1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Выберем произвольные главные переменные xi1 , . . . , xirдля системы (1). Для простоты изложения будем обозначать главныепеременные через y1 , . . . , yr , свободные переменные — через yr+1 , . . . , yn .Через ā = (α1 , . . . , αn ) будем обозначать следующее решение системы (1):y1 = α1 , . . . , yr = αr , yr+1 = αr+1 , . . . , yn = αn .
В силу формулы (4) из §8,найдем решенияā1 = (α11 , . . . , α1r , 1, 0, . . . , 0) ,−−−−−−−−−−−−−ān−r = (αn−r,1 , . . . , αn−r,r , 0, 0, . . . , 1) .По построению они линейно независимы, а так как их число равно (n − r), тоэто базис Vреш. , и, следовательно, это фундаментальная система решений.Теорема 2. Всякое подпространство V ⊆ F n размерности s являетсяпространством решений некоторой однородной системы ранга (n − s).Доказательство. Выберем a1 , .
. . , as — некоторый базис V , дополним еговекторами as+1 , . . . , an до базиса F n . Пусть U = L(as+1 , . . . , an ). Тогда F n =V ⊕ U . Рассмотрим проекцию ψ пространства F n на U : если x = v + u ∈ F n ,где v ∈ V, u ∈ U, то ψ(x) := u. Пусть A = [ψ]. Рассмотрим отображениеϕ : X 7→ AX. Тогда [ϕ] = A. Следовательно, ϕ = ψ, и V = Ker ψ = Vреш. ¤1. Векторные пространства. Матрицы и определители§25.49Линейные многообразия и решения неоднороднойсистемы линейных уравненийПусть V — линейное пространство, U — подпространство в V , a ∈ V .Множество a + U = {a + x : x ∈ U } называется линейным многообразиемтипа U и размерности dim U . Нетрудно заметить, что a + U являетсялинейным подпространством ⇔ a ∈ U .
Действительно, 0 ∈ a + U ⇔ a ∈U ⇔ a + U = U.Лемма 1. Пусть a1 + U1 , a2 + U2 — линейные многообразия, тогда a1 +U1 = a2 + U2 ⇔ U1 = U2 , a1 − a2 ∈ U1 . В частности, для любого c ∈ a1 + U1верно c + U1 = a1 + U1 .Доказательство. “⇒” Существует u1 ∈ U1 такой, что a1 +u1 = a2 +0 = a2 ,т. е. a1 − a2 = −u1 ∈ U1 . Существует u2 ∈ U2 , что a1 + 0 = a1 = a2 + u2 , т.е. a1 − a2 = u2 ∈ U2 . Тогда для любого v2 ∈ U2 существует v1 ∈ U1 такой,что a1 + v1 = a2 + v2 . Следовательно, v2 = (a1 − a2 ) + v1 ∈ U1 и U2 ⊆ U1 .Аналогично, U1 ⊆ U2 и U1 = U2 .“⇐” a1 + U1 = a2 + (a1 − a2 ) + U2 ⊆ a2 + U2 = a1 + (a2 − a1 ) + U1 ⊆ a1 + U1 .Следовательно, a1 + U1 = a2 + U2 .¤Вернемся к неоднородным системам линейных уравнений.
Пусть этасистема имеет видAX = B.(1)Допустим, что система совместна, и X0 ∈ F n — какое-то ее решение. ТогдаX1 ∈ F n — решение (1) ⇔ (X1 −X0 ) — решение однородной системы AX = 0.Действительно, A·(X1 − X0 ) = AX1 −AX0 = B −B = 0 и 0 = A·(X1 − X0 ) =AX1 − AX0 = AX1 − B ⇒ AX1 = B.Теорема 1.
Множество решений системы линейных уравнений (1)совпадает с линейным многообразием X0 +Vреш. , где X0 — частное решение(1), Vреш. — пространство решений системы AX = 0. Обратно, всякоелинейное многообразие в F n является множеством решений некоторойсистемы линейных уравнений от n неизвестных.Доказательство. Пусть Y — решение (1).
