1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Скажем, что a ∼ b, если(a − b) делится на 2. Свойства 1) и 2) очевидны. Проверим 3): a ∼ b, b ∼ c ⇔1. Векторные пространства. Матрицы и определители15a − b = 2k, b − c = 2`, где k, ` ∈ Z. Тогда (a − b) + (b − c) = a − c = 2 (k + `)и a ∼ c.Множество S = {Bα : Bα ⊆ A, α ∈ I} называется разбиением A на классы,если Bα 6= ∅ для любого α ∈ I и для любого a ∈ A существуетединственноеSBα такое, что a ∈ Bα . Очевидно, что при этом A =Bα и для любыхα∈ITα, β ∈ I таких, что α 6= β имеем равенство Bα Bβ = ∅.Теорема 1. 1) Любое отношение эквивалентности R на A определяетразбиение A на классы.
2) Любое разбиение A на классы определяет на Aотношение эквивалентности.Доказательство. 1) Определим Ka = {b ∈ A : b ∼ a} (далее ∼ := ∼).RRЗаметим, что Ka 6= ∅ для любого a ∈ A: так как a ∼ a, то a ∈ Ka . ПустьKa ∩ Kb 6= ∅, тогда существует c ∈ Ka ∩ Kb ⇒ c ∼ a, b ∼ c ⇒ a ∼ b ⇒a ∈ Kb . Тогда для любого x ∈ Ka , если x ∼ a, a ∼ b, то x ∼ b и x ∈ Kb .Следовательно, Ka ⊆ Kb . Аналогично Kb ⊆ Ka и Ka = Kb . Таким образом,для любых a, b ∈ A либо Ka ∩ Kb = ∅, либо Ka = Kb . Подмножества Kaбудем называть смежными классами A по R. Пусть S — это множество всехразличных смежных классов A по R. Очевидно, что S — разбиение A наклассы.2) Пусть S = {Bα : Bα ⊆ A, α ∈ I} — разбиение A на классы. Для любыхx, y ∈ A положим x ∼ y тогда и только тогда, когда существует α ∈ I такой,что x, y ∈ Bα . Тогда x ∼ x, так как существует α ∈ I такой, что x ∈ Bα .
Еслиx ∼ y, то y ∼ x — очевидно. Если x ∼ y и y ∼ z, то x, y ∈ Bα , y, z ∈ Bβ ;следовательно, α = β, x, y, z ∈ Bα . Поэтому x ∼ z.¤§6.Эквивалентность систем линейных уравнений приэлементарных преобразованияхПусть F — некоторое поле. Система линейных уравнений (с.л.у.): a11 x1 + . . . + a1n xn = b1 ,− − − − − − − − −−am1 x1 + . . .
+ amn xn = bm ,(1)где aij — коэффициенты системы, bi — свободные члены системы, xj —неизвестные, aij , bi ∈ F , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Символ m × (n + 1)означает размерность системы. C.л.у. называется однородной, если b1 = . . . =1. Векторные пространства. Матрицы и определители16bm = 0. Однородная с.л.у. a11 x1 + .
. . + a1n xn = 0,− − − − − − − − −−am1 x1 + . . . + amn xn = 0,называется приведённой системой для с.л.у. (1).Набор (y1 , . . . , yn ) ∈ F n называется решением системы (1), если при замененеизвестных xi на числа yi , i = 1, . . . , n, каждое из уравнений системы (1)обращается в равенство.Обозначим через S ⊆ F n множество решений с.л.у.
(1), т. е. S ={(y1 , . . . , yn ) : (y1 , . . . , yn ) — решение с.л.у. (1)}. Тогда система называется:несовместной, если S = ∅; совместной, если S 6= ∅; определенной, если Sсостоит из одного элемента; и неопределенной, если S содержит более одногоэлемента.Примеры.½x1 + x2 = 2•- − −;2x1 + 2x2 = −1• x1 + x2 = 2 — неопределенная система;• x1 = 1 — определенная система.Наша цель — найти необходимые и достаточные условия совместностипроизвольной системы (1), и если система (1) совместна, то найти все еерешения.Рассмотрим еще одну с.л.у. c11 x1 + . . .
