1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность является сходящейся.•Пусть M и N — метрические пространства. Отображение f : M → N называется непрерывным в точке x ∈ M , если из ρM (xk , x) → 0 следует, что ρN (f (xk ), f (x)) → 0.

Отображение f : M → N называется непрерывным, если оно непрерывно во всех точках пространства M .Определение. Отображение f : M → N называется гомеоморфизмом, если оно непрерывно и взаимнооднозначно, и f −1 непрерывно.•Определение. Отображение f : M → M называется сжимающим, если существуетq ∈ (0, 1), такое что ρ(f (x1 ), f (x2 )) 6 qρ(x1 , x2 ) для всех x1 , x2 ∈ M . Мы будем ещеговорить, что f является q-сжимающим.•Теорема (Принцип сжимающих отображений).

Пусть M — полное метрическое пространство и f : M → M — сжимающее отображение. Тогда существует единственнаяточка x∗ ∈ M , такая, что x∗ = f (x∗ ).•Точка x∗ называется неподвижной точкой отображения f .Теорема (О непрерывной зависимости неподвижной точки от параметра). Пусть M —полное метрическое пространство и ft : M → M — семейство отображений, зависящих отпараметра t из метрического пространства T . Предположим, что1) существует q ∈ (0, 1), такое, что ft является q-сжимающим для каждого t ∈ T ;2) ft (x) непрерывно по t в точке t0 ∈ T для каждого x ∈ M .Если at ∈ M — неподвижная точка отображения ft , т.е.

at = ft (at ), то at непрерывнапо t в точке t0 ∈ T .•Определение. Пусть X = Rn и Y = Rm . Отображение ϕ : X → Y называется дифференцируемым в точке x0 ∈ X, если существует линейное отображение Lx0 : X → Y , такое,что ϕ(x0 + h) − ϕ(x0 ) − Lx0 h = o(h) для любого h ∈ X.•Отображение Lx0 называется дифференциалом или производной отображения ϕ в точке x0 и обозначается dx0 ϕ или ϕ0 (x0 ). Производную ϕ0 можно задать матрицей n × m,компонентами которой являются ∂ϕi /∂xj .Определение. Отображение ϕ называется дифференцируемым в области U ⊂ X, еслионо дифференцируемо в каждой точке этой области.

Отображение ϕ называется непрерывно дифференцируемым в области U ⊂ X, если ϕ0 (x) непрерывно по x в U , т.е. все∂ϕi /∂xj непрерывны.•Определение. Отображение ϕ : U → Y называется диффеоморфизмом, если ϕ непрерывно-дифференцируемо и взаимно-однозначно, и отображение ϕ−1 : ϕ(U ) → U непрерывнодифференцируемо.•§ 2. Неявные функции.Пусть X = Rn , Y = Rm и F : X × Y → Y , F = (F1 , .

. . , Fm ).Определение. Отображение ϕ : X → Y , такое, что F (x, ϕ(x)) = 0, называется неявнозаданным отображением.•Теорема (О неявной функции). Пусть Ux и Uy — области в X и Y соответственно, и7отображение F : Ux × Uy → Y удовлетворяет следующим условиям:1) существует точка (x0 , y 0 ) ∈ Ux × Uy , такая, что F (x0 , y 0 ) = 0;2) отображение F непрерывно в точке (x0 , y 0 );3) производная Fy0 отображения F по y существует в Ux ×Uy и непрерывна в точке (x0 , y 0 );4) det Fy0 (x0 , y 0 ) 6= 0.Тогда существуют окрестность Vx точки x0 в X, окрестность Vy точки y 0 в Y и отображение ϕ : Vx → Vy , такие, что1) {(x, y) ∈ Vx × Vy | F (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ Vx × Vy | y = ϕ(x)};2) y 0 = ϕ(x0 );3) отображение ϕ непрерывно в точке x0 .•Теорема (О непрерывности неявного отображения).

Пусть выполнены условия теоремыо неявной функции и отображение F непрерывно в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 )в X × Y . Тогда неявная функция ϕ непрерывна в некоторой окрестности точки x0 в X. •Теорема (О дифференцируемости неявного отображения). Пусть выполнены условиятеоремы о неявной функции и отображение F непрерывно дифференцируемо (по x и поy) в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) в X × Y . Тогда неявная функция ϕ непрерывнодифференцируемо в некоторой окрестности точки x0 в X и−1ϕ0 (x) = − Fy0 (x, ϕ(x))◦ Fx0 (x, ϕ(x)).•Теорема (О гладкости неявного отображения). Пусть выполнены условия теоремы онеявной функции и отображение F k раз непрерывно дифференцируемо (по x и по y) внекоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) в X ×Y .

Тогда неявная функция ϕ k раз непрерывнодифференцируема в некоторой окрестности точки x0 в X.•Теорема (О неявном отображении в общей формулировке). Пусть отображение F : Rn →Rk , n > k, непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки x0 ∈ Rn иrang Fx0 (x0 ) = k, т.е.