Тогда (Y − X0 ) ∈ Vреш. и Y ∈X0 + Vреш. . С другой стороны, для любого u ∈ Vреш. имеем A(X0 + u) =AX0 + Au = B ⇒ X0 + u решение (1).Докажем обратное. Пусть подпространство V задается некоторойоднородной системой AX = 0. Тогда многообразие (X0 + V ) задаетсясистемой AX = AX0 .¤1. Векторные пространства. Матрицы и определители§26.50Фактор-пространство, его базис и размерностьПусть V — векторное пространство, U ⊆ V — некоторое подпространство.Обозначим через V /U — множество всех линейных многообразий типа U вV , т. е.V = {x + U : x ∈ V } .Лемма 1. Для любых x, y ∈ V либо x+U = y+U либо (x + U )∩(y + U ) =∅.Доказательство.
Пусть (x + U ) ∩ (y + U ) 6= ∅ и z ∈ (x + U ) ∩ (y + U ).По лемме 1 §25, z + U = x + U и z + U = y + U . Поэтому x + U = y + U . ¤Превратим V /U в линейное пространство над F , для любых a, b ∈ V иα ∈ F полагая½(a + U ) + (b + U ) = (a + b) + U,α (a + U ) = αa + U.Необходимо проверить корректность определенных операций.Пусть (a + U ) = (a1 + U ), тогда (a − a1 ) ∈ U.
Если (b + U ) = (b1 + U ), то(b − b1 ) ∈ U.Поэтому (a + b) − (a1 + b1 ) = (a − a1 ) + (b − b1 ) ∈ U и, по лемме 1 §25,(a + b) + U = (a1 + b1 ) + U. Далее, (a − a1 ) ∈ U ⇒ α(a − a1 ) ∈ U ⇒ αa + U =αa1 + U.Аксиомы векторного пространства в V /U справедливы ввиду того, что онисправедливы в V и операции в V /U сводятся к соответствующим операциямнад элементами из V .Теорема 1. Отображение ϕ : V → V /U , определенное по правилу ϕ(x) =x + U , является линейным отображением, т. е. ϕ ∈ L(V, V /U ). При этомKer ϕ = U, Im ϕ = V /U .
В частности, для конечномерных пространствdim V /U = dim V − dim U . Пусть v1 , . . . , vk — дополнение базиса U до базисаV . Тогда v1 + U, . . . , vk + U — базис V /U .Доказательство. Для любых α, β ∈ F, x, y ∈ V имеем ϕ (αx + βy) =(αx + βy) + U = α (x + U ) + β (y + U ) = αϕ (x) + βϕ (y) ⇒ ϕ ∈ L (V, V /U ).Далее, для любого x ∈ Ker ϕ имеем ϕ(x) = x + U = 0 + U ⇔ x ∈ U.Следовательно, Ker ϕ = U . Докажем, что для конечномерных пространствdim V /U = dim V − dim U.(Заметим, что это следует из теоремы 1 §19, но мы приведем явноедоказательство.)1. Векторные пространства.
Матрицы и определители51Пусть a1 , . . . , am — базис U . Дополним его векторами am+1 , . . . , an добазиса V . Тогда am+1 + U, . . . , an + U — базис V /U . Действительно,nXαi (ai + U ) = 0 + U ⇒nXαi ai + U = 0 + U ⇒i=m+1i=m+1nXαi ai ∈ U.i=m+1Поэтому αm+1 = . . . = αn = 0, т. е. am+1 + U, . . . , an + U линейно независимы.nPДалее, для любого x ∈ V существуют α1 , .
. . , αn ∈ F такие, что x =αi ai .Тогда ϕ (x) =nPi=m+1i=1αi (ai + U ) и Im ϕ = V /U ∈ L (am+1 + U, . . . , an + U ).Следовательно, am+1 + U, . . . , an + U — базис V /U и dim V /U = n − m =¤dim V − dim U .§27.Определитель квадратной матрицы, его основныесвойстваИндукцией по размерности n квадратной матрицы A ∈ Mn (F ) определимотображение det : Mn (F ) → F , которое будем называть детерминантомили определителем A, по следующему правилу:n = 1 : det (a)µ = a,¶a bn = 2 : det= ad − bc.c dПредположим, что для всех квадратных матриц размера меньше n функцияdet определена.
