1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Здесь вновь ситуация такая же, как и у математики вцелом.Линейная алгебра. Основное внимание в данном курсе уделяетсялинейной алгебре. С широкой точки зрения, содержание линейной алгебрысостоит в разработке математического языка для выражения одной изсамых общих естественно-научных идей — идеи линейности. Возможно,ее важнейшим частным случаем является принцип линейности малыхприращений: почти всякий естественный процесс почти всюду в маломлинеен (отметим, что “почти” здесь стоит по сути — сейчас и фракталырассматриваются как естественные объекты, и квантовые вычисления,которые нелинейны при любом “увеличении”). Этот принцип лежит воснове всего математического анализа и его приложений.

Основныеметоды и понятия линейной алгебры являются на самом деле общимидля многих разделов математики и ее приложений: математического ифункционального анализа, линейных неравенств математической экономики,теории кодирования (над конечными полями), вычислительных методовлинейной алгебры, полилинейной и общей алгебры.

Краеугольным камнем вздании линейной алгебры лежит знакомая всем со школы векторная алгебратрехмерного пространства, и на первых порах можно применять ко всемновым понятиям 3-мерную геометрическую интуицию.Основной модельной задачей линейной алгебры является решение системлинейных уравнений. С изучения линейных уравнений мы и начинаем,однако предварительно вводим понятие поля и, в частности, строим полекомплексных чисел, чтобы в дальнейшем рассматривать системы линейныхуравнений в более общей ситуации (однако для простоты читатель всегдаможет понимать под полем действительные числа). Далее у нас естественновозникают матрицы, векторные пространства и линейные преобразования,затем вводится понятие определителя матрицы, даются его основныесвойства и приложения к решению систем линейных уравнений. Все этослужит содержанием первой главы.

Во второй главе мы рассматриваемосновные алгебраические системы: группы, кольца и поля. В третьейглаве изучаются многочлены. Четвертая глава дает более глубокийанализ линейных преобразований над алгебраически замкнутым полем, апятая — над полями R и C. Шестая глава посвящена основам теорииквадратичных форм, а заключительная, седьмая глава посвящена основамтеории базисов Грёбнера-Ширшова, которые случае коммутативных алгебрназываются базисами Грёбнера. В конце каждой главы приведены задачи длясамостоятельной работы. Уровень сложности задач довольно разнообразный:есть как и задачи для закрепления материала, так и задачи, требующиетворческого подхода.Авторы благодарны В. Н.

Желябину и В. А. Чуркину за некоторыелюбезно предоставленные интересные задачи, включенные в настоящееиздание.Обозначения: A ⇒ B означает, что из утверждения A следуетутверждение B; A ⇔ B — эквивалентность утверждений A иB; квантор всеобщности ∀ служит заменой выражения “для всех”; ∃— квантор существования; ∃! — существует единственный; символ ²заменяет выражение “выполняется”; N обозначает натуральные числа, N0— натуральные числа с нулем, Z — целые числа, Q — рациональные, R— действительные, C — комплексные числа; i — мнимая единица в C,символ := означает равенство по определению, ♦ порой обозначает началодоказательства, а конец доказательства обозначается символом ¤.Нумерация: нумерация параграфов в каждой части сквозная.

Ссылка,например, на утверждение 1 означает утверждение 1 данного параграфа,ссылка же, например, на утверждение 1 §2.4 означает утверждение 1четвертого параграфа второй части.Литература:Э. Б. Винберг, Курс алгебры, М.: Факториал, 1999;А. И.

Кострикин, Введение в алгебру, Части I-III, М.: Физ.-Мат.Литература, 2000;А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, СПб., 2003;А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, М.: Наука, 2005;Б. Л. ван дер Варден, Алгебра, М.: Наука, 1976.Глава 1Векторные пространства. Матрицы иопределителиЭта глава начинается с изучения линейных уравнений, однакопредварительно вводится понятие поля и, в частности, строится полекомплексных чисел, чтобы в дальнейшем рассматривать системы линейныхуравнений в более общей ситуации (однако для простоты читатель всегдаможет понимать под полем действительные числа).

