1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 22
Текст из файла (страница 22)
. ∧ π kp ,16k1 <...<kp 6nгде ak1 ... kp ∈ R. Это выражение называется каноническим представлением p-формы f .Теорема (Об антикоммутативности внешнего произведения). Если f ∈ Λp (X) и g ∈Λq (X), то f ∧ g = (−1)pq g ∧ f.•Пусть X и Y — линейные пространства и Φ — линейное отображение X в Y . Линейноеотображение Φ : X → Y естественным образом порождает отображение Φ∗ : Λp (Y ) →Λp (X). Если f ∈ Λp (Y ), то(Φ∗ f )(x1 , .
. . , xp ) = f (Φx1 , . . . , Φxp ).14Отображение Φ∗ линейно, то есть,Φ∗ (f + g) = Φ∗ f + Φ∗ gи Φ∗ (λf ) = λΦ∗ fдля всех f, g ∈ Λp (Y ) и λ ∈ R. Кроме того,Φ∗ (f ⊗ g) = (Φ∗ f ) ⊗ (Φ∗ g),Φ∗ (Ap f ) = Ap (Φ∗ f ),Φ∗ (f ∧ g) = (Φ∗ f ) ∧ (Φ∗ g)для всех f ∈ Λp (Y ) и g ∈ Λq (Y ).§ 2. Дифференциальные формы в Rn .Пусть U есть открытое множество в Rn , которое может совпадать со всем пространствомRn .Определение. Всякое отображение ω : U → Λp (Rn ) называется внешней дифференциальной формой степени p.•Таким образом, в каждой точке x ∈ U определена p-форма ωx ∈ Λp (Rn ).Если функция f : Rn → R дифференцируема в области U ⊂ Rn , то по определению dx fесть линейная форма на Rn для каждого x ∈ U . Таким образом, df является внешнейдифференциальной 1-формой. Рассмотрим функцию fi : Rn → R, которая каждой точке x ставит в соответствие её i-ю координату. То есть, fi (x) = xi .
Её дифференциал впроизвольной точке x ∈ Rn есть dx xi (ξ) = ξ i . Видим, что дифференциал не зависит отвыбора точки x, поэтому индекс x у знака дифференциала можно не писать, то есть,dxi (ξ) = ξ i = π i (ξ).Таким образом, каждая дифференциальная форма ω степени p может быть представленав таком виде:Xω=ak1 ... kp dxk1 ∧ . . .
∧ dxkp ,16k1 <...<kp 6nгде коэффициенты ak1 ... kp зависят от точки x, то есть, являются функциями, действующими из Rn в R. Это выражение называется каноническим представлением дифференциальной формы ω. В произвольной фиксированной точке x ∈ U ⊂ Rn мы имеем:ωx =Xak1 ...
kp (x) dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp .16k1 <...<kp 6nОпределение. Дифференциальная форма ω степени p называется p-формой класса C m (U ),если все коэффициенты ak1 ... kp в её каноническом представлении являются функциямикласса C m (U ). Множество внешних дифференциальных p-форм класса C m (U ) будем обозначать через C m (U ; Λp (Rn )).•Сопоставим каждой дифференциальной p-форме ω класса C m (U ), m > 1, некоторую(p + 1)-форму класса C m−1 (U ), обозначаемую через dω и называемую внешним дифференциалом формы ω.15Если ω ∈ C m (U ; Λ0 (Rn )), то есть, ω = ω(x) является просто m раз непрерывно дифференцируемой в U функцией, то dω суть обычный дифференциал этой функции:nX∂ωdω =dxi .i∂xi=1Видим, что dω ∈ C m−1 (U ; Λ1 (Rn )) и коэффициенты ai в каноническом представленииформы dω есть функции ai (x) = ∂ω(x)/∂xi .Пусть теперь ω ∈ C m (U ; Λp (Rn )) с произвольным p ∈ {1, 2, .
. . , n}. Если каноническоепредставление формы ω имеет видXω=ak1 ... kp dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp ,16k1 <...<kp 6nто положим по определениюdω =Xdak1 ... kp ∧ dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp ,16k1 <...<kp 6nгде dak1 ... kp есть дифференциальная 1-форма, являющаяся дифференциалом функцииak1 ... kp (x).Операция внешнего дифференцирования линейна:d(λ ω) = λ dω,d(ω1 + ω2 ) = dω1 + dω2для любого λ ∈ R и любых форм ω, ω1 , ω2 ∈ C 1 (U, Λp (Rn )), p > 0.Лемма. Для любой функции f : U → R класса C 1 (U ) и любой дифференциальной формыω ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )), p > 1, имеет место равенствоd(f ω) = df ∧ ω + f dω.•Теорема.
