1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

. · σ̂p · . . . · σk = τ1 · . . . · τ̂s · . . . · τm . Продолжая этот процесс, за конечноечисло шагов получим k = m и σi = τi с точностью до перестановки циклов.¤§5.Разложениеподстановкивпроизведениетранспозиций, независимость чётности числасомножителейотспособаразложения.Знакопеременная группа, ее порядокДокажем, что любую подстановку можно представить в виде произведениятранспозиций.Лемма 1. Для любой подстановки σ ∈ Sn существуют транспозицииτ1 , .

. . , τk такие, что σ = τ1 · . . . · τk .Доказательство. Если σ = id, то σ = (12)2 . Если σ 6= id, то, по теореме 1§4, представим σ = σ1 · . . . · σm , где σi — попарно независимые циклы. Далее,любой цикл (i1 i2 . . . is ) легко представить в виде произведения транспозиций(i1 i2 . . . is ) = (i1 i2 ) · (i1 i3 ) · . . . · (i1 is ).¤Нетрудно заметить, что представление в виде произведения транспозицийнеоднозначно: если σ ∈ Sn , то σ = (12) · (12) · σ.Пусть id 6= σ ∈ Sn и σ = σ1 · . .

. · σk — разложение в произведение попарнонезависимых циклов. Число¶k µXдлина i-циклаN (σ) = |D (σ)| − k =−kв разложенииi=1называется декрементом подстановки σ ∈ Sn . Декремент тождественнойподстановки по определению полагают равным нулю, то есть N (id) = 0.Лемма 2. Пусть σ = τ1 · . .

. · τk , где τi — транспозиции, тогда k ≡N (σ) ( mod 2), то есть чётность числа транспозиций в разложении любойподстановки совпадает с чётностью ее декремента.Доказательство. Найдём, как меняется декремент подстановки σ приумножении её на транспозицию. Если σ = id, то (ij)σ = (ij)id = (ij) иN ((ij)σ) = 2 − 1 = N (σ) + 1. Пусть σ 6= id. Разложим σ в произведение2. Группы, кольца, поля72независимых циклов σ = σ1 · . . . · σ` .

Подсчитаем N ((ij)σ). Рассмотрим всевозможные случаи:1) i, j ∈/ D (σ). Тогда (ij)σ1 · . . . · σ` — произведение независимых циклов иN ((ij) σ) = D (σ) + 2 − (` + 1) = D (σ) − ` + 1 = N (σ) + 1.2) i ∈ D (σ) и j ∈/ D (σ). Пусть i входит в цикл (ii1 . . . ik ), тогда(ij)(ii1 . . . ik ) = (iji1 . . . ik ).

Так как независимые циклы перестановочны,считаем, что i ∈ D (σ1 ). Поэтому N ((ij) σ) = N ((iji1 . . . ik ) · σ2 · . . . · σ` ) =D (σ) + 1 − ` = D (σ) − ` + 1 = N (σ) + 1.3) Аналогично рассматривается случай i ∈/ D (σ) и j ∈ D (σ).4) i, j ∈ D (σ) и входят в один цикл.

С точностью до перестановкинезависимых циклов считаем, что i, j ∈ D (σ1 ). Тогда, если σ1 =(ii1 . . . ik jj1 . . . js ) и {i1 . . . ik } 6= ∅, то(ij)(ii1 . . . ik jj1 . . . js ) = (ij1 j2 . . . js ) · (ji1 . . . ik ).Поэтому N ((ij) σ) = N ((ij1 . . . js ) · (ji1 . .

. ik ) · σ2 · . . . · σ` ) == D (σ) − (` + 1) = D (σ) − ` − 1 = N (σ) − 1.Случай, когда {i1 . . . ik } = ∅, разбирается аналогично.5) i, j ∈ D (σ) и входят в два различных цикла. С точностью доперестановки, считаем, что i ∈ D (σ1 ) и j ∈ D (σ2 ). Тогда(ij)(ii1 . . . ik )(jj1 .

. . js ) = (ij1 . . . js ji1 . . . ik ).Поэтому N ((ij) σ) = N ((ij1 . . . js ji1 . . . ik ) · σ3 · . . . · σ` ) == D (σ) − (` − 1) = D (σ) − ` + 1 = N (σ) + 1.Таким образом, для любой σ ∈ Sn и транспозиции τ имеем N (τ · σ) =N (σ) ± 1 и N (τ · σ) ≡ 1 + N (σ) (mod 2). Пусть σ = τ1 · . . . · τk — разложениеσ в произведение транспозиций, тогдаN (σ) = N (τ1 · . .

