1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Так как в каждом столбце матрицы A0 последние m−r координатнулевые, то без ограничения общности можно считать, что VB (A0 ) ⊆ F r ,откуда rB (A0 ) = dim VB (A0 ) ≤ dim F r = r.¤Число r (A) = rΓ (A) = rB (A) называется рангом матрицы A.Следствие. Пусть A ∈ Mm,n (F ). Тогда r (A) = r (Aτ ).§21.Рангматрицыкакразмерностьобразасоответствующеголинейногопреобразования.Ранг произведения матрицВ §16 мы определили умножение строки на матрицу и в теореме 1 §16 былодоказано, что отображение L является изоморфизмом линейных пространствMm,n (F ) и L (Fm , Fn ) . Аналогично, можно рассмотреть умножение столбцана матрицу. Для любых X ∈ F n и A ∈ Mm,n (F ) положимA1 XA · X = ...
.Am X1. Векторные пространства. Матрицы и определители43В точности повторяя рассуждения §16, мы получим, что отображениеLτ : A → ψA , где ψA (X) = A · X,является изоморфизмом линейных пространств Mm,n (F ) и L (F n , F m ) .Причем, если [ϕ]τ = (ϕ (e1 ) , . . . , ϕ (en )) — матрица ϕ в стандартномбазисе e1 , . . . , en пространства F n , то повторяя некоторые рассужденияпредыдущих параграфов (меняя вектор-строки на вектор-столбцы), получим,что отображение[ ]τ : L (F n , F m ) → Mm,n (F ) ,действующее по правилу [ ]τ (φ) = [φ]τ , является изоморфизмом линейныхпространств.Теорема 1.
Пусть ϕ ∈ L (Fm , Fn ). Тогда r ([ϕ]) = dim (Im ϕ).Доказательство. Заметим, что Im ϕ порождается векторамиϕ (e1 ) , . . . , ϕ (em ). Тогда, по определению,ϕ(e1 )[ϕ] = . . . .ϕ(em )По определению, r ([ϕ]) совпадает с максимальным числом линейнонезависимых векторов среди ϕ (e1 ) , . . . , ϕ (em ), т. е. совпадает с размерностью¤пространства Im ϕ.Следствие 1. Матрица A ∈ Mn (F ) обратима ⇔ r (A) = n.Доказательство. Рассмотрим ϕA ∈ L (Fn , Fn ), где ϕA (X) = X · A дляX ∈ Fn . По теореме 1 §18 ϕA обратимо ⇔ [ϕA ] = A — обратимая матрица.По теореме 2 §19 ϕA обратимо ⇔ Im ϕA = Fn , т. е.
dim Im ϕA = dim Fn =n. По теореме 1 имеем r (A) = dim (Im ϕA ) = n.¤Пусть V, W — векторные пространства, U — подпространство в V иφ ∈ L(V, W ). Обозначим через φ|U отображение из U в W , действующеепо правилу φ|U (u) = φ(u). Отображение φ|U называется ограничениемотображения φ на подпространство U .Теорема 2. Пусть A ∈ Mm,n (F ) , B ∈ Mn,k (F ). Тогдаr (AB) ≤ min {r (A) , r (B)} .Доказательство. Приведем два доказательства: первое — на языкелинейных отображений, второе — на языке матриц.1.
Векторные пространства. Матрицы и определители441) Пусть ϕ : Fm → Fn , ψ : Fn → Fk — такие линейные отображения,что в стандартных базисах [ϕ] = A, [ψ] = B. Тогда по теореме 1 §17AB = [ϕ ◦ ψ] = [ϕ] · [ψ]. В частности, r (A) = dim Im ϕ, r (B) = dim Im (ψ),r (AB) = dim Im (ϕ ◦ ψ). Ясно, что Im (ϕ ◦ ψ) ⊆ Im ψ, поэтому r (AB) ≤r (B).Для доказательства второго неравенства рассмотрим отображение ψ̄ =ψ|Im ϕ — ограничение отображения ψ на подпространстве Im ϕ. Тогда Im ψ̄ =Im (ϕ ◦ ψ) , Ker ψ̄ = Ker ψ ∩ Im ϕ. По теореме 1 §19, dim Im ϕ = dim Im ψ̄ +dim Ker ψ̄ ≥ dim Im ψ̄ = dim Im (ϕ ◦ ψ) и r (A) ≥ r (AB) .Заметим, что второе неравенство может быть выведено из первого:r (AB) = r ((AB)τ ) = r (B τ Aτ ) ≤ r (Aτ ) = r (A) .2) Пусть AB = C, тогдаCi =nXk=1aik Bk , C(j)=nXbkj A(k) ,k=1где для матрицы A ∈ Mm,n (F ) через Ai обозначены ее строки, а через A(j)— столбцы.