можно выделить k переменных (xi1 , . . . , xik ), которые мы обозначим через y, такие, что det Fy0 (x0 ) 6= 0. Обозначим совокупность переменных, отличныхот y, через z. Таким образом, пространство X = Rn можно представить как X = Y × Z,где Y = Rk и Z = Rn−k , при этом x0 = (y 0 , z 0 ).Если F (x0 ) = 0, то существует отображение ϕ : Z → Y , такое, что в некоторой окрестности точки x0 множество решений уравнения F (x) = 0 есть {x = (y, z) | y = ϕ(z)}.•Теорема (Об обратной функции). Пусть в некоторой окрестности Uy ⊂ Rn точки y 0задано непрерывно дифференцируемое отображение g : Uy → Rn , такое, что det g 0 (y 0 ) 6= 0.Тогда в некоторой окрестности Ux ⊂ Rn точки x0 = g(y 0 ) определено обратное отображение g −1 , которое является непрерывно дифференцируемым, и−1 0g −1 x (x) = gy0(y)y=g−1 (x) .•Теорема (О гладкости обратного отображения).

Пусть g : Rn → Rn есть отображениекласса C k в некоторой окрестности Uy точки y 0 ∈ Rn и det g 0 (y 0 ) 6= 0. Тогда существуетокрестность Ux точки x0 = g(y 0 ), такая, что g есть диффеоморфизм класса C k областиUy на область Ux .•8§ 3. Многообразия в Rn .Определение. Пусть задано множество M ⊂ Rn и точка a ∈ M . Мы скажем, что Mявляется p-мерным многообразием класса C k в окрестности U точки a, если существуетдиффеоморфизм ϕ класса C k окрестности U на окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, чтоϕ(a) = 0 и ϕ(M ∩ U ) = {x ∈ V ∩ Rn | xp+1 = .

. . = xn = 0}.•Теорема (О локальном явном задании многообразия). Пусть M — некоторое множествов Rn и a ∈ M . Для того, чтобы M было p-мерным многообразием класса C k в некоторойокрестности U точки a, необходимо и достаточно, чтобы существовали (n − p) скалярныхфункций fp+1 , . . .

, fn : Rp → R класса C k , такие, что после подходящей перестановкикоординат x1 , . . . , xn пространства Rn выполнялись бы следующие условия:1) fi (a1 , . . . , ap ) = ai для i = p + 1, . . . , n;2) M ∩ U = {x ∈ U | xi = fi (x1 , . . . , xp ), i = p + 1, . . . , n}.•Теорема (О локальном параметрическом задании многообразия). Пусть M — некотороемножество в Rn и a ∈ M . Для того, чтобы M было p-мерным многообразием классаC k в некоторой окрестности U точки a, необходимо и достаточно, чтобы существовалгомеоморфизм ψ некоторой области W в Rp на M ∩ U , такой, что1) ψ как отображение из Rp в Rn принадлежит классу C k ; ∂ψ 2) rank= p при ξ ∈ W .•∂ξОтображение ψ называется локальной параметризацией многообразия M в окрестноститочки a.Определение.

Множество M ⊂ Rn называется p-мерным многообразием класса C k , еслионо является таковым в некоторой окрестности каждой своей точки.•Множество U ⊂ M называется открытым в M , если существует открытое множествоV ⊂ Rn , такое, что U = V ∩ M . Каждое многообразие M можно представить в видеобъединения открытых в M множеств Uα , каждое из которых является областью действиянекоторой параметризации ψα . Пара (Uα , ψα ) называется картой или локальной картой.Объединение всех локальных карт называется атласом.Лемма (О двух локальных параметризациях ). Пусть M — p-мерное многообразие классаC k в Rn и U — открытое множество в M , на котором заданы две параметризации ψ1 иψ2 . То есть, ψ1 : W1 → U и ψ2 : W2 → U , где W1 и W2 — некоторые области в Rp . Тогдасуществует диффеоморфизм λ : W1 → W2 класса C k , такой, что ψ1 = ψ2 ◦ λ.•Теорема (О касательном пространстве к параметрически заданному многообразию).Пусть M есть p-мерное многообразие класса C 1 в Rn , a ∈ M и ψ есть локальная парамет∂ψ Rp не зависит от выбораризация в некоторой окрестности точки a.

Множество∂ξ ξ=0параметризации ψ и называется касательным пространством к многообразию M в точкеa (обозначается Ta M ).•Определение. Карты (Uα , ψα ) и (Uβ , ψβ ) имеют согласованные ориентации, если либоUα ∩ Uβ = ∅, либо det (ψα0 )−1 ◦ ψβ0 > 0 в Uα ∩ Uβ .

Атлас называется согласованным, если в нем любые две карты имеют согласованные ориентации. Многообразие называетсяориентируемым, если на нем существует согласованный атлас.•Определение. Множество M ⊂ Rn называется p-мерным многообразием с краем, если9для любой точки a ∈ M реализуется одна из следующих возможностей:1) существует диффеоморфизм ϕ : U → V некоторой окрестности U ⊂ Rn точки a нанекоторую окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, что ϕ(a) = 0 и ϕ(M ∩ U ) = {x ∈ V | xp+1 =. . .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)