. · τk ) ≡ 1 + N (τ2 · . . . · τk ) (mod2) ≡≡ 2 + N (τ3 · . . . · τk ) (mod2) ≡ . . . ≡ (k − 1) + N (τk ) (mod2) ≡ k(mod2). ¤Для подстановки π ∈ Sn число Sg(π) = (−1)N (π) называется знакомподстановки π.Теорема 1. Пусть π ∈ Sn и π = π1 · . . . · πk — разложение в произведениетранспозиций, тогда2. Группы, кольца, поля731) чётность числа k не зависит от способа разложения π в произведениетранспозиций;2) Sg(π) = (−1)k ;3) Sg(σ · π) = Sg(σ) · Sg(π) для любых σ, π ∈ Sn .Доказательство. 1) В силу леммы 1, чётность числа k совпадает счётностью декремента. 2) В силу леммы 1, k ≡ N (π) (mod2) ⇒ Sg(π) =(−1)N (π) = (−1)k .3) Пусть σ = τ1 · . .

. · τ` — разложение в произведение транспозиций, тогдаSg (σ · π) = (−1)`+k = (−1)` · (−1)k = Sg(σ) · Sg(π).¤Подстановка σ ∈ Sn называется чётной, если Sg(σ) = +1 и нечётной,если Sg(σ) = −1.Теорема 2. An = {σ ∈ Sn : Sg(σ) = +1} является подгруппой в Sn и|An | = n!2 .Доказательство. Подстановка id ∈ An , так как Sg(id) = +1. Пусть σ, τ ∈An , тогда Sg (σ · τ ) = Sg(σ) · Sg(τ ) = +1 и σ · τ ∈ An . Пусть σ ∈ An и σ =τ1 · .

. . · τ2k — разложение в произведение транспозиций. Нетрудно заметить,что σ −1 = τ2k · . . . · τ1 и σ −1 ∈ An . По предложению 1 из §3, An — подгруппаSn .Пусть Bn — множество всех нечётных подстановок из Sn . Тогда (12)An :={(12)σ : σ ∈ An } — множество, состоящее из различных нечётных подставок,(12)Bn := {(12)σ : σ ∈ Bn } — множество, состоящее из различных чётныхподстановок. Поэтому |An | ≤ |Bn | ≤ |An |. Следовательно, |An | = |Bn | =1¤2 |Sn | .Группа An называется знакопеременной группой.§6.Теорема о полном развертывании определителяТеорема 1.

Для любой A ∈ Mn (F ) справедливо равенствоXdet (A) =Sg(σ)a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · anσ(n) .σ∈SnДоказательство. В силу теоремы 1 из §1.25, определитель |A|есть полилинейная кососимметрическая нормированная функция D строкматрицы A, т. е. |A| = D(A1 , . . . , An ), где Ai — i-строка матрицы A.2. Группы, кольца, поля74Разложим A1 , . . . , An по стандартному базису {e1 , . . .

, en } пространстваFn :nXAi =aij ej , i = 1, . . . , n.µТогда det (A) = Dj=1nPi1 =1=nXi1 =1=...a1i1 ei1 , A2 , . . . , AnnX¶=nPi1 =1a1i1 D (ei1 , A2 , . . . , An ) = . . .a1i1 a2i2 . . . anin D (ei1 , ei2 , . . . , ein ) =in =1nXa1i1 a2i2 . . . anin D (ei1 , ei2 , . . . , ein ) .i1 =1,i2 =1,...,in =1В силу кососимметричности функции D, имеем D(. . . , ei , . . . , ei , .

. .) = 0.ПоэтомуX¡¢det (A) =a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n) D eσ(1) , . . . , eσ(n) .σ∈Sn¡¢Найдём число D eσ(1) , . . . , eσ(n) . Заметим, что, в силу кососимметричностиD, для любой транспозиции τ ∈ Sn и для любых различных i1 , . . . , in имеем¡¢D eτ (i1 ) , . . . , eτ (in ) = −D (ei1 , . . . , ein ) .Разложим σ в произведение транспозиций: σ = τ1 · . . . · τk . Тогда¡¢¡¢D eσ(1) , . . .

, eσ(n) = D eτk (τk−1 (...τ1 (1)...)) , . . . , eτk (τk−1 (...τ1 (n)...)) =¡¢¡¢−D eτ1 ·...·τk−1 (1) , . . . , eτ1 ·...·τk−1 (n) = (−1)2 D eτ1 ·...·τk−2 (1) , . . . , eτ1 ·...·τk−2 (n) == . . . = (−1)k D (e1 , . . . , en ) = Sg(σ).PСледовательно, det (A) =Sg(σ)a1σ(1) a2σ(2) .