Рассмотрим матрицу A ∈ Mn (F ). По предположениюиндукции, определены числаa11 · · ·· · · a1n ··· ······ ··· Mij (A) = det i-строка ··· ······ ··· an1 · · ·· · · annj-столбецдетерминанты матриц размера (n − 1), полученных вычёркиванием i-строкии j-столбца матрицы A. Эти числа называются минорами матрицы A. ЧислаAij (A) := (−1)i+j Mij (A)1.
Векторные пространства. Матрицы и определителиназываются алгебраическимиопределениюdet (A) =nXдополнениями.ai1 Ai1 (A) =i=1nX52Далее,полагаем(−1)i+1 ai1 Mi1 (A) .по(1)i=1Формула (1) называется разложением определителя по 1-му столбцу.Если ясно о какой матрице идет речь, то для краткости записывают: Mij =Mij (A) , Aij = Aij (A) , тогдаdet (A) =nXi=1ai1 Ai1 =nX(−1)i+1 ai1 Mi1 .i=1Функция det(A) часто обозначается через |A|. Аналогично определяютсяминоры Mi1 ,...,ik ;j1 ,...,jk (A) = Mi1 ,...,ik ;j1 ,...,jk — определители матриц,полученных из A вычёркиванием строк с номерами i1 , .
. . , ik и столбцов сномерами j1 , . . . , jk .Найдем по определению¯¯¯¯¯¯a11 a12 a13¯ a22 a23 ¯¯ a12 a13 ¯¯ a12 a13 ¯¯ − a21 · ¯¯¯¯det a21 a22 a23 = a11 · ¯¯¯ a32 a33 ¯ + a31 · ¯ a22 a23 ¯ =a32 a33 ¯a31 a32 a33= a11 ·(a22 · a33 − a32 · a23 )−a21 ·(a12 · a33 − a13 · a32 )+a31 ·(a12 · a23 − a22 · a13 ) == a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a32 · a21−a31 · a22 · a13 − a11 · a23 · a32 − a21 · a12 · a33 .Теорема 1.
Определитель обладает следующими свойствами:(D1) при перестановке строк определитель меняет знак;(D2) при умножении какой-то строки на скаляр λ ∈ F определительтакже умножается на λ;(D3) определитель является линейной функцией строк матрицы A;(D4) |E| = 1.Доказательство всех этих свойств по индукции; вначале расписываемопределитель по определению, затем применяем предположение индукции,и вновь сворачиваем сумму в определитель. Нужно только проследить, чтопроисходит со слагаемыми, соответствующими тем строкам, с которымисовершается преобразование.1. Векторные пространства.
Матрицы и определители53¯¯¯¯¯a b¯¯c d¯¯ = −¯¯(D1) Легко проверить, что ¯¯¯ a b ¯. Предположим, что (D1)c d¯верно для матриц размера (n − 1). Пусть матрица B получена из A ∈ Mn (F )перестановкой строк с номерами i и j. Тогдаdet (B) =nXbk1 Bk1 =k=1nX(−1)k+1 bk1 Mk1 (B).k=1Для произвольной матрицы C ∈ Mn (F ) обозначим: Ĉi — отсутствие i-строки;C̄i = (ci2 , ci3 , . . . , cin ) — i-строка без первого элемента.
Тогда, по предложениюиндукции, имеем: при k 6= i, j(−1)k+1 bk1 Mk1 (B) = (−1)k+1 ak1 · (−1) Mk1 (A) ;при k = i.. . b ← i-строка Aj Ai+1 .. (−1)i+1 bi1 Mi1 (B) = (−1)i+1 aj1 det . Aj−1 Ai ← j-строка...¾½последовательно переставляя строки, вернем==строку Āi с j на i место . .. b j+1= (−1)i+1 aj1 · (−1)j−i−1 det Aaj1 Mj1 (A) ;j ← j-строка = − (−1)...при k = j, аналогично,(−1)j+1 bj1 · Mj1 (B) = − (−1)i+1 ai1 Mi1 (A) .nP(−1)k+1 ak1 Mk1 (A) = − det (A).k=1¶µλa λb=(D2) Легко проверить, что det(λa) = λ det(a), detc dµ¶a bλ det. Предположим, что (D2) верно для всех матриц размераc dСледовательно, det (B) = −1. Векторные пространства. Матрицы и определители54(n − 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
