1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вещественное число 2 является иррациональным.•Итак, Q 6= R. Множество иррациональных чисел полем не является, так как разностьдвух иррациональных чисел (как и произведение) может быть числом рациональным.Ещё один вывод, который позволяет сделать последнее утверждение, состоит в том, чтополе Q не является полным.
В самом деле, рассмотрим множества A = {x ∈ Q | x >0 и x2 < 2} и B = {x ∈ Q | x > 0 и x2 > 2}. Очевидно, что a < b для всех√a ∈ A и b ∈ B.Однако, единственным числом, разделяющим эти множества, является 2, которое непринадлежит Q.Утверждение.
Если a и b — вещественные числа и a < b, то существует рациональноечисло p, такое, что a < p < b.•Вещественное число называется алгебраическим, если оно является решением какого-либоуравнения вида a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an = 0 с n ∈ N и с рациональными или, что9эквивалентно, целыми коэффициентами ak , k = 0, 1, . . . , n. В противном случае числоназывается трансцендентным.§ 2. Геометрическое представление вещественных чисел.Числовая прямая.
Между множеством точек на прямой и множеством вещественныхчисел можно установить взаимно-однозначное соответствие. По этой причине мы часто будем называть R вещественной числовой прямой, а вещественные числа — точками на этойпрямой. Множество точек, лежащих на прямой правее точки 0, назовём положительнойполуосью, а левее — отрицательной полуосью.Введём следующие обозначения:[a, b] = {x ∈ R | a 6 x 6 b} — отрезок (замкнутый интервал, замкнутый промежуток),(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} — интервал (открытый интервал, открытый промежуток),[a, b) = {x ∈ R | a 6 x < b}, (a, b] = {x ∈ R | a < x 6 b} — полуинтервалы.Интервалы, отрезки и полуинтервалы будем называть промежутками и обозначать ha, bi.Часто, по аналогии, числовую прямую R обозначают через (−∞, +∞).Окрестностью точки x ∈ R называется любой интервал, содержащий эту точку.
Длякаждого ε > 0 интервал (x − ε, x + ε) называется ε-окрестностью точки x. Длиной промежутка ha, bi называется величина (b − a). Если I — промежуток, то его длину будемобозначать через |I|. Расстоянием между точками a и b называется длина промежутка сконцами a и b, которая, очевидно, равна |a − b|.Множество A ⊂ R называется открытым, если для каждой точки a ∈ A существуетинтервал (открытый) U , такой что a ∈ U ⊂ A. Множество A ⊂ R называется замкнутым,если множество R \ A открыто. Пустое множество ∅ считается и открытым, и замкнутым.Это, впрочем, следует из определения открытых и замкнутых множеств.
Очевидно, чточисловая прямая R также является и открытым, и замкнутым множеством.Пусть M — множество. Последовательностью элементов множества M называется отображение a : N → M . Для последовательностей мы будем использовать следующие обозначения: {an }n∈N , {an }∞n=1 , {an , n ∈ N} или просто {an }. В частности, если в качествеM взять P(X) — множество всех подмножеств какого-либо множества X, то получим последовательность подмножеств множества X.
В следующей теореме в качестве M взятомножество всех отрезков на числовой прямой.Теорема. (О вложенных отрезках) Если {Ik } — последовательность отрезков числовойпрямой, таких, что I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ Ik ⊃ . . . (т.е., Ik ⊃ Ik+1 для всех k ∈ N), то существуетточка c ∈ R, которая принадлежит всем этим отрезкам (т.е., c ∈ ∩k∈N Ik ).Более того, если для любого ε ∈ R+ существует k ∈ N, такое, что |Ik | < ε, то c —единственная точка в ∩k∈N Ik .•Пусть Nm = {k ∈ N | k 6 m}.
Скажем, что множество A является конечным, еслисуществует биективное отображение этого множества на Nm для некоторого m ∈ N. Приэтом число m называется количеством элементов множества A. Множество A называетсябесконечным, если оно не является конечным.Система множеств S называется покрытием множества A, если A ⊂ ∪U ∈S U , то есть,A является подмножеством объединения всех множеств системы S. Если S 0 ⊂ S и A ⊂10∪U ∈S 0 U , то S 0 называется подпокрытием покрытия S.
Сразу заметим, что любое подпокрытие является также и покрытием множества. Если система S состоит из конечногочисла множеств, то она называется конечным покрытием.Теорема. (О конечном подпокрытии) Любое покрытие отрезка числовой прямой системойинтервалов содержит конечное подпокрытие этого отрезка.•Точка p ∈ R является предельной точкой множества A ⊂ R, если в любой её окрестностисодержится хотя бы одна точка из A \ {p}.Упражнение.
Точка p ∈ R является предельной точкой множества A ⊂ R тогда и толькотогда, когда в любой её окрестности содержится бесконечное число точек из A.•Теорема. (Теорема Больцано — Вейерштрасса) Если A ⊂ R — ограниченное множество,содержащее бесконечное число точек, то A имеет предельную точку (не обязательно принадлежащую A).•Числовая окружность. Рассмотрим декартово произведение R2 = R × R двух числовых прямых. Элементы множества R2 мы тоже будем называть точками. Каждая точка x ∈ R2 есть упорядоченная пара (x1 , x2 ) вещественных чисел x1 и x2 , называемыхкоординатами точки x.
