структура в Rn .Линейное пространство E над полем вещественных чисел называется евклидовым, есликаждой паре векторов x, y ∈ E поставлено в соответствие вещественное число x · y, такое,что1. x · x > 0 для всех x ∈ E и x · x = 0 ⇐⇒ x = 0;2.
x · y = y · x для всех x, y ∈ E;3. (λx) · y = λ(x · y) для всех x, y ∈ E и λ ∈ R;4. (x + y) · z = x · z + y · z для всех x, y, z ∈ E.Два вектора x, y ∈ E называются ортогональными, если x · y = 0.∑nВведём в Rn следующее скалярное произведение: x · y =i=1 xi yi для произвольныхx = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn .Линейное пространство E над полем вещественных чисел называется нормированным,если каждому вектору x ∈ E поставлено в соответствие вещественное число ∥x∥, такое,что141. ∥x∥ > 0 для всех x ∈ E и ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0;2. ∥λx∥ = |λ| ∥x∥ для всех x ∈ E и λ ∈ R;3. ∥x + y∥ 6 ∥x∥ + ∥y∥ для всех x, y ∈ E.Любое евклидово пространство является нормированным с нормой ∥x∥ =каждого x = (x1 , x2 , . .
. , xn ) ∈ Rn определим его евклидову норму:|x| =n(∑x2i√x · x. Для)1/2.i=1Заметим, что ρe (x, y) = |x − y| для всех x, y ∈ Rn .Евклидова норма каждого вектора стандартного базиса равна 1. Кроме того, векторыстандартного базиса являются взаимно ортогональными. Поэтому говорят, что стандартный базис является ортонормированным.Теорема. (Неравенство Коши — Буняковского) Для любых векторов x и y произвольного евклидова пространства E справедливо неравенство:|x · y| 6 ∥x∥ ∥y∥.•Если E = Rn , то неравенство Коши — Буняковского является частным случаем неравенства Гёльдера.В пространстве Rn можно ввести и другие нормы.
Нетрудно проверить, что для каждогоx ∈ Rn величинаn(∑)1/p∥x∥p =|xi |pi=1определяет норму при любом p ∈ [1, +∞). Нормой является и следующая величина:∥x∥∞ = max{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |}.Среди этих норм присутствует и евклидова норма, а именно, |x| = ∥x∥2 .Упражнение.Показать, что lim ∥x∥p = ∥x∥∞ для каждого x ∈ Rn .p→+∞•Открытые, замкнутые и компактные множества в Rn .Множество B(a, r) = {x ∈ Rn | |x − a| < r} называется открытым шаром радиуса r сцентром в точке a.Множество A ⊂ Rn называется открытым, если для каждого x ∈ A существует такоеδ > 0, что B(x, δ) ⊂ A.Примеры.
1. Пространство Rn является открытым множеством.2. Открытый шар B(a, r) является открытым множеством.3. По определению полагают, что пустое множество ∅ является открытым, однако и формальный анализ определения открытого множества приводит к такому же выводу.•Множество A ⊂ Rn называется замкнутым, если множество CA = Rn \ A открыто.15Примеры. 1. Пространство Rn и пустое множество ∅ являются замкнутыми множествами.2. Множество B(a, r) = {x ∈ Rn | |x − a| 6 r} называется замкнутым шаром радиуса r сцентром в точке a. Замкнутый шар является замкнутым множеством.3. Множество S(a, r) = {x ∈ Rn | |x − a| = r} называется сферой радиуса r с центром вточке a. Сфера является замкнутым множеством.•Точка a называется внутренней точкой множества A ⊂ Rn , если существует такое δ > 0,что B(a, δ) ⊂ A. Множество внутренних точек множества A ⊂ Rn называется внутренностью множества A и обозначается через A◦ .Точка a называется внешней по отношению к множеству A ⊂ Rn , если существует такоеδ > 0, что B(a, δ) ⊂ Rn \ A.Границей множества A ⊂ Rn называется множество точек пространства Rn , которые неявляются ни внутренними, ни внешними по отношению к множеству A.
Будем обозначать границу множества A через ∂A. Заметим, что граница всегда является замкнутыммножеством.Примеры. 1. ∂Rn = ∅ и ∂∅ = ∅.2. ∂B(a, r) = ∂B(a, r) = S(a, r).3. Пусть n = 1 и A = [0, 1] ∩ Q. Тогда ∂A = [0, 1], т.е., множество содержится в своейгранице.•Теорема. 1. Пусть {Aα } — произвольное (конечное или бесконечное) семейство открытых множеств в Rn . Тогда ∪α Aα — открытое множество.2. Пусть {A1 , . . . , Ak } — конечный набор открытых множеств в Rn . Тогда ∩ki=1 Ai — открытое множество.•Следствие. 1. Пусть {Aα } — произвольное (конечное или бесконечное) семейство замкнутых множеств в Rn . Тогда ∩α Aα — замкнутое множество.2.
Пусть {A1 , . . . , Ak } — конечный набор замкнутых множеств в Rn . Тогда ∪ki=1 Ai — замкнутое множество.•Следствие. Если A — открытое множество в Rn , а B — замкнутое, то множество A \ Bоткрыто, а B \ A — замкнуто.•Окрестностью точки (множества) в Rn называется любое открытое множество, содержащее эту точку (это множество). δ-окрестностью множества A ⊂ Rn называется множествоUδ (A) = ∪x∈A B(x, δ). Как следует из теоремы, Uδ (A) — открытое множество. Заметим, чтоUδ (A) = {x ∈ Rn | dist(x, A) < δ}, где dist(x, A) = inf y∈A |x − y| — расстояние от точки xдо множества A.Точка x ∈ Rn называется предельной точкой множества A ⊂ Rn , если для произвольногоδ > 0 шар B(x, δ) содержит хотя бы одну точку из A, отличную от x.Упражнение.
Доказать, что точка x ∈ Rn является предельной точкой множестваA ⊂ Rn тогда и только тогда, когда для произвольного δ > 0 шар B(x, δ) содержитбесконечное число точек из A (более корректно, множество B(x, δ) ∩ A бесконечно).•Замыканием множества в Rn называется объединение этого множества с множеством егопредельных точек. Замыкание множества A ⊂ Rn обозначается через A.Теорема.Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда A = A.16•Упражнение.
Доказать, что A есть «наименьшее» замкнутое множество, содержащееA. То есть, если A ⊂ B и множество B замкнуто, то A ⊂ B.Указание: доказать сначала, что для произвольных множеств A и B из A ⊂ B следуетA ⊂ B, а потом воспользоваться теоремой.•Замкнутым кубом (или замкнутым параллелепипедом) в Rn называется множество Q =I1 × . . . × In , где Ik — отрезки (замкнутые интервалы) в R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
