1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 11
Текст из файла (страница 11)
A(i−1) B A(i+1) . . . A(n) =k=1∆i .¡¢τСледовательно, X = ∆∆1 , . . . , ∆∆n — решение системы.§33.¤Ранг матрицы как наибольший порядок ненулевыхминоров. Теорема об окаймляющем минореРангом матрицы по минорам назовем наибольший порядок ее ненулевыхминоров.Теорема 1.
Ранг матрицы равен ее рангу по минорам.Доказательство. Пусть rm — ранг по минорам матрицы A, r = r(A). Ясно,что rm ≤ r, так как строки, входящие в любой ненулевой минор, линейнонезависимы.Обратно, пусть строки Ai1 , . . . , Air линейно независимы. Рассмотримматрицу A0 , составленную из этих r строк, тогда r(A0 ) = r. Значит,существуют r линейно независимых столбцов в этой матрице: A0(j1 ) , .
. . , A0(jr ) .Матрица A00 , составленная из этих столбцов, принадлежит Mr (F ), столбцыее линейно независимы, поэтому |A00 | 6= 0. Но |A00 | — это минор r-гопорядка матрицы A, стоящий на пересечении строк Ai1 , . . . , Air и столбцовA(j1 ) , .
. . , A(jr ) . Значит, rm ≥ r.¤Теорема 2 (об окаймляющем миноре). Пусть все миноры порядка k + 1,содержащие данный ненулевой минор порядка k, равны нулю. Тогда r(A) =k.1. Векторные пространства. Матрицы и определители61Доказательство. Пусть данный минор расположен в строках Ai1 , . . . , Aikи столбцах A(j1 ) , .
. . , A(jk ) . Столбцы A(j1 ) , . . . , A(jk ) линейно независимы (т.к. линейно независимы “укороченные” столбцы). Пусть B — произвольныйстолбец матрицы A. Рассмотрим матрицу A0 со столбцами A(j1 ) , . . . , A(jk ) , B.Ее строки A0i1 , . . . , A0ik тоже линейно независимы. Предположим, что r(A0 ) =k + 1; тогда найдется строка A0ik+1 матрицы A0 , образующая вместе состроками A0i1 , .
. . , A0ik линейно независимую систему. Значит, определительматрицы порядка k + 1, составленной из этих строк, отличен от нуля. Ноэтот определитель является окаймляющим минором для исходного минора,поэтому обязан быть нулевым. Следовательно, r(A0 ) = k, и столбец Bлинейно выражается через столбцы A(j1 ) , . . . , A(jk ) . Значит, r(A) = k.¤§34.Задачи1. Найти сумму всех корней n-й степени из 1.2. Доказать, что любой элемент из C является корнем квадратного илилинейного уравнения с коэффициентами из R.3. Найти число всех упорядоченных троек (A, B, C) подмножеств¯ = {1, . . . , 10} таких, что A ∪ B ∪ C = 10¯ и A ∩ B ∩ C = ∅.множества 104.
Доказать, что для перемножения матриц 2 × 2 достаточно 7 умножений.(Для матриц n × n — это т.н. проблема Штрассена.)5. Пусть An ∈ M2n+1 (F ) — кососимметрическая матрица (An = −(An )τ ),у которой элементы первых n поддиагоналей равны 1, а элементыоставшихся поддиагоналей равны −1. Найти ранг An .6. Пусть A — квадратная матрица порядка n. Доказать, что если A2 = E,то сумма рангов матриц A + E и A − E равна n.7. Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств вRn на единицу больше размерности их пересечения, что сумма совпадаетс одним из них, а пересечение — с другим.8.
Обосновать следующий алгоритм построения базиса суммы ипересечения подпространств: Пусть V = Fn — пространство nстрок над полем F , L1 = ha1 , . . . , ak i, L2 = hb1 , . . . , bm i. Из строкa1 , . . . , ak , b1 , . . . , bm составляем матрицу A, а из строк a1 , . . . , ak , 0, . . . , 0составляем матрицу B. Расширенную матрицу (A|B) элементарными1.
Векторные пространства. Матрицы и определители62преобразованиями строк приводим к ступенчатому виду. Тогданенулевые строки в левой части расширенной матрицы дают базусуммы L1 + L2 , а ненулевые строки в правой части, стоящие напротивнулевых строк из левой части, дают базу L1 ∩ L2 .9. Проверить, что поле вещественных чисел R является векторнымпространством над√ √ рациональных чисел Q. Доказать, что√ полемквадратные корни 2, 3, 5, .
. . из простых чисел линейно независимынад Q.√√10. Проверить, что поле Q( 2) = {a + b 2|a, b ∈ Q} является векторнымпространством над полем рациональных чисел Q. Найти его базис иразмерность.11. Найти максимальное значение определителя третьего порядка, укоторого два элемента равны 4, а остальные 1 или −1.12. Найти сумму всех определителей порядка n, в каждом из которых вкаждой строке и в каждом столбце один элемент равен 1, а остальныенулю. Сколько всего таких определителей?13.
Пусть A1 , . . . , An+1 — матрицы размера n×n. Доказать, что найдутся n+1 чисел x1 , . . . , xn+1 , не равные нулю одновременно, такие, что матрицаx1 A1 + . . . + xn+1 An+1 вырождена.14. Какую наибольшую размерность может иметь подпространстволинейного пространства матриц n-го порядка, целиком состоящее извырожденных матриц.15. Пусть x1 , . . .
