1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Её легко превратить вкольцо hA; +, ·i, определив умножение по правилу: a · b = 0 для любых a, b ∈A.Общие свойства. 1) Для любого a ∈ K имеем a · 0 = 0 · a = 0.Действительно, a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 = a · 0 ⇒ a · 0 = 0. Аналогично0 · a = 0.2) Если 0 = 1, то K = {0}. Значит, в нетривиальном кольце 0 6= 1.3) Для любых a, b ∈ K: (−a) · b = a · (−b) = −(a · b). Действительно,0 = a · 0 = a · (b + (−b)) = a · b + a · (−b), т. е. a · (−b) = −(a · b). Аналогично,(−a) · b = −(a · b).µ n ¶µ m ¶n PmPPPai bj .4) Для любых a1 , .
. . , an , b1 , . . . , bm ∈ K:aibi =i=1i=1i=1 j=1Доказательство индукцией по n и m. В частности, из 3) и 4) следует, чтодля любого n ∈ Z справедливо (na) · b = a · (nb) = n (a · b).5) Если K — коммутативное кольцо, то, для любых a, b ∈ K, n ∈ N,n(a + b) =nXCni ai · bn−i .i=0Кольцо многочленов. Пусть K — некоторое кольцо и x — символ, непринадлежащий K ( x называют неизвестной, переменной). ВыражениевидаnXna = a0 + a1 x + . . . + an x =ai xi ,i=0где ai ∈ K и n ∈ N, называют многочленом от x с коэффициентами ai ∈ K.2. Группы, кольца, поля83Множество всех многочленов от x обозначают черезK [x] = {a =nXai xi : ai ∈ K, n ∈ N}.i=0Два многочлена a =nPi=0ai xi и b =mPi=0bi xi равны, если бесконечные векторы,составленные из коэффициентов a и b, совпадают покоординатно:(a0 , a1 , .
. . , an , 0, . . .) = (b0 , b1 , . . . , bm , 0, . . .) .Пример: a = 1 + 2x2 = b = 1 + 0 · x + 2x2 + 0 · x7 .Поэтому всегда можно считать, что два многочлена a и b имеютодинаковые границы суммирования. Для этого можно добавить необходимоечисло нулевых коэффициентов.Определим операции на K[x] по правилу: nnnPPPiiai x +bi x =(ai + bi ) xi ,i=0nPi=0i=0ai xi ·mPi=0bi x i =i=0n+mPi=0ci xi , где ci =Pi1 +i2 =iai1 · bi2 .Докажем, что hK [x] ; +, ·i является кольцом. Для простоты изложениябудем записывать многочлены в виде бесконечных векторов:a=nXai xi = (a0 , a1 , . . .
, an , 0, . . . , 0, . . .) = (ai ) .i=0Тогда K [x] = {(ai ) : ai ∈ K, n ∈ N} — алгебраическая система с операциями:(a + b = (ai + bi ) ,Pa · b = (ci ) , где ci =ai1 · bi2 .i1 +i2 =iТеорема 1. hK [x] ; +, ·i — кольцо.Доказательство. Ясно, что hK [x] ; +i — абелева группа, так каксложение векторов покоординатно. Докажем дистрибутивность умножения.Для любых a, b, c ∈ K[x] имеемXa · (b + c) = a · (bi + ci ) = (ai1 · (bi2 + ci3 )) =i1 +i2 =i=(Xi1 +i2 =iai1 · bi2 +Xi1 +i2 =iai1 · ci2 ) = a · b + a · c.2. Группы, кольца, поля84Аналогично получаем (b + c) · a = b · a + c · a.¤Элементы a, b ∈ K называют делителями нуля, если a, b 6= 0, ноa · b = 0.
Коммутативное ассоциативное кольцо без делителей нуля называютобластью целостности.Число deg (a) = max {i : ai 6= 0} называют степенью многочлена a =inPai xi , обычно полагают deg (0) = −∞. Отметим свойства степениi=0многочленов:deg (a + b) ≤ max {deg (a) , deg (b)} ,deg (a · b) ≤ deg (a) + deg (b) .Лемма 1. 1) K ассоциативно ⇒ K[x] ассоциативно. 2) Kкоммутативно ⇒ K[x] коммутативно.