ПоэтомуVΓ (C) ⊆ VΓ (B) , VB (C) ⊆ VB (A) .Следовательно, r (AB) ≤ r (B) , r (AB) ≤ r (A).¤Следствие 2. Пусть A ∈ Mm,n (F ). Если матрицы B ∈ Mm (F ) , C ∈Mn (F ) обратимы, то r (BAC) = r (A).Имеемr (BAC)≤r (AC)≤r (A)=¡ Доказательство.¢¡¢−1−1−1r B (BAC) C≤ r BAC · C≤ r (BAC).¤Следствие 3. Матрица A ∈ Mn (F ) обратима ⇔ A обратима справаили слева.Доказательство. Действительно, из равенства AB = E следует, что n =r (E) ≤ r (A), поэтому r (A) = n и A обратима.¤§22.Элементарныепреобразованияэквивалентность матриц одного рангаматриц,Для матрицы A ∈ Mm,n (F ) назовем элементарным преобразованием строкIII типа умножение некоторой строки на λ ∈ F, λ 6= 0.
Аналогично определим1. Векторные пространства. Матрицы и определители45преобразование для столбцов. Элементарными преобразованиями матрицыA ∈ Mm,n (F ) назовем элементарные преобразования строк и столбцов типаI, II, III. Назовем две матрицы одинакового порядка эквивалентными, еслиодна получена из другой элементарными преобразованиями.
Из леммы 1 §20следует, что эквивалентные матрицы имеют равные ранги. Докажем теперьобратное.Теорема 1. Матрицы A, B ∈ Mm,n (F ) эквивалентны ⇔ они имеютодинаковый ранг.Доказательство. Мычто всякая матрица A ранга rµ покажем,¶Er 0эквивалентна матрице, где Er — единичная матрица порядка0 0r. Действительно, элементарными преобразованиями строк A приводится кступенчатому виду с r ненулевыми строками.
Переставив, если надо, столбцы,можно считать, что первый ненулевой элемент в i-й строке (i = 1, . . . , r) стоитна i-м месте. Следующим шагом можно превратить все эти элементы в 1, а¤затем легко занулить все остальные элементы.§23.Независимость числа главных неизвестных отспособа приведения системы к ступенчатому виду.Теорема Кронекера-КапеллиРассмотрим совместную с.л.у.AX = B,a11где A =···am1Приведем ееb1· · · a1n· · · · · · ∈ Mm,n (F ) , B = ...
∈ F m , X = · · · amnbmметодом Гаусса A Ã . . . Ã C к ступенчатому видуx1.. ..xnCX = D,0 0где C = ···0··· 0··· ······ ······ ···c1k1 · · ···· 0··· ······ ······c2k2······c1nc2n ∈ Mr,n (F ),··· crnd16 0, D = ... ∈ F r .=dr············1 ≤ k1 < . . . < kr ≤ n; c1k1 · c2k2 · . . . · crkr·········crkr············(1)1. Векторные пространства.
Матрицы и определители46В §8 были определены главные переменные xk1 , . . . , xkr и свободныепеременные xi , i 6= k1 , . . . , kr , 1 ≤ i ≤ n. Ввиду того, что в общемслучае выбор главных переменных зависит от способа приведения A Ã. . . Ã C системы к ступенчатому виду, xk1 , .
. . , xkr будем называтьглавными переменными метода Гаусса A Ã . . . Ã C. Формулы (4) из §8определяют основное свойство переменных xk1 , . . . , xkr . А именно, придадимсвободным переменным xi , 1 ≤ i ≤ n, i 6= k1 , . . . , kr , произвольныезначения β1 , . . . , βn−r ∈ F , тогда по формулам (4) из §8, однозначно найдемединственное решение с.л.у. (1).Переменные xi1 , . . . , xis , s ≤ n, называются главными в системе (1), еслидля любых βi ∈ F, 1 ≤ i ≤ n, i 6= i1 , . . .
, is , существует единственный набор(αi1 , . . . , αis ) ∈ Fs такой, что½βi , i 6= i1 , . . . , is— решение системы (1)xi =αi , i = i1 , . . . , isи s максимально с этим свойством. Оставшиеся переменные назовемсвободными.В силу сказанного, любые главные переменные метода Гаусса являютсяглавными. Возникают два вопроса:— от чего зависит число главных переменных?— какие переменные могут быть главными?Ответы на них дает следующая теорема:Теорема 1.
