1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть {Ak } — последовательность непересекающихся измеримых множеств, содержащихсяв некотором параллелепипеде. Если A = ∪∞k=1 Ak , то множество A измеримоP∗и µ∗ (A) = ∞µ(A).•kk=19Теорема (Счётная аддитивность внешней меры на измеримых множествах ). Для любой последовательности {AkP} непересекающихся измеримых множеств, множество A =∞∗∗∪∞Aизмеримоиµ(A)=•k=1 kk=1 µ (Ak ).Так как Rn — измеримое множество, система M измеримых множеств образует σ-алгебру.Внешняя мера µ∗ является σ-аддитивной (счётно-аддитивной) функцией множества на M,поэтому её сужение с P(Rn ) на M является мерой.
Эта мера называется мерой Лебега.Мы будем обозначать её через µ. Итак, сформулируем определение меры Лебега.Определение. Мерой Лебега называется функция множества µ, такая, что dom(µ) = Mи µ(A) = µ∗ (A) для любого множества A ∈ M.•Таким образом, мы определили пространство с мерой (Rn , µ, M).Теорема (Непрерывность меры Лебега). Если {Ak } — последовательность измеримыхмножеств, таких, что Ak ⊂ Ak+1 , то множество A = ∪∞k=1 Ak измеримо и µ(A) = lim µ(Ak ).k→∞Если {Ak } — последовательность измеримых множеств, таких, что Ak+1 ⊂ Ak и µ(A1 ) < ∞,то множество A = ∩∞•k=1 Ak измеримо и µ(A) = lim µ(Ak ).k→∞nПусть U ⊂ P(R ) — некоторая система множеств.
Назовём σ-алгеброй, порождённой системой U, минимальную σ-алгебру, содержащую систему U. То есть, если A — порождённая системой U σ-алгебра и B — другая содержащая систему U σ-алгебра, то A ⊂ B.Борелевской σ-алгеброй называется σ-алгебра, порождённая всеми открытыми множествами в Rn . Элементы этой σ-алгебры называются борелевскими множествами.
Борелевскую σ-алгебру будем обозначать через B. Нетрудно заметить, что B состоит из техмножеств, которые можно получить из открытых счётным применением операций объединения, пересечения и разности (пересечение можно убрать). Таким образом, все открытыеи замкнутые (как дополнения к открытым) множества будут борелевскими. Существуюти более сложные борелевские множества.Множество A является множеством типа Fσ , если существует последовательность {Ak }замкнутых множеств, такая, что A = ∪∞k=1 Ak .
В этом определении можно считать, чтоAk ⊂ Ak+1 для всех k ∈ N.Множество A является множеством типа Gδ , если существует последовательность {Ak }открытых множеств, такая, что A = ∩∞k=1 Ak . Можно считать, что Ak+1 ⊂ Ak для всехk ∈ N.Очевидно, что множества типов Fσ и Gδ являются борелевскими.Теорема. Любое борелевское множество является измеримым.•Теорема. Множество является измеримым тогда и только тогда, когда его можно представить в виде объединения множества типа Fσ и множества меры нуль.Множество является измеримым тогда и только тогда, когда его можно представить ввиде разности множества типа Gδ и множества меры нуль.•Таким образом, измеримые множества отличаются от борелевских на множество нулевоймеры.Пусть A — множество в Rn и a — вектор.
Сдвигом множества A на вектор a называетсямножество A + a = {(x + a) ∈ Rn | x ∈ A}. Так как для любого параллелепипеда Iи любого вектора a, множество I + a является параллелепипедом и m(I + a) = m(I),справедлива следующая теорема.10Теорема. Мера Лебега инвариантна относительно сдвигов. То есть, если A ∈ M, то(A + a) ∈ M для любого вектора a и µ(A + a) = µ(A).•Линейное отображение D : Rn → Rn называется диагональным, если в стандартном базиседиагональной является матрица этого отображения.
Важное для нас свойство диагональных отображений состоит в том, что они переводят параллелепипед в параллелепипед.Теорема. Для каждого открытого множества A существует счётное семейство непересекающихся параллелепипедов {Ik }, такое, что Ik ⊂ A для всех k и A = ∪∞•k=1 Ik .Теорема. Пусть A — измеримое множество в Rn и D : Rn → Rn — диагональное отображение. Тогда множество D(A) измеримо и µ D(A) = |det D| µ(A).•b мы обозначим концентрический с B замкнутыйЕсли B — замкнутый шар в Rn , то через Bb = {x ∈шар в пять раз большего радиуса.
