1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

= xn = 0};2) существует диффеоморфизм ϕ : U → V некоторой окрестности U ⊂ Rn точки a нанекоторую окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, что ϕ(a) = 0 и ϕ(M ∩ U ) = {x ∈ V | xp >0, xp+1 = . . . = xn = 0},причем множество точек, для которых реализуется вторая возможность (это множествоназывается краем многообразия), не пусто.•§ 4. Неявно заданные многообразия.Обозначим через M множество решений системы уравнений f1 (x1 , . . .

, xn ) = 0,...fk (x1 , . . . , xn ) = 0,где k < n. Обозначим x = (x1 , . . . , xn ), f = (f1 , . . . , fk ).Теорема (О неявно заданном многообразии). Если M 6= ∅, rank ∂f = k для любой∂xx=aточки a ∈ M и f является отображением класса C m , то M есть (n − k)-мерное многообразие класса C m в Rn .•Теорема (О касательном пространстве к неявно заданному многообразию). Пусть M —неявно заданное многообразие и выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда Ta M ={x ∈ Rn | f 0 (a)hxi = 0}.•Определение. Пусть M — (n − k)-мерное неявно заданное многообразие класса C 1 вRn и F : Rn → R — функция класса C 1 . Мы скажем, что F достигает в точке a ∈ Mсвоего локального минимума на многообразии M (локального условного минимума), еслисуществует окрестность U точки a, такая, что F (a) 6 F (x) для любого x ∈ U ∩ M .•Если в этом определении F (a) > F (x) для любого x ∈ U ∩ M , то говорят о локальноммаксимуме на многообразии M или о локальном условном максимуме.

Если точка a является точкой локального условного минимума или максимума, то она называется точкойлокального условного экстремума.Теорема (Правило множителей Лагранжа). Пусть M — (n − k)-мерное неявно заданноемногообразие класса C 1 в Rn и F : Rn → R — функция класса C 1 . Если функция F достигает в точке a ∈ M своего локального экстремума на многообразии M , то существуютчисла λ1 , . . .

, λk , среди которых есть отличные от нуля, такие, что0F (a) =kXλi fi0 (a).i=1•Введем обозначение: L(λ, x) = F (x) −Pki=1λi fi (x) — функция Лагранжа.Теорема (Достаточное условие локального условного минимума). Пусть F, fi ∈ C 2 (Rn ),i = 1, .

. . , k, x0 ∈ M и для некоторого λ = (λ1 , . . . , λk ) функция L удовлетворяет следующим условиям:101. ∂L(λ, x0 ) = 0;∂x∂2L2. ∂x2 (λ, x0 ) является положительно определенным оператором на Tx0 M , т.е.,α|h|2 для некоторого α > 0 и для всех h ∈ Tx0 M .Тогда x0 — точка локального минимума функции F на многообразии M .∂2L(λ, x0 )hh, hi∂x2•Глава. Дифференциальные формы.§ 1.

Полилинейные формы.Пусть X есть линейное пространство над полем вещественных чисел R. То есть, по определению, если x ∈ X и y ∈ X, то (λx+µy) ∈ X для всех λ, µ ∈ R. Линейные пространствачасто называют векторными, а их элементы — векторами.PВыражение nk=1 αk xk , где αk ∈ R и xk ∈ X, называется линейной комбинацией векторовx1 ,P. . . , xn . Векторы x1 , .

. . , xn пространства X называются линейно независимыми, еслииз nk=1 αk xk = 0 следует, что все αk = 0. Здесь 0 есть нулевой вектор в X.Семейство {e1 , . . . , en } векторов линейного пространства X называется базисом,Pесли каждый вектор x ∈ X однозначно представим в виде линейной комбинации: x = nk=1 αk ek ,αk ∈ R. Коэффициенты αk называются координатами x относительно базиса {ek }. Векторы базиса являются линейно независимыми.Множество Y называется линейным подпространством пространства X, если Y есть линейное пространство и Y ⊂ X.