. . anσ(n) .¤σ∈Sn§7.Изоморфизм групп, теорема КэлиРассмотрим две группы G и G0 с операциями ∗ и ◦. Отображение f : G → G0называется гомоморфизмом, если f сохраняет операцию, то есть для любыхa, b ∈ Gf (a ∗ b) = f (a) ◦ f (b) .2. Группы, кольца, поля75Гомоморфизм f называется эпиморфизмом, если отображение fсюръективное (отображение на), гомоморфизм f называется изоморфизмом,если отображение f биективно. В этом случае группы G и G0 называютсяизоморфными и это обозначается G ' G0 .Простейшие свойства гомоморфизмов. Пусть f : G → G0 гомоморфизм,тогда1) f (e) = e0 (e0 — единица в G0 ).Действительно, a∗e = e∗a = a.

Следовательно, f (a)◦f (e) = f (e)◦f (a) =f (a), и потому f (e)= ¢e0 .¡2) (f (g))−1 = f g −1 для любого g ∈ G.Действительно,¡ ¢¡¢¡¢¡ ¢f (g) ◦ f g −1 = f g ∗ g −1 = f (e) = f g −1 ∗ g = f g −1 ◦ f (g) = e0 ⇒¡ ¢f −1 (g) = f g −1 ;3) Пусть f — изоморфизм, тогда f −1 — изоморфизм G0 и G.Действительно, f −1 существует, так как f биективно. Далее, пустьf −1 (a0 ) = a, f −1 (b0 ) = b для любых a0 , b0 ∈ G0 . Тогда a0 = f (a) , b0 = f (b).Следовательно,a0 ◦ b0 = f (a) ◦ f (b) = f (a ∗ b) ⇒ f −1 (a0 ◦ b0 ) = a ∗ b = f −1 (a0 ) ∗ f −1 (b0 ) .Множество Ker f = {g ∈ G : f (g) = e0 } называется ядром гомоморфизмаf : G → G0 .Лемма 1.

Ker f ≤ G, Im f ≤ G0 .Доказательство. По свойству 1) e ∈ Ker¡ f ,−1следовательно,¢¡Ker¢ f 6= ∅.−1= f (a) ◦ f b= e0 ◦Далее, для любых a, b ∈ Ker f имеем f a ∗ b(f (b))−1 = e0 , откуда a ∗ b−1 ∈ Ker f . По предложению 1 из §3, Ker f ≤ G.По свойству 1) e0 ∈ Im f , следовательно, Im f 6= ∅. Для любых a0 , b0 ∈Imf существуют a, b ∈ G такие, что f (a) = a0 , f (b) = b0 . Тогда¡¢¡ ¢−1−1f a ∗ b−1 = f (a) ◦ f b−1 = a0 ◦ (b0 ) ⇒ a0 ◦ (b0 ) ∈ Imf ⇒ Imf ≤ G0 .

¤Докажем, что изоморфизм определяет отношение эквивалентности намножестве всех групп.1. Для любой группы G имеем G ≈ G.Тождественное отображение id : G → G, очевидно, являетсяизоморфизмом.2. Для любых групп G, G0 имеем G ' G0 ⇔ G0 ' G.Если f : G → G0 — изоморфизм, то, по свойству 3), f −1 : G0 — изоморфизм.2. Группы, кольца, поля763. Для любых групп G1 , G2 , G3 имеем G1 ' G2 , G2 ' G3 ⇒ G1 ' G3 .Если f : G1 → G2 , f2 : G2 → G3 — изоморфизмы, то f1 ◦ f2 : G1 → G3 —биективное отображение и для любых a, b ∈ G1 имеем(f1 ◦ f2 ) (a ∗1 b) = f2 (f1 (a ∗1 b)) = f2 (f1 (a) ∗2 f1 (b)) == f2 (f1 (a)) ∗3 f2 (f1 (b)) = (f1 ◦ f2 ) (a) ∗3 (f1 ◦ f2 ) (b) ,где ∗i — операция в группе Gi . Таким образом, f1 ◦ f2 : G1 → G3 —гомоморфизм и G1 ' G3 .В силу теоремы 1 из §5, множество всех групп распадается наклассы изоморфных групп.

С точки зрения алгебры естественно изучатьнеизоморфные объекты.Лемма 2. Все циклические группы одного порядка изоморфны.Доказательство. Пусть G — циклическая группа.1) Пусть G — бесконечная группа. Тогда G = hai = {an : n ∈ Z}.Рассмотрим бесконечную циклическую группу Z = hZ; +i и отображениеϕ : G → Z определённое правилом: ϕ(an ) = n для любого n ∈ Z. Очевидно,что ϕ биективно и для любых n, m ∈ Z имеем¡¢ϕ (an · am ) = ϕ an+m = n + m = ϕ (an ) + ϕ (am ) .Следовательно, ϕ —© изоморфизмªи G ' Z. ©ª2) Пусть G = e, a, . .

Характеристики

Список файлов лекций