1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Аналогично, a1 , . . . , am , c1 , . . . , c` — базис U2 , где m+` =n2 . Докажем, что a1 , . . . , am , b1 , . . . , bk , c1 , . . . , c` — базис U1 + U2 .1. Векторные пространства. Матрицы и определители321) Пусть u ∈ U1 + U2 , u = u1 + u2 , где u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 . Тогдаu1 =mXαi ai +βi bi , αi , βi ∈ F, u2 =i=1i=1ukX=u1+mXγi ai +i=1u2mP=i=1(αi + γi ) ai +X̀δi ci , γi , δi ∈ F,i=1kPi=1β i bi +P̀i=1δi ci∈=L(a1 , .
. . , am , b1 , . . . , bk , c1 , . . . , c` ). Таким образом, U1 + U2L (a1 , . . . , am , b1 , . . . , bk , c1 , . . . , c` ) .mmkPPPP̀2) Пустьαi aiαi ai +βi bi + γi ci = 0, где αi , βi , γi ∈ F. Тогда+i=1kPi=1β i bi = −и c = −0=mPi=1P̀i=1P̀i=1i=1γi ci = c. Следовательно, c ∈ U2 , c ∈ U1 , т. е. c ∈ U1γi ci =αi ai +kPi=1i=1i=1mPi=1δi ai . ТогдаmPi=1δi a i +P̀i=1TU2γi ci = 0 и δi , γi = 0 ⇒ c =βi bi = 0, откуда αi , βi = 0 и dim (U1 + U2 ) = m + k + ` =(m + k) + (m + `) − m = dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩ U2 ).¤Пусть U1 , U2 — подпространства в V . Сумма U1 + U2 называется прямой иобозначается U1 ⊕ U2 , если U1 ∩ U2 = 0.Лемма 2.
Пусть U1 , U2 — подпространства в V и U = U1 + U2 . ТогдаU = U1 ⊕ U2 ⇐⇒ для любого u ∈ U существуют единственные u1 ∈U1 , u2 ∈ U2 такие, что u = u1 + u2 .Доказательство. Если U = U1 ⊕ U2 и u ∈ U , то u = u1 + u2 для некоторыхu1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 . Если при этом u = v1 + v2 для некоторых v1 ∈ U1 , v2 ∈ U2 ,то u1 − v1 = v2 − u2 ∈ U2 ∩ U1 , т. е. u1 = v1 , u2 = v2 .Обратно, если U1 ∩ U2 6= 0, то существует ненулевой u ∈ U1 ∩ U2 , но тогдаu = u + 0 и u = 0 + u — два различных разложения элемента u.¤§15.Пространство линейных отображений L(U, V ) ипространство матриц Mm,n(F )Пусть U и V — векторные пространства над F . Отображение ϕ : U →V называется линейным, если ϕ (x + y) = ϕ (x) + ϕ (y), ϕ (αx) = αϕ (x)для любых x, y ∈ U, α ∈ F . Данное эквивалентно тому, что ϕ (αx + βy) =αϕ (x) + βϕ (y) для любых α, β ∈ F, x, y ∈ U .1.
Векторные пространства. Матрицы и определители33Примеры. 1) Нулевое: ϕ : Fn → Fm , для любого x ∈ Fn полагаем ϕ (x) =0 ∈ Fm . Обозначим это отображение через 0, ϕ := 0.2) Единичное: ϕ : Fn → Fn , для любого x ∈ Fn полагаем ϕ (x) = x ∈ Fn .Обозначаем ϕ := id.3) Проекция на i-ю координату: ϕ : Fn → F1 , для любого x =(x1 , . . .
, xn ) ∈ Fn полагаем ϕ (x) = xi . Обозначаем ϕ := P ri .Обозначим через L(U, V ) множество всех линейных отображений из U вV . Определим операции на L(U, V ):1) (ϕ + ψ) (x) = ϕ (x) + ψ (x) для любых ϕ, ψ ∈ L (U, V ) ;2) (αϕ) (x) = αϕ (x) для любых α ∈ F, ϕ ∈ L (U, V ) .Лемма 1. L(U, V ) с заданными операциями — это векторноепространство над F .Доказательство.
L (U, V ) 6= ∅, так как 0 ∈ L (U, V ). Проверим, чтоL (U, V ) замкнуто относительно операций: для любых ϕ, ψ ∈ L (U, V ),α, β, γ ∈ F, x, y ∈ U имеем(ϕ + ψ) (αx + βy) = ϕ (αx + βy) + ψ (αx + βy) = αϕ (x) + βϕ (y)+αψ (x) + βψ (y) = α (ϕ (x) + ψ (x)) + β (ϕ (y) + ψ (y)) == α (ϕ + ψ) (x) + β (ϕ + ψ) (y) ,(γϕ) (αx + βy) = γ (ϕ (αx + βy)) = γ (αϕ (x) + βϕ (y)) == αγϕ (x) + βγϕ (y) = α (γϕ) (x) + β (γϕ) (y) .0 ∈ L (U, V ) ; −ϕ := (−1) ϕ ⇒ ϕ + (−ϕ) = 0.Остальные аксиомы проверяются аналогично.Рассмотрим множество Mn,m (F ) всех матриц над Fоперации: a11 · · · a1mb11 · · · b1ma11 + b11...... .... + .... = .an1 · · · anmbn1 · · · bnman1 + bn1 a11 · · · a1mαa11 · · · αa1m..
