1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Например, функция Дирихле:{1, x ∈ [0, 1] ∩ Q,f (x) =0, x ∈ [0, 1] \ Q.•Определим числаmk (f ) = inf f (x),Mk (f ) = sup f (x).x∈AkВеличиныs(f, P ) =n∑x∈Akmk (f ) λkи S(f, P ) =k=1n∑Mk (f ) λkk=1называются нижней и верхней интегральными суммами Дарбу соответственно.Число I называется нижним интегралом функции f , если I = limm→∞ s(f, P m ) для любойпоследовательности разбиений {P m }, такой, что λ(P m ) → 0.Число I называется верхним интегралом функции f , если I = limm→∞ S(f, P m ) для любойпоследовательности разбиений {P m }, такой, что λ(P m ) → 0.Для функции Дирихле I(f ) = 0, I(f ) = 1.Теорема.
Для того, чтобы ограниченная функция f : [a, b] → R была интегрируема по∫bРиману, необходимо и достаточно, чтобы I(f ) = I(f ). В этом случае a f (x) dx = I(f ) =I(f ).•Пусть f : E → R. Колебанием функции f на множестве E называется числоω(f, E) = sup |f (x1 ) − f (x2 )| .x1 ,x2 ∈EИногда колебание обозначают osc(f, E) (от слова “oscillation”). Заметим, чтоω(f, E) = sup f (x) − inf f (x).x∈Ex∈EТеорема. (Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции по Риману)Для того, чтобы функция f : [a, b] → R была интегрируема по Риману,необходимо и∑nдостаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало δ > 0, такое, что k=1 ω(f, Ak ) λk < εдля любого разбиения P , удовлетворяющего условию λ(P ) < δ.•Следствие. Если функция f : [a, b] → R непрерывна, то f ∈ Rim[a, b].•Теорема.
Если функция f : [a, b] → R ограничена и имеет конечное число точек разрыва, то f ∈ Rim[a, b].•Существуют интегрируемые по Риману функции,которыеимеют бесконечное число точек()разрыва. Например, функция f (x) = sgn sin(1/x) интегрируема на отрезке [0, 1].Теорема.Если функция f : [a, b] → R монотонна и ограничена, то f ∈ Rim[a, b].7•Теорема. (Линейность определённого интеграла)Если f, g ∈ Rim[a, b] и µ ∈ R, то (f + g) ∈ Rim[a, b], (µf ) ∈ Rim[a, b] и∫ b∫ b∫ b()f (x) + g(x) dx =f (x) dx +g(x) dxaaa∫ b∫ bµf (x) dx = µf (x) dx.aТеорема.Лемма.•aЕсли f, g ∈ Rim[a, b], то |f | ∈ Rim[a, b] и (f g) ∈ Rim[a, b].Если f ∈ Rim[a, b], то f ∈ Rim[c, d] для любого отрезка [c, d] ⊂ [a, b].••Лемма.
Пусть f : [a, c] → R и a < b < c. Если f ∈ Rim[a, b] и f (x) = 0 при x ∈ (b, c], тоf ∈ Rim[a, c].•Теорема. (Аддитивность интеграла Римана) Пусть f : [a, c] → R и a < b < c. Следующие два условия эквивалентны:1 ◦ . f ∈ Rim[a, c];2 ◦ . f ∈ Rim[a, b] и f ∈ Rim[b, c] (т.е., f ∈ Rim[a, b] ∩ Rim[b, c]).При выполнении любого из этих условий справедливо равенство:∫ c∫ b∫ cf (x) dx =f (x) dx +f (x) dx.•aabПусть c, d ∈ R и c < d. Положим по определению∫ c∫ c∫f (x) dx = 0,f (x) dx = −cddf (x) dx.cСледствие. Пусть f ∈ Rim[a, b] и α, β, γ ∈ [a, b]. Тогда∫ β∫ γ∫ αf (x) dx +f (x) dx +f (x) dx = 0.αβ•γТеорема.
(Монотонность интеграла Римана) Если f, g ∈ Rim[a, b] и f (x) 6 g(x) длявсех x ∈ [a, b], то∫ b∫ bf (x) dx 6g(x) dx.•aa∫bСледствие. Пусть f ∈ Rim[a, b], a 6 b и f > 0 на [a, b]. Тогда a f (x) dx > 0.∫b ∫bСледствие. Пусть f ∈ Rim[a, b] и a 6 b. Тогда a f (x) dx 6 a |f (x)| dx.Следствие. Пусть f ∈ Rim[a, b], a 6 b, m = inf x∈[a,b] f (x) и M = supx∈[a,b] f (x). Тогда∫ bm (b − a) 6f (x) dx 6 M (b − a).•••aТеорема. (Первая теорема о среднем) Пусть f, g ∈ Rim[a, b], g > 0 (или g 6 0) на [a, b],m = inf x∈[a,b] f (x) и M = supx∈[a,b] f (x).