3) K — область целостности⇒ K[x] — область целостности, причём deg (a · b) = deg (a) + deg (b) длялюбых a, b ∈ K[x].Доказательство. 1) Докажем ассоциативность умножения. Для любыхa, b, c ∈ K[x] имеемXXX(a · b) · c = (ai1 · bi2 ) · c = ((ai1 · bi2 ) · ci3 ) =i1 +i2 =i=(XXk+i3 =i i1 +i2 =kXai1 · bi2 · ci3 ) = (k+i3 =i i1 +i2 =kАналогично вычисляем a · (b · c) = (ai1 · bi2 · ci3 ).i1 +i2 +i3 =iPi1 +i2 +i3 =iai1 · bi2 · ci3 ).Следовательно, (a · b) · c = a · (b · c).2) Для любых a, b ∈ K[x] имеемXXa·b=(ai1 · bi2 ) = (bi2 · ai1 ) = b · a.i1 +i2 =ii1 +i2 =i3) Если a, b 6= 0, deg(a) = n и deg(b) = m, то an , bm 6= 0 и поэтому cn+m =an · bm 6= 0, то есть c = a · b 6= 0.
При этом deg(c) = n + m = deg(a) + deg(b).Если a = 0, то a · b = 0 и deg(a · b) = −∞ и deg(a) + deg(b) = −∞.¤Переход от кольца K к K[x] называют кольцевым присоединением x.Присоединяя к K[x] переменную y, получим кольцо многочленов K[x, y] отдвух переменных. Этот процесс можно продолжать:K ⊂ K [x] ⊂ K [x, y] ⊂ K [x, y, z] ⊂ . . . .2.
Группы, кольца, поля85Замечание. По правилу умножения в кольце K[x], многочленыnPi=0nPi=0ai xi иbi xi можно перемножать и складывать как обычные функции, используяправило: xk · xs = xk+s , ak xk + bk xk = (ak + bk )xk . Но при этом следуетразличать, что многочлены — это не функции на кольце K. Например,превратим группу Z2 в кольцо, полагая 0̄ · 1̄ = 1̄ · 0̄ = 0̄, 1̄ · 1̄ = 1̄. Тогдамногочлены f = 1̄ + 1̄ · x2 , g = 1̄ + 1̄ · x4 ∈ Z2 [x] различны, но как функциииз Z2 в Z2 совпадают: f (0̄) = g (0̄) = 1̄, f (1̄) = g (1̄) = 0̄.Кольцо формальных степенных рядов. Рассмотрим множествобесконечных векторов с координатами из K:K [[x]] = {a = (a0 , a1 , . .
. , an , . . .) = (ai ) : ai ∈ K} .Заметим, что K [x]K [[x]]. В отличие от множества K[x], в K [[x]]векторы могут иметь бесконечное число ненулевых координат. Определимоперации на K [[x]] по правилу:(a + b = (ai + bi ) ,Pa · b = (ci ) , где ci =ai1 · bi2 .i1 +i2 =iТак как число операций сложения и умножения при определении координатсуммы и произведения векторов из K [[x]] является конечным, то операции вK [[x]] определены корректно.Теорема 2.
hK [[x]] ; +, ·i — кольцо.Доказательство без изменений повторяет доказательство теоремы 1, таккак мы никогда не использовали конечность числа ненулевых координатбесконечных векторов.¤Кольцо K [[x]] называют кольцом формальных степенных рядов. Векторыa = (ai ) ∈ K [[x]] обозначают как бесконечные формальные суммы:a = (a0 , a1 , . . .
, an , . . .) =∞Xai xi , ai ∈ K.i=0Операции на этих суммах определены по правилу: ∞∞∞PPPiiax+bx=(ai + bi ) xi ,iii=0i=0i=0µ¶∞∞∞PPPPai xi ·bi x i =as · bt xi .i=0i=0i=0s+t=i2. Группы, кольца, поля86Как видно из определения, формальные степенные ряды довольно простыв обращении. Используя известные тождества из математического анализа,можно получить ряд красивых формул для K [[x]]. Единственным условиемтакого переноса является конечность числа операций сложения и умноженияэлементов из K при вычислении коэффициентов рядов.22Примеры: e2x · e1+x = e(x+1) тогда и только тогда, когда!¢2¡ 2µ¶Ã222x+12x 2 · xx +11+++ ...1+++ ...
=1!2!1!2!(x + 1)2 (x + 1)4=1+++ ...;1!2!sin2 x + cos2 x = 1 тогда и только тогда, когд൶2 µ¶2x3 x5 x 7x2 x4x−+−+ ... + 1 −+− . . . = 1.3!5!7!2!4!§12.Гомоморфизмы и идеалы колец. Фактор-кольцо иосновная теорема о гомоморфизмах колец. Кольцовычетов ZnПусть hK; +, ·i , hK 0 ; ⊕, ¯i — кольца. Отображение ϕ : K → K 0 называетсягомоморфизмом, если оно сохраняет операции, т. е. для любых a, b ∈ K:ϕ (a + b) = ϕ (a) ⊕ ϕ (b) ,ϕ (a · b) = ϕ (a) ¯ ϕ (b) .Так как ϕ является гомоморфизмом групп hK; +i и hK 0 ; ⊕i, то, в силудоказанного в §7, имеем ϕ(0) = 00 (00 — ноль кольца K 0 ) и ϕ(na) = nϕ(a) длялюбых a ∈ K, n ∈ Z (в частности, ϕ(−a) = −ϕ(a)).Множество Ker ϕ = {x ∈ K : ϕ (x) = 00 } называется ядром гомоморфизмаϕ.