+ c1n xn = d1 ,−−−−−−−−−(2)cm1 x1 + . . . + cmn xn = dm .Системы (1) и (2) называются эквивалентными, если либо они обенесовместны, либо совместны и обладают одними и теми же решениями.Эквивалентность систем (1) и (2) будем обозначать символом (1) ≈ (2). Такимобразом, если Si — множество решений системы (i), i = 1, 2, то (1) ≈ (2)тогда и только тогда, когда S1 = S2 . Заметим, что введенное отношениена с.л.у. размерности m × (n + 1) является отношением эквивалентности.Действительно, очевидно, что (1) ≈ (1) и (1) ≈ (2) ⇒ (2) ≈ (1).Теперь если (1) ≈ (2), (2) ≈ (3) ⇒ S1 = S2 , S2 = S3 ⇒ S1 = S3 ⇒ (1) ≈(3). Таким образом, по теореме 1 §5 множество с.л.у.
разбивается на классыэквивалентности.1. Векторные пространства. Матрицы и определители17Будем говорить, что система (2) получена из системы (1) при помощи:элементарного преобразования I типа, если система (2) получена из (1)перестановкой i-го и j-го уравнений (i 6= j); элементарного преобразованияII типа, если система (2) получена из (1) добавлением к i-уравнению jуравнения (i 6= j), умноженного на некоторое α ∈ F , т.
е. i-ое уравнениесистемы (2) имеет вид(ai1 + αaj1 ) x1 + . . . + (ain + αajn ) xn = bi + αbj ,(3)а остальные уравнения системы (2) совпадают с уравнениями системы (1).Будем обозначать соответственно: (1) Ã(2), (1) Ã(2). ЭлементарныеIIIпреобразования I или II типа будем называть элементарнымипреобразованиями с.л.у. и обозначать (1) Ã (2).Лемма 1. Имеют место следующие утверждения:1) (1) Ã (2) ⇒ (2) Ã (1);2) (1) Ã (2) ⇒ (1) ≈ (2).Доказательство. 1) Если (1) Ã(2), то, очевидно, меняя обратно i-ое и j-оеIуравнения с.л.у. (2), получим (1), т. е.
(2) Ã(1). Если (1) Ã(2) по формуле (3),IIIто добавляя к i-му уравнению (2) j-ое уравнение (2), умноженное на (−α),получим i-ое уравнение (1), т. е. (2) Ã(1).IIÃ2) Если (1) (2), то уравнения системы не изменились, следовательноI(1) ≈ (2).Рассмотрим (1) Ã(2) по формуле (3). Пусть S1 6= ∅ и (y1 , . .
. , yn ) ∈IIS1 — произвольное решение системы (1). Тогда (ai1 + αaj1 ) y1 + . . . +(ain + αajn ) yn = (ai1 y1 + . . . + ain yn ) + α (aj1 y1 + . . . + ajn yn ) = bi +αbj . Следовательно, (y1 , . . . , yn ) ∈ S2 , и система (2) совместна. В силудоказанного, S1 ⊆ S2 . Так как, (2) Ã(1), то S2 ⊆ S1 ⇒ S1 = S2 .IIПусть S1 = ∅.
Так как (2) Ã(1), то S2 = ∅ и опять S1 = S2 . Поэтому(1) ≈ (2).II¤Теорема 1. Если с.л.у. (2) получена из (1) путем применения конечнойпоследовательности элементарных преобразований, то (1) ≈ (2).Доказательство. Пусть (1) Ã (a1 ) Ã . . . Ã (an−1 ) Ã (2). Докажем,что (1) ≈ (2) индукцией по n — числу преобразований. Базис индукции приn = 1 следует из леммы 1. Предположим, что для (n − 1) преобразованийутверждение истинно.
Тогда по лемме 1, (1) ≈ (a1 ). По предположениюиндукции (a1 ) ≈ (2). Следовательно, (1) ≈ (2).¤1. Векторные пространства. Матрицы и определители§7.18Приведение к ступенчатому виду методом Гауссаa11 . . . a1nТаблица A = . . . . . . . . . , где aij ∈ F , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n,am1 . .
