1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (824678), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Заметим также, что включение x ∈ R+ равносильно неравенствуx > 0.Выражения, содержащие знаки <, >, 6 и > называются неравенствами. Неравенства, содержащие знаки < и > называются строгими, а неравенства со знаками 6 и > — нестрогими.Определение. Упорядоченное поле X называется полным (или непрерывным), если онообладает следующим свойством: для любых непустых подмножеств A и B поля X, таких,что a 6 b для всех a ∈ A и b ∈ B, существует элемент c ∈ X, такой, что a 6 c 6 b для всехa ∈ A и b ∈ B.•Можно показать, что любые два полных упорядоченных поля X и X 0 изоморфны.
Этоозначает, что существует биективное отображение F : X → X 0 , такое, что F (x + y) =F (x) + F (y), F (xy) = F (x)F (y) и x < y ⇔ F (x) < F (y) для всех x, y ∈ X. Таким образом, с точностью до изоморфизма полное упорядоченное поле определено единственнымобразом. Полное упорядоченное поле называется полем вещественных чисел и обозначается R. Элементы множества R мы будем называть вещественными числами. Элементымножества R+ назовём положительными вещественными числами, а противоположные кним — отрицательными.Теорема. (Следствия из аксиом поля)1◦ . В R существуют только один нуль и только одна единица.2◦ .
У каждого x ∈ R существует только один противоположный элемент.3◦ . (Закон сокращения для сложения) Если a, b, c ∈ R и a + c = b + c, то a = b.4◦ . У каждого x ∈ R \ {0} существует только один обратный элемент.5◦ . (Закон сокращения для умножения) Если a, b, c ∈ R, c 6= 0 и ac = bc, то a = b.6◦ . Для каждого x ∈ R справедливо равенство x · 0 = 0.7◦ . Если xy = 0, то x = 0 или y = 0.8◦ . Для каждого x ∈ R справедливо равенство (−1) · x = −x.Теорема. (Следствия из аксиом порядка) Пусть a, b, c ∈ R. Тогда5•1◦ . (Транзитивность) если a > b и b > c, то a > c;2◦ . если a > b и b > c, то a > c;3◦ . если a > b, то a + c > b + c;4◦ .
(сложение неравенств) если x > y и a > b, то x + a > y + b;5◦ . если a > b и c > 0, то ac > bc.6◦ . если a > b и c < 0, то ac < bc.7◦ . Для любого x ∈ R \ {0} выполняется неравенство xx > 0.8◦ . 1 > 0.•Модулем (или абсолютной величиной) вещественного числа x ∈ R называется неотрицательное число |x|, такое, что(x,x > 0,|x| =−x, x < 0.Также, поставим в соответствие каждому x ∈ R его знак sgn x (читается «сигнум» или«знак»):x > 0,1,sgn x = 0,x = 0,−1, x < 0.Очевидно, что |x| > 0 для любого x ∈ R и из |x| = 0 следует x = 0. Кроме того, |x| = x·sgn xи x = |x| · sgn x.Теорема. Пусть x, y ∈ R. Тогда1◦ . |xy| = |x| · |y|;2◦ .
если ε ∈ R+ , то |x| < ε ⇔ −ε < x < ε и |x| 6 ε ⇔ −ε 6 x 6 ε;3◦ . (неравенство треугольника) |x + y| 6 |x| + |y|;4◦ . |x| − |y| 6 |x − y|.•Скажем, что множество A ⊂ R ограничено сверху, если существует a ∈ R, такое, что x 6 aдля всех x ∈ A. Аналогично, множество A ⊂ R ограничено снизу, если существует b ∈ R,такое, что x > b для всех x ∈ A. При этом a называется верхней гранью или мажорантоймножества A, а b — его нижней гранью или минорантой.
