1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

По лемме 1, I E K. Положимϕ̃ : K/I → K 0 , где ϕ̃ (ā) = ϕ (a) для ā ∈ K/I. Проверим корректностьопределения ϕ̃.Пусть ā = b̄, тогда a − b ∈ Ker ϕ, поэтому ϕ(a − b) = 00 и ϕ(a) = ϕ(b).Докажем, что ϕ̃ — изоморфизм колец K/I и K 0 .1) Покажем, что ϕ̃ взаимно однозначно.00Для любого a0 ∈ K 0 существует такой¡ ¢ a ∈ K, что ϕ(a) = a , тогда ϕ̃ (ā) = aпо определению. Далее, ϕ̃ (ā) = ϕ̃ b̄ для любых a, b ∈ K ⇔ ϕ (a) = ϕ (b) ⇔ϕ (a − b) = 00 ⇔ a − b ∈ Ker ϕ ⇔ ā = b̄.2) Покажем, что ϕ̃ — гомоморфизм.Для любых a, b ∈ K имеем¢¡ ¢¡¢¡ϕ̃ ā ⊕ b̄ = ϕ̃ a + b = ϕ (a + b) = ϕ (a) ⊕ ϕ (b) = ϕ̃ (ā) ⊕ ϕ̃ b̄ ,¡¢¡¢¡ ¢ϕ̃ ā ¯ b̄ = ϕ̃ a · b = ϕ (a · b) = ϕ (a) ¯ ϕ (b) = ϕ̃ (ā) · ϕ̃ b̄ .0Таким образом, K/I ' K 0 .Обратно, пусть π : K → K/I, где π(a) = ā для любого a ∈ K.Тогда, очевидно, что π — эпиморфизм и Ker π = {a ∈ K : π (a) = ā = 0̄} ={a ∈ K : a ∈ I} = I.¤Лемма 3.

Всякое подкольцо кольца hZ; +, ·i имеет вид nZ = {nz : z ∈ Z},где n ∈ N.Доказательство. Пусть K — подкольцо в hZ; +, ·i, тогда K — подгруппав Z. По теореме 2 из §7, K = nZ. Легко проверить, что nZ замкнутоотносительно умножения.¤Очевидно, что nZ E Z, так как m(nZ) = n(mZ) ⊆ nZ для любого m ∈ Z.Кольцо Z/nZ называют ©кольцом вычетовª по модулю n и обозначают черезZn .

По определению Zn = 0̄, 1̄, . . . , n − 1 с операциямиā + b̄ = a + b,ā · b̄ = a · b,где через ā обозначен остаток от деления a на n.2. Группы, кольца, поля§13.89Поле, подполе, расширение поля. Поле Fp. Теоремао простом подполе. Характеристика поляАлгебраическая система hF ; +, ·i типа h2, 2i называется полем если:(F 1) hF ; +i — абелева группа;(F 2) hF \ {0}; ·i — абелева группа;(F 3) (x + y)z = xz + yz для всех x, y, z ∈ F .По определению считаем, что в поле 0 6= 1. Если в аксиоме (F 2) нетребовать, чтобы группа была абелевой, то такая алгебраическая системаназывается телом, т. е. тело — это некоммутативное поле.Другими словами, hF ; +, ·i является полем, если hF ; +, ·i — ассоциативноекоммутативное кольцо с 1, а hF ∗ = F \ {0}; ·i — коммутативная группа.Теорема 1.

Zm — поле ⇔ m = p — простое число.Доказательство. Если Zm — поле и m = n1 · n2 , то n̄1 · n̄2 = m̄ = 0̄.Следовательно, n̄1 = 0 или n̄2 = 0, т. е. n1 = m или n2 = m.Обратно, если m = p — простое, то для любого 1 ≤ k ≤ p − 1 имеем(k, p) = 1 ⇒ ∃s, t ∈ Z такие, что s · k + t · p = 1 ⇒ s̄ · k̄ + t̄ · ­p̄ = s®· k + t · p =1̄ = s̄ · k̄. Таким образом, элемент k̄ является обратимым и Z∗p , · — группа.¤Заметим, что вместо Zp пишут часто Fp (или GF (p)) и называют это полеполем Галуа.

Подкольцо F ⊆ P поля P , само являющееся полем, называетсяподполем, а P называется расширением поля F . (Заметим, что пересечениелюбого числа подполей поля P является подполем (как и групп, колец).) ПолеF называется простым, если в нем нет собственных подполей.Примеры. 1) Fp — простое поле. Пусть P подполе в Fp . Тогда 1 ∈ P и,следовательно, 2, . .

. , p − 1 ∈ P , т. е. P = Fp .2) Q — простое поле. Пусть P — подполе в Q. Тогда 1 ∈ P и n, m ∈ P дляnлюбых n, m ∈ Z. Поэтому m∈ P (m 6= 0) и P = Q.Теорема 2. В любом поле P существует единственное простое подполеP0 . При этом P0 ' Q или P0 ' Fp .Доказательство. Пусть P1 , P2 — простые подполя в P . Тогда P1 ∩ P2 —подполе в P1 и P2 и P1 ∩ P2 = P1 = P2 .Пусть e — единица поля P .