= .... ,α ......an1 · · · anmαan1 · · · αanm¤и определим на нем· · · a1m + b1m..,.· · · anm + bnmгде α ∈ F.Матричной единицей Eij в Mn,m (F ) называется матрица, у которой напересечении i-строки и j-столбца стоит 1, а остальные элементы нулевые.1. Векторные пространства. Матрицы и определители34Лемма 2. 1) Mn,m (F ) — векторное пространство над F . 2) Для 1 ≤i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, матричные единицы Eij образуют базис Mn,m (F ) иdimF Mn,m (F ) = n · m.Доказательство.
1) Прямая проверка аксиомPвекторного пространства.2) Пусть A = (αij ) ∈ Mn,m (F ). Тогда A =αij Eij , т. е. Mn,m (F ) =1≤i≤n1≤j≤mα11 · · · α1mP.. .L (Eij : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m). Пустьαij Eij = 0 = ....1≤i≤nαn1 · · · αnm1≤j≤mТогда αij = 0 для любых i, j.¤§16.Изоморфизм пространств L(U, V ) и Mm,n(F )Умножение строки на матрицу: Пусть X ∈ Fm , A ∈ Mm,n (F ).
Определимà m!a11 · · · a1nmXX.. :=ak1 xk , . . . ,akn xk .XA = (x1 , . . . , xm ) ... · · ·.k=1k=1am1 · · · amnИмеем XA = ((a11 x1 + . . . + am1 xm ), . . . , (a1n x1 + . . . + amn xm )) == (a11 x1 , . . . , a1n x1 ) + . . . + (am1 xm , . . . , amn xm ) == x1 (a11 , . . . , a1n ) + . . . + xm (am1 , . . . , amn ) = x1 A1 + . . . + xm Am ,где Ai = (ai1 , . . .
, ain ) — i-строка матрицы A, i = 1, . . . , m.Заметим, что для любых X ∈ Fm , A ∈ Mm,n (F ) имеем XA ∈ Fn .Для любой A ∈ Mm,n (F ) определим отображение ϕA : Fm → Fn поправилу: ϕA (X) = XA для любого X ∈ Fm .Лемма 1. ϕA ∈ L (Fm , Fn ) для любой A ∈ Mm,n (F ).Доказательство. Для любых α, β ∈ F , X, Y ∈ Fm , A ∈ Mm,n (F ) имеемϕA (αX + βY ) = (αX + βY ) A = (αx1 + βy1 ) A1 + . . .
+ (αxm + βym ) Am =mmmmPPPP=αxi Ai + βyi Ai = α xi Ai + βyi Ai = α (XA) + β (Y A) = αϕA (x) +i=1i=1i=1i=1βϕA (y) . Следовательно, ϕA ∈ L(Fm , Fn ).¤Определим отображение L : Mm,n (F ) → L (Fm , Fn ) по правилу: для A ∈Mm,n (F ) положим L (A) = ϕA .Теорема 1. L : Mm,n (F ) → L (Fm , Fn ) — изоморфизм пространствMm,n (F ) и L (Fm , Fn ).1. Векторные пространства. Матрицы и определители35Доказательство.
Докажем, что L — это взаимно однозначноеотображение.Сюръективность. Для любых ϕ ∈ L (Fm , Fn ) , X = (x1 , . . . , xm ) ∈ FmимеемX = (x1 , . . . , xm ) = (x1 , 0, . . . , 0) + . . . + (0, . . . , 0, xm ) =mX= x1 · (1, 0, . . . , 0) + x2 · (0, 1, . . . , 0) + . . . + xm · (0, 0, . . . , 1) =xi `i ,где `i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Поэтому, ϕ (X) = ϕϕ (`i ) ∈ Fn .µmPi=1i=1¶xi `imP=i=1xi ϕ (`i ), гдеA1Обозначим ϕ (`i ) = Ai , i = 1, .