, xn — ненулевые векторы векторного пространства V , A —линейное преобразование в V такое, что Ax1 = x1 , Axk = xk + xk−1 , k =2, . . . , n. Доказать, что x1 , . . . , xn линейно независимы.16. Элементарными преобразованиями строк назовем следующие:умножение строки на ненулевое число; перестановку строк; прибавлениек одной строке другой. Обосновать следующий алгоритм нахожденияобратной матрицы к матрице A ∈ Mn (F ): Расширенную матрицу(A|E) элементарными преобразованиями строк приводим к виду (E|B),где E — единичная матрица. Тогда A−1 = B.17.
Пусть |AB| 6= 0. Доказать, что если E + AB обратима, то E + BAобратима. Можно ли утверждать то же самое, если |AB| = 0?Глава 2Группы, кольца, поляВ этой главе мы познакомимся с такими основными алгебраическимисистемами как группы, кольца и поля, и докажем первые важные теоремыоб этих системах.§1.Алгебраическая операция. Алгебраическая система,подсистема, изоморфизмПусть X — некоторое множество, X n — n-ая декартова степень X.Отображение f : X n → X называется n-арной (n-местной) операцией наX, т.
е. f — n-арная операция, если для любых x1 , . . . , xn ∈ X однозначноопределен элемент f (x1 , . . . , xn ) ∈ X. Пусть на X определены операцииfi , i ∈ I, имеющие арности ni , i ∈ I. Обозначим через Ω = {fi , i ∈ I}множество заданных на X операций. Система A = {X; Ω} называетсяалгебраической системой типа hni , i ∈ Ii, где X — основное множествосистемы, Ω = {fi , i ∈ I} — операции на X.Примеры.
1) hQ; +, ·i — система типа h2, 2i.2) hZ; +, ·, Н.О.Д (a, b, c) ; a, b, c ∈ Zi — система типа h2, 2, 3i.Подмножество B алгебраической системы A = {X; fi , i ∈ I} типа hni , i ∈Ii называется алгебраической подсистемой системы A, если fi (b1 , . . . , bni ) ∈B для любого i ∈ I и для всех bj ∈ B, j = 1, .
. . , ni .Алгебраические системы A = {X; fi , i ∈ I} типа hni , i ∈ Ii и B ={Y ; gi , i ∈ I} такого же типа hni , i ∈ Ii называются изоморфными, еслисуществует такое взаимно однозначное соответствие φ : X 7→ Y , чтодля любого i ∈ I и любых x1 , . . . , xni ∈ X справедливо равенствоφ(fi (x1 , . . .
, xni )) = gi (φ(x1 ), . . . , φ(xni )).632. Группы, кольца, поля64Алгебраическая система hG; ∗i типа h2i называется группой есливыполнены следующие аксиомы:(G1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) для любых a, b, c ∈ G;(G2) существует e ∈ G такой, что a ∗ e = e ∗ a = a для всех a ∈ G;(G3) для любого a ∈ G существует b ∈ G такой, что a ∗ b = b ∗ a = e.Если при этом также выполняется следующая аксиома:(G4) a ∗ b = b ∗ a для всех a, b ∈ G,то группа называется абелевой.§2.Определение и примеры полугрупп. Теорема обобобщенной ассоциативностиПусть X — некоторое множество и f — бинарная операция на X.
Напомним,что операция f называется ассоциативной, если f (f (x, y), z) = f (x, f (y, z))для любых x, y, z ∈ X.Аддитивная запись: (x + y) + z = x + (y + z).Мультипликативная запись: (x · y) · z = x · (y · z).Алгебраическая система hX, f i в этом случае называется ассоциативнойпо f .Бинарная операция называется коммутативной, если f (x, y) = f (y, x)для любых x, y ∈ X (x + y = y + x либо x · y = y · x, в зависимости от формызаписи операции).
Система hX, f i в этом случае называется коммутативной(или абелевой) по f .Элемент e ∈ X (0 ∈ X) называется единичным (нулевым) относительнооперации ∗ (соответственно +), если e ∗ x = x ∗ e = x (0 + x = x + 0 = x)для любого x ∈ X. Нетрудно доказать, что единичный элемент единственен:если e1 — другая единица, то e = e ∗ e1 = e1 . Далее бинарные операции будемзаписывать, не дублируя форму записи.Примеры:• hZ; −i не абелева, не ассоциативная система, так как 2 − 3 6= 3 − 2,(1 − 1) − 1 6= 1 − (1 − 1).• hMn (F ); +i — ассоциативно-коммутативная система;• hMn (F ); ·i — ассоциативная, но не коммутативная система:µ¶ µ¶ µ¶ µ¶0 00 10 10 0·6=·.1 00 00 01 0Пусть G — некоторое множество, ∗ — бинарная операция на G.Система hG; ∗i называется группоидом.
Ассоциативный группоид называется2. Группы, кольца, поля65полугруппой, т. е. hG, ∗i — полугруппа, если (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) для любыхa, b, c ∈ G. Полугруппа с единицей называется моноидом, т. е. hG; ·i — моноид,если (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) для любых a, b, c ∈ G и существует e ∈ G такой,что a ∗ e = e ∗ a = a для любого a ∈ G.Моноид, состоящий только из обратимых элементов, является группой.Если a∗b = b∗a = e, то элемент b называется обратным к a и обозначаетсяa−1 (в аддитивной записи: −a).
Ясно, что (a−1 )−1 = a. Нетрудно заметить,что обратный элемент определяется однозначно:½a∗b=b∗a=e⇒ b = e ∗ b = (b0 ∗ a) ∗ b = b0 ∗ (a ∗ b) = b0 ∗ e = b0 .00a∗b =b ∗a=eПримеры:• hZ, +i — абелева группа.• Пусть M (X) — множество всех отображений из X в X, ◦ — суперпозицияотображений. В силу доказанного в §17, hM (X); ◦i — моноид.• Пусть S(X) — множество всех биективных отображений X на X.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