Если множество ограничено исверху, и снизу, то оно называется ограниченным. Если a есть верхняя (нижняя) граньмножества A и a ∈ A, то a называется максимумом (минимумом) множества A. Записывается это так: a = max A (a = min A).Определение. Число a ∈ R называется точной верхней гранью или супремумом непустого множества A (записывается a = sup A), еслиа) a является верхней гранью A;б) для любого y < a существует x ∈ A, такой, что x > y.6Число b ∈ R называется точной нижней гранью или инфимумом непустого множества A(записывается b = inf A), еслиа) b является нижней гранью A;б) для любого y > b существует x ∈ A, такой, что x < y.•Эти определения можно сформулировать по-другому: для произвольного ε > 0 существуют x, y ∈ A, такие, что x > sup A − ε и y < inf A + ε.Супремум ограниченного сверху множества A ⊂ R обладает следующими очевиднымисвойствами:1.
если sup A ∈ A, то sup A = max A;2. sup A есть наименьшая верхняя грань множества A;3. sup A определён единственным образом;4. множество −A = {x ∈ R | (−x) ∈ A} ограничено снизу и inf(−A) = − sup A.Аналогичными свойствами обладает inf A.Теорема. Если непустое множество A ⊂ R ограничено сверху, то существует число c ∈ R,такое, что c = sup A.•Теорема. Пусть A и B — непустые ограниченные сверху (снизу) множества в R. ЕслиA ⊂ B, то sup A 6 sup B (inf A > inf B).•В некоторых ситуациях удобно использовать множество вещественных чисел, дополненное двумя элементами −∞ и +∞, которые называются минус бесконечность и плюс бесконечность соответственно.
Множество вещественных чисел с этими двумя элементаминазывается расширенной числовой прямой и обозначается R. Бесконечные элементы наделяются следующими свойствами:1. (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, (+∞) · (+∞) = +∞, (−∞) · (−∞) = +∞,−(+∞) = −∞, −(−∞) = +∞;2.
x + (+∞) = +∞, x + (−∞) = −∞ и x/(+∞) = x/(−∞) = 0 для любого x ∈ R;3. x · (+∞) = +∞ и x · (−∞) = −∞ для любого x ∈ R+ ;4. −∞ < x < +∞ для любого x ∈ R;5. выражения (+∞) + (−∞), 0 · (±∞), (±∞)/(±∞) не имеют смысла и называютсянеопределённостями.Натуральные числа. Множество A ⊂ R называется индуктивным, если 1 ∈ A и длялюбого x ∈ A число (x + 1) также принадлежит A. Очевидно, что множества R и R+являются индуктивными. Пересечение любой совокупности индуктивных множеств является индуктивным множеством.
Множество натуральных чисел N есть пересечение всехиндуктивных множеств. Множество натуральных чисел само является индуктивным.Утверждение. (Принцип математической индукции) Если A ⊂ N и A — индуктивноемножество, то A = N.•7Часто принцип математической индукции используется в другой формулировке: пустьP (n) — какое-либо утверждение, касающееся натурального числа n. Если P (1) истинно,а из истинности P (n) следует истинность P (n + 1), то P (n) истинно для всех n ∈ N.Эта формулировка, очевидно, эквивалентна предыдущей. Для доказательства того, чтоиз первой формулировки следует вторая, достаточно взять A = {n ∈ N | P (n)}. Длядоказательства обратного утверждения определим P (n), как утверждение (n ∈ A).Теорема.
(О структуре множества N)1◦ . n > 1 для любого n ∈ N;2◦ . если k и m — натуральные числа, то (k + m) ∈ N и km ∈ N;3◦ . если k ∈ N и k 6= 1, то (k − 1) ∈ N;4◦ . если k и m — натуральные числа и k < m, то (m − k) ∈ N;5◦ . для любого k ∈ N не существует натурального числа n, такого, что k < n < k + 1.•Отметим ещё два свойства натуральных чисел:6◦ . если n ∈ N, то (−n) 6∈ N;7◦ . если n ∈ N и n 6= 1, то 1/n 6∈ N.Для любых n ∈ N и x ∈ R определим вещественное число xn как произведение x · x . .