Линейной оболочкой семейства векторов пространстваX называется множество их всевозможных линейных комбинаций. Легко проверить, чтолинейная оболочка является линейным подпространством в X. Линейную оболочку элементов x1 , . . . , xk называют подпространством, порождённым векторами x1 , . . . ,xk (илинатянутым на эти векторы).Линейное пространство называется конечномерным, если оно является линейной оболочкой конечного числа векторов. Размерностью линейного пространства X (обозначаетсяdim X) называется число векторов в его базисе.Пусть X — конечномерное линейное пространство. Обозначим через X p линейное пространство, элементы которого суть упорядоченные наборы (x1 , .

. . , xp ).Определение. Отображение f : X p → R называется полилинейной формой степени p(или p-линейной формой), еслиf (x1 , . . . , αx0k + βx00k , . . . , xp ) = αf (x1 , . . . , x0k , . . . , xp ) + βf (x1 , . . . , x00k , . . . , xp )для каждого k = 1, . . . , p и для всех α, β ∈ R.•Полилинейные формы степени 1 будем называть линейными формами.Для двух полилинейных форм f и g произвольных степеней k и m соответственно определим полилинейную форму f ⊗g степени k +m, называемую их тензорным произведением:(f ⊗ g)(x1 , . .

. , xk , xk+1 , . . . , xk+m ) = f (x1 , . . . , xk ) g(xk+1 , . . . , xk+m ).для полилинейных форм f , g и h произвольных степеней справедливы следующие соот11>ношения:(λf ) ⊗ g = λ(f ⊗ g) для всех λ ∈ R,(f + g) ⊗ h = f ⊗ h + g ⊗ h,f ⊗ (g + h) = f ⊗ g + f ⊗ h,(f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h).Последнее свойство позволяет нам не заботиться о расстановке скобок в тензорных произведениях: (f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h) = f ⊗ g ⊗ h.Предположим, что dim X = n и {e1 , . . . , en } — какой-либо базис в X.

Поставим в соответствие этому базису n линейных форм π k , k = 1, . . . , n, определённых следующим образом:π k (x) = xk ,kгдевектора x относительно базиса {e1 , . . . , en }, то есть, x =Pn x kесть k-я координатаkkkk=1 x ek . Заметим, что π (em ) = δm , где δm — символ Кронекера.Лемма (О представлении полилинейных форм). Для каждой определённой на X полилинейной формы f степени p справедливо представлениеf=nXk1 =1...nXak1 ... kp π k1 ⊗ .

. . ⊗ π kp ,kp =1где ak1 ... kp = f (ek1 , . . . , ekp ). Формы вида π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp , где каждый индекс ki пробегаетзначения от 1 до n, образуют базис в пространстве полилинейных форм степени p.•Полилинейная форма f степени p > 2 называется кососимметрической, если она меняетзнак при перестановке двух её произвольных аргументов:f (x1 , . .

. , xk , . . . , xm , . . . , xp ) = −f (x1 , . . . , xm , . . . , xk , . . . , xp ).•Множество всех кососимметрических p-линейных форм на X образует линейное пространство, которое мы будем обозначать Λp (X). Если p = 1, то определим Λ1 (X) как линейноепространство всех линейных форм на X. Если p = 0, то мы положим Λ0 (X) = R. Длякраткости мы будем называть кососимметрические полилинейные формы степени p (тоесть, элементы пространства Λp (X)) просто p-формами или внешними p-формами.Лемма. Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Если xk = xm для пары различных индексов k и m, тоf (x1 , . .

. , xp ) = 0.•Следствие. Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Если векторы x1 , . . . , xp пространства X линейнозависимы, то f (x1 , . . . , xp ) = 0.•Следствие. Если f ∈ Λp (X) и p > dim X, то f = 0, то есть, f (x1 , . . . , xp ) = 0 для всехнаборов векторов x1 , . . . , xp пространства X.•Пусть Np = {1, 2, . . . , p}. Каждое взаимно-однозначное отображение множества Np в себяназывается перестановкой. Обозначим через Pp множество всех перестановок в Np . Перестановка σ ∈ Pp называется транспозицией, если в Np существует пара различных чиселk и m, таких, что σ(k) = m, σ(m) = k и σ(`) = ` для любого `, отличного от k и m.Всякая перестановка из Pp может быть представлена как суперпозиция конечного числа12транспозиций.