. amnb11 . . . b1nназывается матрицей размера m × n над F . Пусть B = . . . . . . . . . .bm1 . . . bmnМатрицы A и B называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. A = B ⇔ aij = bij для всех 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Матрица состоящая изодних нулей называется нулевой и обозначается также через 0. Множествовсех матриц размера m × n над F обозначается через Mm,n (F ), т. е. a11 · · · a1nMm,n (F ) =· · · · · · · · · : aij ∈ F .am1 · · · amnМатрица Ai = (ai1 . . .
ain ) ∈ M1,n (F ) , 1 ≤ i ≤ m, называется i-ой строкой(i-строкой) матрицы A.a1jМатрица A(j) = ... ∈ Mm,1 (F ) называется j-столбцом матрицы A.amjМатрицу A можно формально записать через строки или столбцы:A1¡¢A = ... = A(1) . . . A(n) .AmОпределим элементарные преобразования строк матрицы.Элементарные преобразования (строк) I типа:A1A1 ... ... A A i j .. ÃA = . B = ...
, где i 6= j, I Aj Ai . . .. .. AmAmт. е. матрица B получена из матрицы A перестановкой i и j строки.1. Векторные пространства. Матрицы и определителиЭлементарные преобразования строк IIA1A1... .. . A + αA A j i i .. Ã...A= . B= II Aj Aj . .. .. .AmAm19типа: , где i 6= j, α ∈ F,и Ai + αAj = ((ai1 + αaj1 ) .
. . (ain + αajn )) . Говорят, что матрица B полученаиз матрицы A добавлением к i-строке j-строки, умноженной на α ∈ F .Элементарные преобразования I и II типа будем называть простоэлементарными преобразованиями строк матрицы A и записывать A Ã B.Матрица0 · · · 0 a1k1 · · · · · · · · · · · · a1n 0 · · · 0 · · · a2k · · · · · · · · · a1n 2....
.... ··· ··· ··· ··· ··· . A = 0 · · · 0 · · · · · · 0 arkr · · · arn , 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 ... ... 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0где a1k1 , . . . , arkr 6= 0, 1 ≤ k1 < . . . < kr ≤ n, 1 ≤ r ≤ m, называется матрицейступенчатого вида (ступенчатой матрицей).Лемма 1. Пусть A ∈ Mm,n (F ) и A 6= 0. Тогда A элементарнымипреобразованиями приводится к ступенчатому виду.Доказательство. Индукция по m — числу строк матрицы A.
Приm = 1 ненулевая матрица уже является ступенчатой. Предположим, чтоутверждение верно для всех матриц из Mm−1,n (F ). Рассмотрим A ∈ Mm,n (F ).Так как A 6= 0, то существуют i, j, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, такие, что aij 6= 0.Выберем минимальное j и произвольное i с этим свойством. Переставим 1-юи i-ю строки матрицы A. Получим матрицу0 · · · 0 b1j · · · b1n.. .... , где b 6= 0.B = ....
..1j0 · · · 0 bmj · · · bmn1. Векторные пространства. Матрицы и определители20К каждой i-строке матрицы B, i = 2, . . . , m, добавим 1-ю строку матрицы B,bумноженную на α = − b1jij . Получим матрицуC=B1B2...Bm³´−B1 = ³ ´bmj− b1j B1b2jb1j0 · · · 0 c1j0 ··· 0 00 ··· 0 0··· ··· ···0 ··· 0 0¯¯¯¯¯¯¯¯¯···c2j+1······cmj+1· · · c1n· · · c2n··· ······ ···· · · cmn,где c1j = b1j 6= 0. Рассмотрим матрицуc2j+1 · · · c2nC = · · · · · · · · · ∈ Mm−1,n−j (F )cmj+1 · · · cmn(можно считать, что C ∈ Mm−1,n ). По предположению индукции, матрицаC элементарными преобразованиями приводится к ступенчатой матрицеD.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