. x,в котором n раз стоит число x. Число xn называется n-й степенью числа x и читается«x в степени n». Исторически принято выделять два специальных случая: x2 называется«x в квадрате», а x3 — «x в кубе». Очевидно, что x1 = x для всех x ∈ R. Кроме того, поопределению положим, что x0 = 1 для всех x ∈ R.Теорема. (Неравенство Бернулли) Для любого вещественного числа x > −1 и любогоn ∈ N справедливо неравенство (1 + x)n > 1 + nx.•Теорема.
(Принцип Архимеда) Множество натуральных чисел не является ограниченнымсверху. Другими словами, для любого x ∈ R существует n ∈ N, такое, что n > x.•Следствие. Для любых a ∈ R и b ∈ R+ существует n ∈ N, такое, что a < nb.•Следствие. Пусть вещественные числа x, y и z таковы, что y 6 x 6 y + z/n для всехn ∈ N.
Тогда x = y.•Заметим, что в формулировке этого следствия мы могли бы потребовать выполнения другого неравенства: y − z/n 6 x 6 y. Утверждение при этом не изменилось бы. Кроме того,утверждение останется бы в силе, если эти неравенства будут выполняться лишь для всехнатуральных чисел n, больших некоторого фиксированного числа.Целые числа. Множеством целых чисел Z называется множество вещественных чиселx, таких, что либо x ∈ N, либо (−x) ∈ N, либо x = 0.Утверждение.
Для каждого x ∈ R существует n ∈ Z, такое, что n 6 x < n + 1.•Для каждого вещественного числа x целое число n, такое, что n 6 x < n + 1, называетсяцелой частью числа x. Целая часть числа x обозначается через [x]. Дробная часть числаx обозначается через {x} и определяется как x − [x]. Не следует путать дробную частьчисла x с множеством, состоящим из одного элемента x.8Отметим ещё, что множество Z делится на два непересекающихся подмножества — чётныхи нечётных чисел. Число n ∈ Z называется чётным, если существует k ∈ Z, такое, чтоn = 2k. Число n ∈ Z называется нечётным, если существует k ∈ Z, такое, что n = 2k + 1.Рациональные и иррациональные числа. Вещественные числа вида k/n, где k ∈ Zи n ∈ N, называются рациональными. Множество всех рациональных чисел обозначаетсячерез Q. Вещественные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.
При определении рационального числа k/n возникает проблема, связанная с тем,что дробь km/(nm) задаёт то же самое число для каждого m ∈ Z. То есть, рациональныечисла задаются неоднозначно. Мы обойдём эту проблему следующим образом. Натуральное число ` 6= 1 называется делителем целого числа k, если k = m` для некоторого m ∈ Z.Скажем, что дробь k/n является несократимой, если числа k и n не имеют общих делителей (такие числа называются взаимно простыми). Теперь мы можем рассматриватьрациональные числа, как несократимые дроби. При этом для каждого p ∈ Q существуютоднозначно определённые k ∈ Z и n ∈ N, такие, что p = k/n.Нетрудно проверить, что Q есть упорядоченное поле. В то же время, как мы увидим далее, поле Q не является полным. Для начала мы покажем, что иррациональные числасуществуют, то есть, что Q 6= R.
Исторически, иррациональные числа возникли при попытке решить квадратное уравнение x2 = a, где a ∈ R+ . Положительноеэтого√ решение1/2уравнения называется квадратным корнем из числа a и обозначается a или a . Длянекоторых a, например, для a = 2, не удалось найти рациональное число x, удовлетворяющее этому уравнению. С другой стороны, из геометрических соображений становитсяясно, что решение должно существовать. В самом деле, исходя из теоремы Пифагора,x является длиной гипотенузы прямоугольного треугольника с длиной катетов, равнойединице. Мы сейчас покажем, что в R+ существует единственное решение квадратногоуравнения.Теорема. (О квадратном корне) Для каждого a ∈ R+ существует единственное числоx ∈ R+ , такое, что x2 = a.•Поаналогии с квадратным корнем для произвольных a ∈ R+ и n ∈ N можно определить√na = a1/n — корень степени n — как единственное в R+ решение уравнения xn = a.Корень степени 3 называется кубическим.√Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