Далее естественновозникают матрицы, векторные пространства и линейные преобразования,затем вводится понятие определителя матрицы, даются его основныесвойства и приложения к решению систем линейных уравнений.§1.Определение и примеры полейДекартово произведение A × B множеств A и B есть множество всехупорядоченных пар (a, b), где a ∈ A, b ∈ B. Таким образом, A ×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. Декартова n-ая степень множества A естьмножество An = {(a1 , . . . , an ) : ai ∈ A}.Пример.

Пусть A = {1, 2} , B = {3, 7, 8}. ТогдаA × A = {(1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2)} ;A × B = {(1, 3) , (1, 7) , (1, 8) , (2, 3) , (2, 7) , (2, 8)} .Пусть X — некоторое множество. Отображение f : X ×X → X называетсябинарной операцией на X, т. е. f — бинарная операция, если для любыхx1 , x2 ∈ X однозначно определен элемент f (x1 , x2 ) ∈ X. Запишем x∗y вместоf (x, y). Бинарная операция называется ассоциативной, если (a ∗ b) ∗ c =a ∗ (b ∗ c) для любых a, b, c ∈ X и коммутативной, если a ∗ b = b ∗ a длялюбых a, b ∈ X.111. Векторные пространства. Матрицы и определители12Множество F называется полем, если в нем определены две ассоциативныеи коммутативные бинарные операции + (сложение) и · (умножение) такие,что1) (∃ 0 ∈ F : ∀ a ∈ F ) a + 0 = 0 + a = a;2) (∀ a ∈ F ∃ b ∈ F ) a + b = b + a = 0, (b обозначается как −a);3) (∃1 ∈ F (1 6= 0) : ∀ a ∈ F ) a · 1 = 1 · a = a;4) (∀ a ∈ F (a 6= 0) ∃ b ∈ F ) a·b = b·a = 1 (элемент b называется обратнымк a и обозначается a−1 );5) (∀ a, b, c ∈ F ) (a + b)c = ac + bc.Примеры полей.• hQ; +, ·i.• hR; +i.• h{0, 1}; +, ·i, где операции стандартны, кроме 1 + 1 = 0.√√• Q( 2) = {a + b 2 : a, b ∈ Q}.Заметим, что N и Z полями не являются.

Всюду далее символом Fмы будем обозначать некоторое поле, элементы поля часто называютсяскалярами.§2.Поле комплексных чисел: конструкция в виде пардействительных чиселПусть C = {(a, b) : a, b ∈ R}. Определим на C операции:(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).Теорема 1. hC; +, ·i является полем.Доказательство. Заметим, что 0 = (0, 0) и 1 = (1, 0) являются,a−bсоответственно, нулём и единицей в C.

Элемент ( a2 +b2 , a2 +b2 ) являетсяобратным к (a, b). Далее доказательство состоит в очевидной проверке аксиомполя.¤Запишем (a, b) = a · (1, 0) + b · (0,© 1) := a · 1 + b · i := a +2 bi, гдеª1 — единица22C, i = (−i) = −1. Тогда C = a · 1 + b · i : a, b ∈ R, i = −1 называетсяполем комплексных чисел. Отождествляя элементы (a, 0) с элементами a изR, получаем R ⊆ C. Иногда будем также использовать запись (a, b) := a + ib.1.

Векторные пространства. Матрицы и определители§3.13Модуль и аргумент комплексного числаЛюбому элементу z = a + bi ∈ C можно поставить в соответствие векторкоординатной плоскости, у которого проекция на ось x равна a, на ось yравна b и ϕ — угол наклона с осью x.√Действительное число |z| = a2 + b2 называется модулем комплексногочисла z; угол ϕ := arg z называется аргументом числа z (определёнс точностью до 2πn), arg 0 не определен.