Возможны два случая: либо ne 6= 0 для любогоn ∈ N, либо существует n ∈ N такое, что ne = 0. Рассмотрим отдельно этислучаи.2. Группы, кольца, поля90no−11) Пусть P0 = n (me) : n ∈ Z, m ∈ N . Докажем, что P0 — простоеподполе в P . Заметим что na = ne · a, na · mb = nm(ab). Далее, имеем0 ∈ P0 , e = 1(1e)−1 ∈ P0 . Пусть n1 (m1 e)−1 + n2 (m2 e)−1 = a. Тогдаa · (m1 m2 e) = (n1 m2 + n2 m1 ) · e ⇒ a = (n1 m2 + n2 m1 ) (m1 m2 e)−1 ∈ P0 ,n1 (m1 e)−1 · n2 (m2 e)−1 = n1 n2 (m1 m2 e)−1 ∈ P0 ,³´−1− n (me)= (−n) (me)−1 ∈ P0 .Если n 6= 0, то n (me)−1 · m (ne)−1 = nm (nme)−1 = (nme) (nme)−1 = e,³´−1−1поэтому n (me)= m (ne)−1 и P0 — подполе в P .³´−1nДокажем, что P0 ' Q.

Пусть ϕ n (me)=m. Покажем корректность:n1 (m1 e)−1 = n2 (m2 e)−1 ⇔ n1 m2 e = n2 m1 e ⇔(n1 m2 − n2 m1 ) e = 0 ⇔ n1 m2 − n2 m1 = 0 ⇔n2n1=.m1m2Покажем, что ϕ — гомоморфизм:³´³´−1−1−1ϕ n1 (m1 e) + n2 (m2 e)= ϕ (n1 m2 + n2 m1 ) (m1 m2 e)=³´³´n1n2n1 m2 + n2 m1−1−1=+= ϕ n1 (m1 e)+ ϕ n2 (m2 e),=m1 m2m1 m2³´³´−1−1−1ϕ n1 (m1 e) · n2 (m2 e)= ϕ n1 n2 (m1 m2 e)=³´³´n1 n2n1 n2−1−1==·= ϕ n1 (m1 e)· ϕ n2 (m2 e).m1 m2m1 m2³´−1nnПокажем, что ϕ — эпиморфизм: ϕ n · (me)=mдля любого m∈ Q.Проверим, что ϕ — мономорфизм:n³´on−1−1Ker ϕ = n · (me) : ϕ n · (me)== 0 ⇔ n = 0 = {0} .mПо основной теореме о гомоморфизмах колец P /Ker ϕ = P0 /{0} ' P0 'Q.

Следовательно, P0 ' Q — простое поле в P .2). Существует n ∈ N такое, что ne = 0. Выберем m =min {n ∈ N : ne = 0}. Тогда m = p простое, так как если m = m1 · m2 , тоme = (m1 · m2 )e = (m1 e) · (m2 e) = 0. Следовательно, либо m1 e = 0, либо2. Группы, кольца, поля91m2 e = 0, т. е. либо m1 = m, либо m2 = m.

Пусть P0 = {0, e, . . . , (p − 1) e}.Тогда для любых k, s ∈ P0 имеемke + se = (k + s) e = (k + s)e,(ke) · (se) = (k · s) e = (k · s)e,где n̄ обозначает остаток от деления n на p. Легко видеть, что P0 ' Fp —простое подполе в P .¤Следствие. Любое поле является расширением Fp или Q.Если P0 ' Q, то говорят, что поле P имеет характеристику 0(обозначение: char P = 0). Если P0 ' Fp , то говорят, что поле P имеетхарактеристику p (обозначение: char P = p).Очевидно, что если char P = 0, то na 6= 0 для любого ненулевого a ∈ P илюбого n ∈ N. Если же char P = p, то pa = 0 для любого a ∈ P.§14.Поле комплексных чисел: матричная конструкция,изоморфизм с конструкцией в виде пардействительных чисел.

Групповые свойства корнейиз единицы½µТеорема 1. P =полем.a b−b a¾¶: a, b ∈ R— подкольцо в M2 (R), являющеесяДоказательство. Заметим, что 0, E ∈ P . Кроме того,µ¶ µ¶ µ¶a bx ya + x (b + y)+=∈ P,−b a−y x−(b + y) a + xµ¶ µ¶ µ¶a bx yax − by (bx + ay)·=∈ P,−b a−y x−(bx + ay) ax − by¶ µ¶µa b−a −b=∈ P.−−b ab −aµ¶µ¶a babДалее, det= a2 + b2 и— обратимая матрица, если она−b a−b aненулевая, с обратной из P . Таким образом, P — поле.¤2. Группы, кольца, поляµ92¶µ¶µ¶a ba 00 bЗамечание.=+= aE + bJ, где J =−b a0 a−b 0¶µ0 1.