Подкольцо I кольца K называют идеалом, если ai ⊆ I, ia ⊆ I для любыхa ∈ K, i ∈ I (это обозначают также так: KI ⊆ I, IK ⊆ I). Идеал I кольцаK обозначают следующим образом: I E K.Лемма 1. Если ϕ : K → K 0 — гомоморфизм колец, то Ker ϕ E K, Imϕ— подкольцо K 0 .Доказательство. Обозначим Ker ϕ через I.
В силу леммы 1 §7, достаточнодоказать, что ab ∈ I, ba ∈ I для любых a ∈ K, b ∈ I и a0 · b0 ∈ Imϕ длялюбых a0 , b0 ∈ Imϕ.2. Группы, кольца, поля87Для любых a ∈ K, b ∈ I имеем ϕ (a · b) = ϕ (a) ¯ ϕ (b) = ϕ (a) ¯ 00 = 00 .Следовательно, a · b ∈ I и KI ⊆ I. Аналогично доказывается, что IK ⊆ I.Далее, для любых a0 , b0 ∈ Imϕ существуют a, b ∈ K такие, что a0 = ϕ (a) ,b0 = ϕ (b). Поэтому a0 ¯ b0 = ϕ (a) ¯ ϕ (b) = ϕ (a · b) ⇒ a0 ¯ b0 ∈ Imϕ.¤Определение фактор-кольца. Пусть I E K. Рассмотрим K/I — множествосмежных классов hK; +i по hI; +i и определим операции на K/I по правилу:(a + I) ⊕ (b + I) = (a + b) + I,(a + I) ¯ (b + I) = a · b + I.Будем для краткости записывать a + I = ā.
Итак, K/I = {ā : a ∈ K} соперациямиā ⊕ b̄ = a + b,ā ¯ b̄ = a · b.Докажем, что операции определены корректно. По лемме 1 §8, ā = b̄ ⇔ a−b ∈¯ тогдаI. Пусть ā = b̄, c̄ = d,a + c − b + d = a + c − b − d = a − b + c − d = a − b + c − d = 0̄ + 0̄ = 0̄,a · c−b · d = a · c − b · d = a · c − b · c + b · c − b · d = (a − b) · c+b · (c − d) = 0̄.Следовательно, a + c = b + d, и a · c = b · d.Лемма 2. hK/I; ⊕, ¯i — кольцо; если K ассоциативно, то K/Iассоциативно.Доказательство.
Проверим все аксиомы кольца. Во-первых, hK/I; ⊕i —группа по теореме 1 из §8.Далее, для любых ā, b̄, c̄ ∈ K/I имеем¡¢ā ¯ b̄ ⊕ c̄ = a · (b + c) = a · b + a · c = ā ¯ b̄ ⊕ ā ¯ c̄.¡¢Аналогично, b̄ ⊕ c̄ · ā = b̄ ¯ ā ⊕ c̄ ¯ ā.hK/I; ¯i — полугруппа, так как для любых ā, b̄, c̄ ¡∈ K/I¢ имеем¡ Наконец,¢¤ā ¯ b̄ ¯ c̄ = a · b ¯ c̄ = (a · b) · c = a · (b · c) = ā ¯ (b · c) = ā ¯ b̄ ¯ c̄ .Кольцо hK/I; ⊕, ¯i называется фактор-кольцом K по идеалу I.Пусть ϕ : K → K 0 . Тогда ϕ — изоморфизм, если ϕ — гомоморфизм иϕ — взаимно однозначное отображение.
Если ϕ — изоморфизм, то кольцаK и K 0 называют изоморфными и обозначают K ' K 0 . Отображение ϕ— эпиморфизм, если ϕ — гомоморфизм и Imϕ = K 0 . Отображение ϕ —мономорфизм, если ϕ — гомоморфизм и Ker ϕ = 0.2. Группы, кольца, поля88Теорема 1 (основная теорема о гомоморфизмах колец). Пусть ϕ : K →K — эпиморфизм, тогда Ker ϕ E K и K 0 ' K/Ker ϕ. Обратно, пустьI E K и π : K → K/I определено правилом π(a) = ā для a ∈ K. Тогда π —эпиморфизм и Ker π = I.Доказательство. Обозначим Ker ϕ = I.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
