1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При этом число T называется периодом функции f . Таким образом,тригонометрические функции cos, sin, tg и ctg являются 2π-периодическими.Упражнение. Доказать следующие соотношения:cos2 ψ + sin2 ψ = 1,cos(φ + ψ) = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ,sin(φ + ψ) = sin φ cos ψ + cos φ sin ψ.12•§ 3. Комплексные числа.Добавим к множеству R один дополнительный символ i и будем выполнять с ним арифметические операции как с обычными вещественными числами. Символ i называется мнимой единицей и характеризуется следующим свойством: i2 = −1.
Объекты вида x + iy,где x и y — вещественные числа, называются комплексными числами. Множество всехкомплексных чисел обозначается через C. Чаще всего комплексные числа мы будем обозначать буквой z. Таким образом, если z ∈ C, то существуют вещественные числа x и y,такие, что z = x + iy. Число x называется вещественной частью комплексного числа z(обозначается x = Re z), а y — мнимой частью (обозначается y = Im z). Два комплексныхчисла равны, если совпадают их вещественные и мнимые части.
Определим сложение иумножение комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 следующим образом:z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),z1 z2 = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).То есть, арифметические операции с комплексными числами выполняются точно так же,как с вещественными, но при этом учитывается, что i2 = −1.Несложно проверить, что C является полем. Нулём этого поля служит число 0 = 0 + i · 0, аединицей — число 1 = 1 + i · 0. Поясним, как находится обратный элемент.
Пусть z = x + iy— ненулевое комплексное число. Сопряжённым к z называется число z = x − iy. Так какzz = x2 + y 2 6= 0, обратным элементом для z будет число z/(x2 + y 2 ).Если мы отождествим вещественное число x с комплексным числом x + i · 0, то получим,что R является подполем поля C (т.е., поле C является расширением поля R).Комплексные числа допускают естественную геометрическую интерпретацию. Каждомукомплексному числу z = x + iy поставим в соответствие упорядоченную пару вещественных чисел (x, y), которая задаёт некоторую точку на координатной плоскости R2 .
Такимобразом, комплексные числа могут быть изображены точками на плоскости, которая поэтой причине называется комплексной плоскостью.Легко видеть, что сложение комплексных чисел производится как сложение соответствующих им векторов. С умножением дело обстоит немного сложнее.
Модулемкомплексногоp2числа z = x+iy называется неотрицательное вещественное число |z| = x + y 2 . Аргументом комплексного числа z = x+iy 6= 0 называется угол между векторами с координатами(1, 0) и (x, y). Если мы обозначим модуль числа z через ρ, а аргумент — через φ, то получимдля числа z следующее представление:z = ρ (cos φ + i sin φ).Поскольку функции cos и sin являются 2π-периодическими, правая часть этого равенстване изменится, если мы вместо φ напишем φ + 2πk, где k — произвольное целое число. Тоесть, каждому комплексному числу соответствует много значений угла φ. Множество всехэтих значений обозначают через Arg z. Чтобы определить аргумент числа однозначно,специально оговаривают, в каком промежутке его следует выбирать. Обычно это бывает один из полуинтервалов [0, 2π) и (−π, π].
Значение аргумента в пределах выбранногопромежутка обозначают через arg z и называют главным значением аргумента.13С помощью описанного выше представления, нетрудно понять, что представляет собойпроизведение двух комплексных чисел. Возьмём два произвольных ненулевых комплексных числа:z1 = ρ1 (cos φ1 + i sin φ1 ) и z2 = ρ2 (cos φ2 + i sin φ2 ).Используя тригонометрические формулы, мы получим:z1 z2 = ρ1 ρ2 (cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )).Таким образом, чтобы найти на координатной плоскости вектор, соответствующий комплексному числу z1 z2 , мы должны удлинить вектор (x1 , y1 ) в ρ2 раз и повернуть на угол φ2(напомним, что положительное направление поворота — против часовой стрелки).
Можно, конечно, удлинить вектор (x2 , y2 ) в ρ1 раз и повернуть на угол φ1 . Результат от этогоне изменится.Упражнение. Воспользовавшись полученным представлением для произведения комплексных чисел и принципом математической индукции, доказать формулу Муавра:z k = ρk (cos kφ + i sin kφ),где ρ = |z|, φ = arg z, k ∈ N.•§ 4. Кардинальные числа.Скажем, что множество A равномощно множеству B, если существует взаимно-однозначное отображение F : A → B, такое, что F (A) = B (то есть, F — биекция). Отношениеравномощности множеств является отношением эквивалентности, так как оно обладаетследующими очевидными свойствами:1) любое множество равномощно самому себе (рефлексивность);2) если A равномощно B, то B равномощно A (симметричность);3) если A равномощно B и B равномощно C, то A равномощно C (транзитивность).Тот факт, что множества A и B равномощны, мы будем обозначать A ∼ B.Все множества можно разбить на непересекающиеся классы равномощных множеств.Мощностью (или кардинальным числом) множества назовём класс эквивалентности, которому это множество принадлежит.