Пусть AX = B — совместная система линейных уравненийи r (A) = r. Тогда xi1 , . . . , xir — главные переменные ⇔ A(i1 ) , . . . , A(ir )линейно независимы. В частности, число главных переменных равно рангусистемы.Доказательство. Перепишем с.л.у. (1) в видеx1 · A(1) + x2 · A(2) + . . . + xn · A(n) = B.Предположим, что A(i1 ) , . . . , A(ir ) линейно зависимы.
Тогда, так как r(A) =r ¡≤ n, то существуетj, 1 ≤ j ≤ n, j 6= i1 , . . . , ir , такое, что A(j) ∈/¢(i1 )(ir )L A ,...,A. Придадим свободным переменным следующие значения:xj = 1, а остальные свободные переменные приравняем к нулю;xj = 2, а остальные свободные переменные приравняем к нулю.1.
Векторные пространства. Матрицы и определители47Тогда существуют (αi1 , . . . , αir ) ∈ F r , (βi1 , . . . , βir ) ∈ F r такие, что rPαik A(ik ) + A(j) = B,k=1rPk=1βik A(ik ) + 2A(j) = B.rP(βik − αik ) A(ik ) ,Вычитая одно равенство из другого, получим A =k=1¡ (i )¢(j)(ir )1т. е. A∈ L A ,...,A. Получено противоречие, и, следовательно,(i1 )(ir )A , . .
. , A линейно независимы.¡¢Обратно, так как с.л.у. (1) совместна, то B ∈ L A(1) , . . . , A(n) . Таккак, r (A)= r, а A(i¢1 ) , . . . , A(ir ) линейно независимы, то A(i1 ) , . . . , A(ir ) —¡ (1)базис L A , . . . , A(n) . Следовательно,для любых αi ∈ F , 1 ≤ i ≤ n,P(i)i 6= i1 , . . . , ir , вектор (B −αi A ) однозначно раскладывается по(j)i6=i1 ,...,ir1≤i≤nбазису A(i1 ) , . . . , A(ir ) .¤Теорема 2 (Кронекера-Капелли).
С.л.у. AX = B совместна ⇔ r (A) =r (A|B).¡ (1)¢(n)Доказательство.Имеемr(A)=r(A|B)⇔dimLA,...,A=¡ (1)¢¡ (1)¢¡ (1)¢(n)(n)(n)dim L A , . . . , A , B ⇔ L A , . . . , A= L A ,...,A ,B ⇔ B ∈n¡ (1)¢P(n)L A ,...,A⇔ существуют α1 , . . . , αn ∈ F такие, чтоαi A(i) = B ⇔i=1(α1 , . . .
, αn ) — решение с.л.у. AX = B.§24.¤Однородные системы, размерность пространстварешений, фундаментальная система решенийРассмотрим однородную с.л.у.AX = 0,(1)x1a11 · · · a1nгде A = · · · · · · · · · ∈ Mm,n (F ) , X = ... — столбецam1 · · · amnxnнеизвестных.В §9 было доказано, что Vреш. (множество решений системы (1)) являетсяподпространством F n . Как найти его размерность и базис? Рассмотримотображение ϕ : F n → F mϕ (x) = A · X.1. Векторные пространства. Матрицы и определители48Лемма 1. 1) ϕ ∈ L (F n , F m ). 2) Vреш. = Ker ϕ.Доказательство. 1) Для любых α, β ∈ F ; X, Y ∈ F n имеемϕ (αX + βY ) = A (αX + βY ) = αAX + βAY = αϕ (X) + βϕ (Y ).Следовательно, ϕ ∈ L (F n , F m ).2) Ker ϕ = {X ∈ F n : ϕ (X) = 0} = {X ∈ F n : AX = 0} = Vреш. .¤Теорема 1.
dim Vреш. = n − r(A).Доказательство. Вычислим матрицу [ϕ] в стандартном базисеe1 , . . . , en пространства F n . Имеем [ϕ]e1 ,...,en = (ϕ (e1 ) , . . . , ϕ (en )) =¡¢(A · e1 , . . . , A · en ) = A(1) , . . . , A(n) = A. Далее, по теореме 1 §21,r (A) = dim (Im ϕ). По теореме 1 §19, n = dim F n = dim Ker ϕ + dim Im ϕ.Поэтому dim Vреш. = n − r (A).¤Произвольный базис пространства Vреш. для системы AX = 0 называетсяфундаментальной системой решений.Алгоритм построения фундаментальной системы.Пусть r(A) = r.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