. . , m, и A = ... . ТогдаAmϕ (X) =mXxi ϕ (`i ) =i=1mXxi Ai = XA.i=1Следовательно, по определению, ϕ (X) = ϕA (X). Тогда L (A) = ϕA = ϕ.Инъективность. Пусть A, B ∈ Mm,n (F ) и A 6= B. Тогда существуют i, jтакие, что αij 6= βij . ПоэтомуϕA (`i ) = 0 · A1 + . . . + 1 · Ai + . . . + 0 · Am = Ai ,ϕB (`i ) = 0 · B1 + . . . + 1 · Bi + . . . + 0 · Bm = Bi .Но Ai 6= Bi , так как αij 6= βij . Поэтому ϕA (`i ) 6= ϕB (`i ) и ϕA 6= ϕB , откудаследует L(A) = ϕA 6= L(B) = ϕB .Сохранение операций. Для любых α, β ∈ F , A, B ∈ Mm,n (F ), X ∈ Fmимеем:L (αA + βB) = ϕ(αA+βB) , αL (A) = αϕA , βL (B) = βϕB .Далее, ϕ(αA+βB) (X)mPi=1xi (αAi + βBi ) =mPi=1=X · (αA + βB)αxi Ai +mPi=1βxi Bi = αmPi=1=mPxi (αA + βB)ii=1mPxi A i + βi=1=xi Bi = α (X · A) +β (X · B) = αϕA (X) + βϕB (X) = (αϕA + βϕB ) (X) . Следовательно,ϕ(αA+βB) = αϕA +βϕB и L(αA+βB) = αL(A)+βL(B), т. е.
L — изоморфизм.¤1. Векторные пространства. Матрицы и определители36ϕ (`1 ).. , где `1 , . . . , `m —Пусть ϕ ∈ L (Fm , Fn ), матрица A = .ϕ (`m )стандартный базис Fm , называется матрицей преобразования ϕ в базисе`1 , . . . , `m и обозначается через [ϕ].Определим отображение [ ] : L(Fm , Fn ) → Mm,n (F ) правилом: [ ](ϕ) = [ϕ].Лемма 2. Отображение [ ] является биективным.Доказательство. Заметим, что для любой A ∈ Mm,n (F ) справедливо ϕA (`1 )`1 AA1.. = ...
= ... = A,(1)[ϕA ] = .ϕA (`m )`m AAmт. е. [ ] сюръективно. Далее, если ϕ, ψ ∈ L (Fm , Fn ) и ϕ 6= ψ, то по теореме1 ϕ = ϕA , ψ = ϕB , для некоторых различных A, B ∈ Mm,n (F ), и ϕA 6= ϕB .Тогда [ϕ] = [ϕA ] = A 6= B = [ϕB ] = [ψ]. Таким образом, отображение [ ]является инъективным.¤§17.Суперпозициялинейныхпроизведение матрицотображенийиСуперпозиция двух отображений ψ : U → V и ϕ : V → W есть отображениеψ ◦ ϕ : U → W , определенное по правилу: (ψ ◦ ϕ) (x) = ϕ (ψ (x)) для любогоx ∈ U , т. е.ψϕx → ψ (x) → ϕ (ψ (x)) .&______%(ψ◦ϕ)Лемма 1. a) Для любых ϕ1 : V1 → V2 , ϕ2 : V2 → V3 , ϕ3 : V3 → V4 имеемϕ1 ◦ (ϕ2 ◦ ϕ3 ) = (ϕ1 ◦ ϕ2 ) ◦ ϕ3 — суперпозиция отображений ассоциативна.b) Если ψ ∈ L (U, V ) , ϕ ∈ L (V, W ), то ψ ◦ ϕ ∈ L (U, W ) — суперпозициялинейных отображений является линейным отображением.c) Для любых линейных отображений ψ ∈ L (U, V ) , φ ∈ L (V, W ) , θ ∈L (V, W ) , κ ∈ L (W, U ) верно ψ ◦ (φ + θ) = ψ ◦ φ + ψ ◦ θ, (φ + θ) ◦ κ = φ ◦ κ + θ ◦ κ— суперпозиция отображений дистрибутивна.Доказательство.
a) Для любого v ∈ V1 имеем (ϕ1 ◦ (ϕ2 ◦ ϕ3 )) (v) =(ϕ2 ◦ ϕ3 ) (ϕ1 (v))=ϕ3 (ϕ2 (ϕ1 (v)))=ϕ3 ((ϕ1 ◦ ϕ2 ) (v))=((ϕ1 ◦ ϕ2 ) ◦ ϕ3 ) (v) ⇒ ϕ1 ◦ (ϕ2 ◦ ϕ3 ) = (ϕ1 ◦ ϕ2 ) ◦ ϕ3 .1. Векторные пространства. Матрицы и определители37b) Для любых α, β ∈ F, x, y ∈ U имеем: (ψ ◦ ϕ) (αx + βy) =ϕ (ψ (αx + βy)) = ϕ (αψ (x) + βψ (y)) = αϕ (ψ (x)) + βϕ (ψ (y)) =α (ψ ◦ ϕ) (x) + β (ψ ◦ ϕ) (y) .c) Для любого u ∈ U имеем (ψ ◦ (φ + θ))(u) = (φ + θ)(ψ(u)) = φ(ψ(u)) +θ(ψ(u)) = (ψ ◦ φ)(u) + (ψ ◦ θ)(u) = (ψ ◦ φ + ψ ◦ θ)(u). Для любого w ∈ W имеем((φ+ θ)◦κ)(w) = κ((φ+ θ)(w)) = κ(φ(w))+κ(θ(w)) = (φ◦κ)(w)+(θ ◦ κ)(w) =(φ ◦ κ + θ ◦ κ)(w).¤Примеры. 1) Рассмотрим суперпозицию отображений L и [ ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