По этой причине множество R2 называют координатной плоскостью. Точка 0 = (0, 0) называется началом координат. Каждой точке x ∈ R2 можно поставить в соответствие вектор с началом в 0 и концом x. Поэтому точки в R2мы будем также называть векторами. Векторы можно складывать и умножать на вещественное число: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) и tx = (tx1 , tx2 ) для любого t ∈ R.
Величину1/2|x − y| := (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2называют евклидовым расстоянием между точкамиx и y координатной плоскости. В этом пункте у нас не встретится других расстояний, поэтому слово «евклидово» мы будем опускать. Расстояние от точки x до начала координат0 называется величиной или модулем вектора x и обозначается |x|.Введём обозначение, которое будет постоянно использоваться в дальнейшем. Если намзадан набор {a1 , a2 , . .
. , aPn } чисел или других объектов, которые можно складывать, то ихсумму обозначают так: ni=1 ai . Таким образом, если x, y ∈ R2 , то|x − y| =2X(xi − yi )21/2.i=1Пусть a — какая-либо точка координатной плоскости R2 и r ∈ R+ . Множество Sr (a) ={x ∈ R2 | |x − a| = r} называется окружностью радиуса r с центром в точке a. В этомпункте мы будем обозначать через S окружность S1 (0).Наша дальнейшая цель — ввести понятие длины дуги окружности.
Пусть a и b — точкина S, причём для того, чтобы перейти из a в b мы должны двигаться по S против часовой_стрелки. Множество точек окружности S, заключённых между a и b, назовём дугой ab.Точка a — начало, а b — конец дуги. Рассмотрим произвольный набор {ξ 0 , ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n }__несовпадающих точек на ab, таких, что ξ 0 = a и ξ n = b. Вписанной в дугу ab ломанойс вершинами в точках ξ k называется набор отрезков [ξ k−1 , ξ k ], k = 1, 2, . . . , n, где отрезок[ξ k−1 , ξ k ] есть множество точек x ∈ R2 , таких, что x = (1 − t) ξ k−1 + t ξ k для некоторого t ∈[0, 1]. Если мы обозначим эту ломаную через ξ̄, то её длину определим как положительное11вещественное число `(ξ̄) =обозначим через L(a, b)._Pni=1 |ξ i − ξ i−1 |.
Множество всех вписанных в дугу ab ломаных_Назовём длиной дуги ab окружности S вещественное числоs(a, b) = sup `(ξ̄) = sup{`(ξ̄) | ξ̄ ∈ L(a, b)}.ξ̄∈L(a,b)Упражнение. Доказать существование супремума множества A = {`(ξ̄) | ξ̄ ∈ L(a, b)}.Подсказка: установить, что множество A ограничено сверху, например, числом 8 (периметром наименьшего квадрата, содержащего окружность S).•_Утверждение.
(Аддитивность длины дуги) Если c — произвольная точка на дуге ab, тоs(a, b) = s(a, c) + s(c, b).•d := s(a, b). Обозначим через e точкуТеперь мы можем определить понятие угла: a0b(1, 0) ∈ S и определим функцию φ : S → R следующим образом: φ(a) = s(e, a) (от e кa движемся против часовой стрелки). Для величины φ(−e), где −e = (−1, 0), со времёнАрхимеда принято специальное обозначение: π.
Число π является длиной половины единичной окружности S. Соответственно, длина всей окружности равна 2π. Итак, каждойточке окружности S мы поставили в соответствие число из промежутка [0, 2π) числовойпрямой. Утверждение о том, что для каждого вещественного числа φ ∈ [0, 2π) существуетточка a ∈ S, такая, что φ = s(e, a), мы доказывать не будем и примем его в качествеаксиомы.
Фактически, это предположение означает отсутствие разрывов на окружности,что вполне соответствует нашим геометрическим представлениям.Чтобы определить точку a(φ) ∈ S при φ ∈6 [0, 2π), мы положим a(φ + 2πk) = a(φ) длявсех k ∈ Z. Таким образом, для каждого ψ ∈ R мы однозначно определим φ ∈ [0, 2π) иk ∈ Z, такие, что ψ = φ + 2πk, и положим a(ψ) = a(φ).Определим тригонометрические функции.
Для каждого ψ ∈ Rcos ψ = a1 (ψ),sin ψ = a2 (ψ),где (a1 (ψ), a2 (ψ)) = a(ψ). Эти величины называются косинусом и синусом угла ψ соsin ψназывают тангенсом угла ψ.ответственно. Если cos ψ 6= 0, то величину tg ψ =cos ψcos ψЕсли sin ψ 6= 0, то величину ctg ψ =называют котангенсом угла ψ. Так какsin ψa(ψ) = a(ψ + 2πk) для всех k ∈ Z, справедливы следующие соотношения:sin ψ = sin(ψ + 2πk),cos ψ = cos(ψ + 2πk),tg ψ = tg(ψ + 2πk),ctg ψ = ctg(ψ + 2πk)для всех k ∈ Z.Пусть T ∈ R+ . Функция f : R → R называется T -периодической, если f (x + T ) = f (x)для всех x ∈ R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