Тогда {a · E : a ∈ R} ' R, J 2 = (−J)2 = −E, т. е. J, −J —−1 0решения уравнения x2 + 1 = 0.Вспомним определение поля C: C = {(a, b) : a, b ∈ R}.Теорема 2. hC; +, ·i является полем изоморфным P .¶a b= (a, b).Доказательство. Определим ϕ : P → C правилом ϕ−b aТогда ϕ — эпиморфизм, т. е. C — кольцо. Ker ϕ = {0} ⇒ P/Ker ϕ =¤P/ {0} = P ' C.©ª2πkОбозначим через Pn множество εk = cos 2πkn + i sin n : 0 ≤ k ≤ n − 1 .µТеорема 3. hPn ; ·i ' Zn .Доказательство.

Имеемεk · εj = cos2π (k + j)2π (k + j)2πr2πr+ i sin= εr = cos+ i sin,nnnnгде r = r(k, j) — остаток от деления (k + j) на n.Определим отображение ϕ : Pn → Zn правилом ϕ (εk ) = k̄.Покажем, что ϕ — гомоморфизм. Пусть r определено как и раньше, тогдаϕ (εk · εj ) = ϕ (εr ) = r̄ = k + j = k̄ + j̄ = ϕ (εk ) + ϕ (εj ) .Поскольку ϕ (εi ) = 0̄ ⇐⇒ ī = 0̄, то i = 0 и Ker ϕ = {1}. Очевидно, что ϕсюръективно. Следовательно, Pn ' Zn .¤§15.Максимальные идеалы колец и поля вычетовИдеал I кольца K называется максимальным, если I 6= K и для любого J CKтакого, что I ⊆ J ⊆ K, либо J = I, либо J = K. Обозначение: I Cmax K.Теорема 1.

Пусть K — ассоциативное коммутативное кольцо с 1, I —идеал в K. Тогда K/I — поле ⇔ I Cmax K.Доказательство. Пусть K/I — поле, I ⊆ J EK и I 6= J. Тогда существуетj ∈ J \ I. Так как K/I — поле, то существует x̄ ∈ K/I такой, что j̄ · x̄ = 1̄.Следовательно, j · x + I = 1 + I и 1 − j · x ∈ I. Тогда j · x ∈ J, I ⊆ J и 1 ∈ J.Поэтому 1 · k = k ∈ J для любого k ∈ K, т. е. K = J.2. Группы, кольца, поля93Обратно, пусть I Cmax K.

Рассмотрим a ∈ K \ I и J := a · K + I := {ak + i :k ∈ K, i ∈ I}. Тогда J / K, a ∈ J, и I ⊆ J. Следовательно, a · K + I = K.Поэтому 1 = a · x + i, где i ∈ I и 1̄ = ā · x̄ в K/I (1 ∈/ I ⇒ 1̄ ∈ K/I). Такимобразом, K/I — поле.¤Поле K/I, где I Cmax K, а K — ассоциативное коммутативное кольцо с 1,называется полем вычетов.Пример. Как мы видели ранее, Zp = Z/pZ, где p — простое число, являетсяполем. Следовательно, pZ Cmax Z. Более того, все максимальные идеалы в Zимеют вид pZ, где p — простое число.§16.Целостные кольца и поля частных.

Поле рядовЛоранаКольцо A называется целостным, если A — ассоциативное коммутативноекольцо с 1 и без делителей нуля.Пример. Z ⊆ Q.Наша цель — вложить целостное кольцо A в поле, т. е. построить такоеполе F , что A можно рассматривать как подкольцо в F .Построение поля частных. Рассмотрим множествоA × A∗ = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ A∗ = A \ {0}} .Разобьём A × A∗ на классы эквивалентности:(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.Предложение 1. “∼” — отношение эквивалентности на A × A∗ .Доказательство.

Очевидно, что (a, b) ∼ (a, b) и (a, b) ∼ (c, d) ⇔ (c, d) ∼(a, b). Пусть (a, b) ∼ (c, d) , (c, d) ∼ (e, f ), т. е. ad = bc, cf = ed. Тогдаadf = bcf, bcf = bed. Следовательно, af = be.¤В силу теоремы 1 из § 1.5,A × A∗ разбивается на классы эквивалентности:Q (A) = {a/b : a, b ∈ A, b 6= 0} , где a/b = {(x, y) ∈ A × A∗ : (x, y) ∼ (a, b)} ,причем a/b = c/d ⇔ ad = b. Определим операции (корректность легкопроверяется) на Q (A):a/b + c/d = (ad + bc) /bd,a/b · c/d = ac/bd.2. Группы, кольца, поля94Теорема 1. Для любого целостного кольца A алгебраическая системаhQ (A) ; +, ·i является полем, которое называется полем частных кольцаA.

Характеристики

Список файлов лекций