При этом чётность числа транспозиций в этом представлении не зависит отвыбора представления. Назовём сигнатурой перестановки σ число ε(σ), равное +1, еслиσ разлагается в суперпозицию чётного числа транспозиций, и −1, если — нечётного.Теорема. Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Для любой перестановки σ ∈ Pp имеет место равенствоf (xσ(1) , .

. . , xσ(p) ) = ε(σ) f (x1 , . . . , xp ).•Введём операцию альтернирования Ap , которая каждой полилинейной форме f степениp > 2 ставит в соответствие кососимметрическую p-форму Ap f :(Ap f )(x1 , . . . , xp ) =1 Xε(σ)f (xσ(1) , . . . , xσ(p) ).p ! σ∈PpСумма здесь берётся по всем перестановкам из Pp .Если f ∈ Λp (X), то Ap f = f . Операция альтернирования линейна, то есть,Ap (f + g) = Ap f + Ap g,Ap (λf ) = λ Ap fдля любого λ ∈ R и всех полилинейных форм f и g степени p. Из этих свойств операцииAp следует, чтоnnXXak1 ... kp Ap (π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp )...Ap f =k1 =1kp =1для любой полилинейной формы f степени p. Кроме того, для линейных форм f 1 , . . .

, f p 1f (x1 ) . . . f p (x1 )1 ....................Ap (f 1 ⊗ . . . ⊗ f p )(x1 , . . . , xp ) =p ! 1pf (xp ) . . . f (xp )Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Каждая форма f ∈ Λp (X) можетбыть однозначно представлена в таком виде:Xf=ak1 ... kp π k1 ... kp ,16k1 <...<kp 6nгде сумма берётся от 1 до n по всем ki , удовлетворяющим условию под знаком суммы,ak1 ... kp ∈ R, а формы π k1 ... kp ∈ Λp (X) определены следующим образом: kπ 1 (x1 ) .

. . π kp (x1 )π k1 ... kp (x1 , . . . , xp ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .•π k1 (xp ) . . . π kp (xp )Из этой леммы следует, что множество p-форм {π k1 ... kp , 1 6 k1 < . . . < kp 6 n} образуетбазис в Λp (X), а dim Λp (X) = Cnp .Определение. Внешним произведением форм f ∈ Λp (X) и g ∈ Λq (X) называется следующая форма (f ∧ g) ∈ Λp+q (X):f ∧g =(p + q)!Ap+q (f ⊗ g).p!q!13•Внешнее произведение обладает следующими простейшими свойствами:(f + g) ∧ h = f ∧ h + g ∧ h,(λf ) ∧ h = λ(f ∧ h)где λ ∈ R, f ∈ Λp (X), g ∈ Λp (X), h ∈ Λq (X) с произвольными p и q.Теорема.

Если f ∈ Λp (X) и g ∈ Λq (X), то(f ∧ g)(x1 , . . . , xp+q ) =Xε(σ) f (xσ(1) , . . . , xσ(p) ) g(xσ(p+1) , . . . , xσ(p+q) ),σ∈Pbp+qгде сумма берётся по всем упорядоченным перестановкам σ ∈ Pbp+q , то есть таким, чтоσ(1) < . . . < σ(p) и σ(p + 1) < . . . < σ(p + q).•Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Для любого набора индексов{k1 , . . . , kp+q } ⊂ {1, . . . , n} имеет место равенствоπ k1 ... kp ∧ π kp+1 ... kp+q = π k1 ... kp+q .•Теорема. Внешнее произведение ассоциативно, то есть,(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h)для любых форм f ∈ Λp (X), g ∈ Λq (X) и h ∈ Λs (X) с произвольными p, q и s.•Из этой теоремы следует, что мы можем не заботиться о расстановке скобок во внешнемпроизведении нескольких форм и имеем право писать выражения вида f 1 ∧ f 2 ∧ .

. . ∧ f m ,где f k — произвольные внешние формы.Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Для любого набора индексов{k1 , . . . , kp } ⊂ {1, . . . , n} имеет место равенствоπ k1 ... kp = π k1 ∧ . . . ∧ π kp .•Таким образом, совокупность p-форм {π k1 ∧ . . . ∧ π kp , : 1 6 k1 6 . . . 6 kp 6 n} образуетбазис в Λp (X), то есть, каждая p-форма f может единственным образом быть представленав следующем виде:Xf=ak1 ... kp π k1 ∧ . .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)