Мощность какого-либо множества A мы будем обозначать через card A. Выражение card A = card B означает, что множества A и B равномощны, то есть что A ∼ B.Для каждого k ∈ N обозначим через Nk множество первых k натуральных чисел: Nk ={1, 2, . . . , k}. Множество A называется конечным, если A ∼ Nk для некоторого k ∈ N, приэтом положим card A = k.
Также, по определению, card ∅ = 0. Однако, основная причина введения кардинальных чисел связана с попыткой сравнения бесконечных множеств.Назовём множество бесконечным, если оно не является конечным. Дедекинд предложилназывать множество бесконечным, если оно равномощно некоторому своему собственномуподмножеству.Мощности множеств можно сравнивать.
Скажем, что мощность множества A не превосходит мощности множества B (card A 6 card B), если A равномощно некоторому подмножеству множества B (т.е., A ∼ B1 и B1 ⊂ B).Упражнение. Доказать, что если card A 6 card B и card B 6 card C, то card A 6 card C.•14Теорема. (Теорема Шрёдера — Бернштейна) Пусть A и B — произвольные множества.Если card A 6 card B и card B 6 card A, то card A = card B.•Скажем, что мощность множества A меньше мощности множества B (card A < card B),если card A 6 card B и card A 6= card B.Теорема. (Первая теорема Кантора) Пусть A — произвольное множество. Тогда card A <card P(A), P(A) — множество всех подмножеств множества A.•Как следует из этой теоремы, не существует наибольшего кардинального числа. Какоебы множество A мы ни взяли, всегда можно построить множество B, мощность которогобольше мощности множества A.Счётные множества.
Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N. Множество называется не более, чем счётным, если оно конечно или счётно.Упражнение. Доказать, что объединение двух не более чем счётных множеств (не обязательно непересекающихся) есть не более чем счётное множество.•Как показывает следующая теорема, счётные множества являются в некотором смысленаименьшими из бесконечных множеств.Теорема. Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.•Следствие. Любое бесконечное подмножество счётного множества является счётным. •Следствие.
Если A — бесконечное, а B — не более чем счётное множества, то card (A ∪B) = card A.•Теорема. card (N × N) = card N.•Следствие. Объединение счётного числа счётных множеств является счётным множеством.••Следствие. card Q = card N.Упражнение.
Доказать, что множество алгебраических вещественных чисел счётно. •Множества мощности континуума. Скажем, что множество имеет мощность континуума, если оно равномощно отрезку [0, 1]. Для обозначения мощности континуума мыбудем использовать латинскую букву c. Любой промежуток вещественной прямой (как ився прямая) имеет мощность c.Теорема. (Вторая теорема Кантора) card N < c.•Следствие. Иррациональные числа существуют. Множество иррациональных чисел отрезка [0, 1] имеет мощность континуума.•Упражнение.
Пусть A — множество мощности континуума, а B — его счётное подмножество. Доказать, что множество A \ B имеет мощность континуума.•Утверждение. Если A и B — непересекающиеся множества мощности континуума, тоcard (A ∪ B) = c.•Аналогично можно доказать, что если {Xk }k∈N — последовательность непересекающихсямножеств мощности континуума, то их объединение тоже имеет мощность c. Достаточнорассмотреть биекции Fk : Xk → (1/(k +1), 1/k], k ∈ N и определить биекцию F : ∪∞k=1 Xk →15(0, 1] = ∪∞k=1 (1/(k + 1), 1/k], которая совпадает с Fk на Xk . Отсюда, в частности, следуетуже установленный нами ранее факт: множество R = ∪n∈Z (n, n + 1] имеет мощность c.Теорема. card [0, 1] × [0, 1] = c.•Следствие. Если для каждого α ∈ [0, 1] множество Xα имеет мощность континуума, томножество X = ∪α∈[0,1] Xα тоже имеет мощность континуума.•Глава 3.
Числовые последовательности и ряды.§ 1. Числовые последовательности.Числовой последовательностью называется отображение из N в R (или в C).Определение. Число α называется пределом последовательности {an }n∈N , если для любого ε > 0 существует N ∈ N, такое, что |an − α| < ε для всех n > N .•В символьном виде это определение записывается следующим образом:(∀ ε > 0)(∃N ∈ N)(∀ n ∈ N) n > N ⇒ |an − α| < ε .Отрицание этого утверждения(∃ ε > 0)(∀ N ∈ N)(∃ n ∈ N) n > N ∧ |an − α| > εозначает, что число α не является пределом последовательности {an }n∈N .Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если предел последовательности существует и равен какому-либо числу α, то говорят также, что последовательность сходится к α.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