Для любых дифференциальных форм ω1 ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )) и ω2 ∈ C 1 (U ; Λq (Rn ))с p > 1 и q > 1 справедливо равенствоd(ω1 ∧ ω2 ) = (dω1 ) ∧ ω2 + (−1)p ω1 ∧ (dω2 ).•Теорема. Для произвольной дифференциальной формы ω ∈ C 2 (U ; Λp (Rn )), p > 0, справедливо равенство d(dω) = 0.•1n1mОбозначим через Rnx и Rmy пространства переменных x = (x , . . . , x ) и y = (y , . . .
, y )nсоответственно. Пусть ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) есть отображение класса C k+1 из Rnx в Rmy , U ⊂ Rxmи V ⊂ Ry — открытые связные множества (области), такие, что ϕ(U ) = V .∗Для каждой дифференциальной формы ω ∈ C k (V ; Λp (Rmy )) определим форму ϕ ω ∈kpnC (U ; Λ (Rx )) по следующему правилу:(ϕ∗ ω)x (ξ 1 , . . . , ξ p ) = ωϕ(x) (ϕ0 ξ 1 , . . . , ϕ0 ξ p ),16где ϕ0 есть производная отображения ϕ в точке x:ϕ0 : Rnx → Rmy ,ϕ0ij =∂ϕi,∂xj(ϕ0 ξ)i =nX∂ϕij=1∂xjξj .kpnОтображение ϕ∗ : C k (V ; Λp (Rmy )) → C (U ; Λ (Rx )) называется переносом дифференциальной формы при отображении ϕ.Заметим, что если f : V → R есть скалярная функция, то (ϕ∗ f )x = f (ϕ(x)).Отображение ϕ∗ линейно. То есть, если ω, ω1 и ω2 — дифференциальные формы и C —скалярная постоянная, тоϕ∗ (ω1 + ω2 ) = ϕ∗ (ω1 ) + ϕ∗ (ω2 ),∗kЛемма.
Если ω = dy , то (ϕ ω)x =nX∂ϕkj=1∂xjϕ∗ (C ω) = C ϕ∗ (ω).dxj .•Лемма. Если ω1 и ω2 — дифференциальные формы (произвольных степеней), тоϕ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = ϕ∗ ω1 ∧ ϕ∗ ω2 .•1n1mОбозначим через Rnx и Rmy пространства переменных x = (x , . . . , x ) и y = (y , . . . , y )nсоответственно. Пусть ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) есть отображение класса C k+1 из Rnx в Rmy , U ⊂ Rxи V ⊂ Rmy — открытые связные множества (области), такие, что ϕ(U ) = V .∗Для каждой дифференциальной формы ω ∈ C k (V ; Λp (Rmy )) определим форму ϕ ω ∈kpnC (U ; Λ (Rx )) по следующему правилу:(ϕ∗ ω)x (ξ 1 , .
. . , ξ p ) = ωϕ(x) (ϕ0 ξ 1 , . . . , ϕ0 ξ p ),где ϕ0 есть производная отображения ϕ в точке x:0ϕ :Rnx→Rmy ,ϕ0ij∂ϕi=,∂xj0i(ϕ ξ) =nX∂ϕij=1∂xjξj .kpnОтображение ϕ∗ : C k (V ; Λp (Rmy )) → C (U ; Λ (Rx )) называется переносом дифференциальной формы при отображении ϕ.Заметим, что если f : V → R есть скалярная функция, то (ϕ∗ f )x = f (ϕ(x)).Отображение ϕ∗ линейно. То есть, если ω, ω1 и ω2 — дифференциальные формы и C —скалярная постоянная, тоϕ∗ (ω1 + ω2 ) = ϕ∗ (ω1 ) + ϕ∗ (ω2 ),k∗Лемма. Если ω = dy , то (ϕ ω)x =nX∂ϕkj=1∂xjϕ∗ (C ω) = C ϕ∗ (ω).dxj .•Лемма.
Если ω1 и ω2 — дифференциальные формы (произвольных степеней), тоϕ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = ϕ∗ ω1 ∧ ϕ∗ ω2 .17•Упражнение. Если f — скалярная функция и ω — дифференциальная форма, тоϕ∗ (f ω) x = f (ϕ(x)) (ϕ∗ ω)x .•Таким образом, если форма ω задана в каноническом виде:Xωy =ak1 ... kp (y) dy k1 ∧ . . . ∧ dy kp ,16k1 <...<kp 6mтоX(ϕ∗ ω)x =ak1 ... kp (ϕ(x)) dϕk1 (x) ∧ . . . ∧ dϕkp (x).16k1 <...<kp 6mmУтверждение.