Тогда существует число µ ∈ [m, M ], такое, что∫ b∫ bf (x) g(x) dx = µg(x) dx.aa8Если функция f непрерывна на [a, b], то существует точка ξ ∈ [a, b], такая, что∫∫bbf (x) g(x) dx = f (ξ)•g(x) dx.aaПусть E ⊂ R. Функция f : E → R называется непрерывной по Гёльдеру с показателемα ∈ (0, 1), если существует число K ∈ R+ , такое, что |f (x) − f (y)| 6 K|x − y|α длявсех x, y ∈ E. Число K называется постоянной Гёльдера функции f . Множество такихфункций обозначается через C α (E) (или C 0,α (E)).Функция f : E → R называется непрерывной по Липшицу, если существует число K ∈ R+ ,такое, что |f (x) − f (y)| 6 K|x − y| для всех x, y ∈ E. Число K называется постояннойЛипшица функции f . Множество таких функций обозначается через Lip(E) (или C 0,1 (E)).Нетрудно проверить, что если E — ограниченное множество, то Lip(E) ⊂ C α (E) ⊂ C(E),где C(E) — множество непрерывных на E функций.∫xЛемма.
Если f ∈ Rim[a, b], то функция F (x) = a f (t) dt принадлежит Lip[a, b].•Лемма. Пусть f, g ∈ Rim[a, b], g — неотрицательная и невозрастающая на [a, b] функция.Тогда существует ξ ∈ [a, b], такое, что∫∫bf (x) g(x) dx = g(a)aξ•f (x) dx.aТеорема. (Вторая теорема о среднем) Пусть f ∈ Rim[a, b], а функция g : [a, b] → Rмонотонна и ограничена. Тогда существует число ξ ∈ [a, b], такое, что∫∫bf (x) g(x) dx = g(a)a∫ξbf (x) dx + g(b)f (x) dx.a•ξТеорема.Пусть f ∈ Rim[a, b] и f непрерывна в точке x0 ∈ [a, b].
Тогда функция F (x) =∫xf (t) dt дифференцируема в точке x0 и F ′ (x0 ) = f (x0 ).•a∫xСледствие. Если f ∈ C[a, b], то функция F (x) = a f (t) dt дифференцируема на [a, b] иF ′ (x) = f (x) для всех x ∈ [a, b].•Следствие.Если f ∈ Rim[a, b] и f имеет конечное число точек разрыва, то функция∫xF (x) = a f (t) dt является первообразной функции f на отрезке [a, b].•Теорема. (Формула Ньютона — Лейбница) Если f ∈ Rim[a, b], f имеет конечное числоточек разрыва и Fe — первообразная функции f на [a, b], то∫bf (x) dx = Fe(b) − Fe(a).•aТеорема. (Формула интегрирования по частям) Если функции f и g непрерывно дифференцируемы на [a, b], то∫b∫′f (x) g (x) dx = f (b) g(b) − f (a) g(a) −aa9bf ′ (x) g(x) dx.•x=bРазность f (b)−f (a) часто обозначают через f (x)x=a или, если исключена путаница, черезbf (x) . Таким образом, формулу интегрирования по частям можно записать так:a∫abbf (x) g (x) dx = f (x) g(x)a −′∫bf ′ (x) g(x) dx.aТеорема.
(Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме)Пусть f : [a, b] → R — (n + 1) раз непрерывно дифференцируемая функция, n ∈ N ∪ {0},и x0 ∈ [a, b]. Тогдаn∑1 (k)f (x) =f (x0 ) (x − x0 )k + rn (f, x, x0 ) для всех x ∈ [a, b],k!k=0где1rn (f, x, x0 ) =n!∫xf (n+1) (t) (x − t)n dt.•x0Теорема. (Формула замены переменной для непрерывных функций) Если φ — непрерывно дифференцируемое отображение отрезка [α, β] на отрезок [a, b], такое, что φ(α) = a иφ(β) = b, то для любой функции f ∈ C[a, b] справедливо равенство:∫ b∫ β()f (x) dx =f φ(t) φ ′ (t) dt.•aαТеорема.