Число a := Re z называютдействительной, а b := Im z — мнимой частью z. Таким образом, z =Re z + iIm z. Очевидно, что Re (z1 + z2 ) = Re (z1 ) + Re (z2 ) , Im (z1 + z2 ) =Im (z1 ) + Im (z2 ).Можно также использовать тригонометрическую запись комплексногочисла z:z = |z| · (cos ϕ + i sin ϕ).Заметим, что z1 = z2 ⇔ |z1 | = |z2 | , arg z1 = arg z2 + 2πk, k ∈ Z.Лемма 1. Для любых z1 , z2 ∈ C справедливо1) arg z1 · z2 = arg z¯1 +¯ arg z2 + 2πk, k ∈ Z; |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | ;¯ ¯z11|2) если z2 6= 0, то ¯ zz12 ¯ = |z|z2 | ; arg z2 = arg z1 − arg z2 + 2πk, k ∈ Z.Доказательство. Имеем z1 · z2 = |z1 | · |z2 | · (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ·(cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) = |z1 | · |z2 | · (cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )) .

Следовательно,|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | и arg z1 · z2 = arg z1 + arg z2 + 2πk. Далее,z1|z1 | (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) |z1 |==(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) (cos ϕ2 − i sin ϕ2 ) =z2|z2 | (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) |z2 |=§4.|z1 |(cos (ϕ1 − ϕ2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ2 )) . ¤|z2 |ФормулаМуавра.комплексного числаИзвлечениекорняизФормула Муавра: для любого n ∈ N справедливо равенство(r (cos ϕ + i sin ϕ))n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) .Следствие. Для любого n ∈ N справедливо равенство¡¢ ¡¢(cos ϕ + i sin ϕ)n = cosn ϕ − Cn2 cosn−2 ϕ sin2 ϕ + . .

. + Cn1 cosn−1 ϕ sin ϕ + . . . i.1. Векторные пространства. Матрицы и определители14Извлечение корня из комплексного числа.Рассмотрим решения уравнения xn = z, где z = r (cos ϕ + i sin ϕ) .Пусть x = ρ (cos ψ + i sin ψ) — решение, тогда xn = ρn (cos nψ + i sin nψ) .Следовательно, n½√ρ =rρ= nrcos nψ = cos ϕ ⇔nψ = ϕ + 2πk, k ∈ Z,sin nψ = sin ϕϕ + 2πkϕ + 2πt=+ 2πs, где k = ns + t, 0 ≤ t ≤ n − 1,nnϕ + 2πϕ + 2π (n − 1)ϕ, .

. . , ψn =.ψ1 = , ψ 2 =nnn√Поэтому получаем n корней: xi = n r (cos ψi + i sin ψi ) , i = 1, . . . , n.ψ=Теорема 1. Уравнение xn = z имеет n решений — pэто вершиныnправильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса |z| с центомв нуле, при этом (1, 0) является вершиной.¤2πknЧисла εk = cos 2πkn +i sin n , k = 0, 1, .

. . , n−1, решения уравнения x = 1,называют корнями из единицы степени n.§5.Отношение эквивалентности и разбиение множествана классыЛюбое подмножество R ⊆ A × B называется отношением, определеннымна паре множеств A, B. Если (a, b) ∈ R, то пишут a ∼ b и говорят, что aRнаходится в отношении R к элементу b. Отношение R на паре A, A называетсябинарным отношением .Пример. Равенство элементов в множестве A = {1, 2} можно пониматькак бинарное отношение R = {(1, 1) , (2, 2)} ⊆ A × A.Бинарное отношение R на A называется отношением эквивалентности,или просто эквивалентностью на A, если для любых x, y, z ∈ A справедливо1) x ∼ x — рефлексивность;R2) x ∼ y ⇒ y ∼ x — симметричность;RR3) x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z — транзитивность.RRRПример. Пусть Z — множество целых чисел.

Характеристики

Список файлов лекций