Если ω — форма степени m в Rm и ϕ : Rmx → Ry , то(ϕ∗ ω)x = ϕ∗ a dy 1 ∧ . . . ∧ dy m x = det ϕ0 (x) a(ϕ(x)) dx1 ∧ . . . ∧ dxm .Теорема.d(ϕ∗ ω) = ϕ∗ dω.••Определение. Дифференциальная форма ω ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )) называется замкнутой, если dω = 0 в U .•Определение. Дифференциальная форма ω ∈ C k (U ; Λp (Rn )) называется точной, еслисуществует форма α ∈ C k+1 (U ; Λp−1 (Rn )), такая, что ω = dα в U .•Очевидно, точная форма всегда замкнута.
Справедливость обратного утверждения зависит от области определения формы.Определение. Область U называется звездной относительно точки x0 ∈ U , если длялюбой точки x1 ∈ U отрезок [x0 , x1 ] = {x ∈ Rn | x = tx1 + (1 − t)x0 , t ∈ [0, 1] } лежит в U .Теорема (Пуанкаре). Пусть U — звездная относительно одной из своих точек область вRn и ω ∈ C ∞ (U ; Λp (Rn )).
Если dω = 0 в U , то существует α ∈ C ∞ (U ; Λp−1 (Rn )), такая, чтоdα = ω.•Пусть ω ∈ C(U ; Λp (Rn )), U ⊂ Rnx . Если p = n (в этом случае форма имеет вид ωx =a(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn ), то можно определить интеграл от дифференциальной формы ω пообласти U . ПоложимZZω=a(x) dx.UUВ правой части этой формулы стоит интеграл Лебега (или Римана) от функции a пообласти U . Если ϕ : V → U , V ⊂ Rny , то ϕ∗ ω ∈ C(V ; Λn (Rn )) иZZ∗ϕω=a(ϕ(y)) det ϕ0 (y) dy.VVЕсли det ϕ0 (y) > 0, то согласно формуле замены переменных в интеграле Лебега (илиРимана)ZZ∗ϕω=ω.Vϕ(V )§ 3. Дифференциальные формы на многообразиях.18Определение. Пусть M есть k-мерное многообразие в Rn . Дифференциальной формойω степени p на многообразии M называется отображение, которое каждой точке x ∈ Mставит в соответствие форму ωx ∈ Λp (Tx M ).•Сумма и внешнее произведение форм на многообразии определяются обычным образом.Определим операцию внешнего дифференцирования.
Пусть a ∈ M и ψ — параметризациямногообразия M в некоторой окрестности U ⊂ Rn точки a. То есть, существует областьW ⊂ Rk , такая, что M ∩ U = ψ(W ) и rang ψ 0 = k в W . Переменные в Rk обозначим черезt = (t1 , . . . , tk ).Определение. Дифференциальная форма α степени p + 1, определенная на M ∩ U , называется внешним дифференциалом формы ω степени p, если ψ ∗ α = d(ψ ∗ ω) в W .•Определение. Скажем, что p-форма ω на M принадлежит классу C m , если ψ ∗ ω — формакласса C m . Для этого необходимо, чтобы многообразие M было класса C m+1 , т.е.
ψ былоотображением класса C m+1 .•Определение. Пусть ψ — определенная выше параметризация (одна карта) k-мерногомногообразия M в U . Если ω — дифференциальная k-форма на M ∩ U , то положимZZω=ψ(W )ψ ∗ ω.•WВведем понятие интеграла по всему многообразию.Определение. Носителем функции f : Rn → R называется замыкание множества {x ∈Rn | f (x) 6= 0} в Rn . Обозначается носитель через supp f .•Определение. Функция f : Rn → R называется финитной, если supp f есть компактноемножество в Rn .•Лемма (Урысон).
Пусть компакт K содержится в открытом множестве U ⊂ Rn . Существует функция f : Rn → [0, 1] класса C ∞ , такая, что supp f ⊂ U и f (x) = 1 при x ∈ K.•Теорема (О разбиении единицы). Пусть K — компакт в Rn и {U1 , . . . , Um } есть его открытое покрытие (т.е., все Ui — открытые множества в Rn и K ⊂ ∪mi=1 Ui ). Существует набор∞бесконечно дифференцируемых (класса C ) функций f1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