Т.е., если B = {x ∈ Rn | |x − b| 6 r}, то BnR | |x − b| 6 5r}. Будем обозначать через rad B радиус шара B.Теорема (Теорема Витали о покрытии). Пусть F — произвольное семейство невырожденных (ненулевого радиуса) замкнутых шаров в Rn и sup{rad B | B ∈ F} < ∞. Тогдасуществует счётное подсемейство G ⊂ F непересекающихся шаров, такое, что[[bB⊂B.•B∈FB∈GТеорема (Вторая теорема Витали о покрытии). Пусть A — открытое множество в Rn иδ > 0 — произвольное число. Существует счётное семейство G непересекающихся замкнутых шаров B ⊂ A, такое, что rad B 6 δ для всех B ∈ G и[ µ A\B = 0.•B∈GЛинейное отображение U : Rn → Rn называется ортогональным, если U U ∗ = U ∗ U = I,где I — тождественное отображение, U ∗ — сопряжённое (транспонированное) к U отображение.
Ортогональные отображения представляют собой композицию поворотов вокругначала координат и отражений. Заметим, что |det U | = 1. Ещё одно важное для нас свойство ортогональных отображений состоит в том, что они переводят шар в шар того жерадиуса.Теорема. Пусть A — измеримое множество в Rn и U : Rn → Rn — ортогональное отображение. Тогда множество U (A) измеримо и µ U (A) = µ(A).•Из курса алгебры известен следующий результат: если Λ : Rn → Rn — линейное отображение, то существуют диагональное отображение D и ортогональные отображения U иV , такие, что Λ = U DV .Теорема. Пусть A — измеримое множество в Rn и Λ : Rn → Rn — линейное отображение.Тогда множество Λ(A) измеримо и µ Λ(A) = |det Λ| µ(A).•§ 11.3.
Измеримые функции.Пусть X — измеримое множество в Rn .Определение. Функция f : X → R называется измеримой (по Лебегу), если для любогочисла c ∈ R множество {x ∈ X | f (x) < c} измеримо.•11Эквивалентным образом измеримость функции f можно определить, заменив множество{x ∈ X | f (x) < c} любым из следующих множеств: {x ∈ X | f (x) 6 c}, {x ∈ X | f (x) > c}и {x ∈ X | f (x) > c}.Как и ранее, если F есть отображение из X в Y , то через F −1 (A) обозначим прообразмножества A ⊂ Y .
То есть, F −1 (A) = {x ∈ X | F (x) ∈ A}.Упражнение. Функция f : X → R измерима тогда и только тогда, когда множествоf −1 (A) измеримо для любого борелевского множества A ⊂ R.•Функция f : X → R называется борелевской (или измеримой по Борелю), если для любогочисла c ∈ R множество {x ∈ X | f (x) < c} является борелевским.Очевидно, что каждая борелевская функция измерима. Кроме того, нетрудно показать,что функция f : X → R является борелевской тогда и только тогда, когда множествоf −1 (A) является борелевским для любого борелевского множества A ⊂ R.Отметим простейшие свойства измеримых функций:1. любая функция, определённая на множестве меры нуль, является измеримой;2.
если функция f : X → R измерима, то для любого измеримого множества X1 ⊂ Xфункция f : X1 → R также измерима;3. если {Xk } — последовательность измеримых множеств и функция f определена и из∞мерима на каждом из них, то она измерима на ∩∞k=1 Xk и ∪k=1 Xk .Теорема.
Пусть F : R2 → R — непрерывная функция. Если функции f, g : X → Rизмеримы, то измерима функция h : X → R, определённая как h(x) = F f (x), g(x) .•Следствие. Если функции f и g измеримы, то измеримы функции f + g, f · g, |f |, а также1/f , если f не обращается в нуль.•Утверждение.
Пусть заданы две функции f, g : X → R. Если функция f измерима иf = g почти всюду в X, то функция g тоже измерима.•Теорема. Пусть {fk : X → R} — последовательность измеримых функций. Если g(x) =sup fk (x) и f (x) = inf fk (x) для всех x ∈ X, то функции g и f измеримы.•k∈Nk∈NСледствие. Пусть {fk : X → R} — последовательность измеримых функций. Если f (x) =lim fk (x) для всех x ∈ X, то функция f измерима.•k→∞Скажем, что последовательность функций {fk } сходится почти всюду в X к функции f ,если fk (x) → f (x) при k → ∞ для почти всех x ∈ X.Теорема.
Если последовательность fk : X → R измеримых функций сходится почтивсюду в X к функции f : X → R, то функция f измерима.•Теорема (Егоров). Пусть последовательность fk : X → R измеримых функций сходитсяк функции f : X → R почти всюду на множестве E ⊂ X и µ(E) < ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