(Формула замены переменной для интегрируемых функций) Если φ — непрерывно дифференцируемое строго монотонное отображение отрезка [α, β] на отрезок [a, b]такое, что φ(α) = a и φ(β) = b, то для любой функции f ∈ Rim[a, b] справедливо равенство:∫ b∫ β()f (x) dx =f φ(t) φ ′ (t) dt.•aα§ 6.3. Несобственные интегралы.Обобщим понятие интеграла Римана, определив его на бесконечном промежутке и отнеограниченных функций. Такие обобщения носят название несобственных интегралов.Определение.
Пусть f : [a, +∞) → R, f ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ [a, +∞) и су∫bществует предел limb→+∞ a f (x) dx. Этот предел называется несобственным интегралом∫ +∞от функции f по промежутку [a, +∞) и обозначается a f (x) dx.•∫a∫ +∞Аналогично определяется несобственный интеграл −∞ f (x) dx, а −∞ f (x) dx определим∫a∫ +∞как сумму −∞ f (x) dx + a f (x) dx, где a — произвольное вещественное число.∫ +∞Упражнение. Покажите, что данное определение интеграла −∞ f (x) dx корректно,∫a∫ +∞т.е., результат вычисления суммы −∞ f (x) dx + a f (x) dx не зависит от выбора числаa.•−αПример.
Рассмотрим функцию∫ +∞ f (x) = x , α > 0, на промежутке [1, ∞). Если α > 1,то несобственный интеграл 1 f (x) dx существует:∫ +∞11dx =при α > 1.αxα−1110Если же α ∈ [0, 1], то∫b1dx → +∞ при b → +∞,α1 x∫ +∞то есть, в этом случае несобственный интеграл 1 f (x) dx не существует.•Определение. Пусть f : [a, b) → R,∫ f (x) → ∞ при x → b−, f ∈ Rim[a, c] для каждогоcc ∈ [a, b) и существует предел limc→b− a f (x) dx. Этот предел называется несобственным∫bинтегралом от функции f по промежутку [a, b) и обозначается a f (x) dx.•Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда f (x) → ∞ при x → a+.Если же x0 ∈ (a, b) и f (x) → ∞ при x → x0 − или при x → x0 +, то определим несоб∫b∫x∫bственный интеграл a f (x) dx как сумму a 0 f (x) dx + x0 f (x) dx.
Заметим, что каждыйинтеграл в этой сумме должен существовать.Пример. Рассмотрим функциюf (x) = x−α , α > 0, на промежутке (0, 1]. Если α ∈ [0, 1),∫1то несобственный интеграл 0 f (x) dx существует:∫ 111dx =при α ∈ [0, 1).α1−α0 xЕсли же α > 1, то∫11dx → +∞ при c → 0+,αc x∫1то есть, в этом случае несобственный интеграл 0 f (x) dx не существует.•Оба типа несобственных интегралов определяются через предел, поэтому если несобственный интеграл существует, то говорят, что он сходится, а если не существует, то — расходится.Далее, оба типа несобственных интегралов можно рассматривать по одной схеме. Пустьf : [a, η) → R и реализуется одна из следующих ситуаций:1. η = +∞,2. η ∈ (a, +∞) и f (x) → ∞ при x → η−.Тогда мы будем говорить о несобственном интеграле∫ηaf (x) dx.Теорема. (Линейность несобственного интеграла) Пустьη) → R, f, g ∈∫ η f, g : ∫[a,ηRim[a, b] для любого b ∈ (a,∫η)(и несобственныеинтегралыf(x)dx,g(x)dx сходятся.aa)∫ηηТогда сходятся интегралы a f (x) + g(x) dx и a µ f (x) dx, где µ ∈ R, и∫ η∫ η∫ η()f (x) + g(x) dx =f (x) dx +g(x) dx,a∫aη∫µ f (x) dx = µaaη•f (x) dx.aТеорема.
(Интегрирование по частям в несобственном интеграле) Пусть функции fи g определены и непрерывно дифференцируемы на [a, η). Если существуют любые два изследующих пределов∫ b∫ b′limf (x) g(x) dx,limf (x) g ′ (x) dx,lim f (x) g(x),b→η−0ab→η−0a11x→η−0то существует и третий и справедливо равенство:∫ η∫η′f (x) g(x) dx = f (x) g(x) a −aηf (x) g ′ (x) dx,aгде f (x) g(x)|ηa = limx→η−0 f (x) g(x) − f (a) g(a).•Теорема. (Замена переменной в несобственном интеграле) ∫ Пусть f : [a, η) → R,ηf ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, η) и несобственный интеграл a f (x) dx сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
