1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188)
Текст из файла
А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. ШестаковЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕМИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГООБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТА. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. ШестаковЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕЧасть 1Учебное пособиеНовосибирск2011УДК 512.64(075)ББК: В14.5я73-1Г 144А. П.
Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков, Лекции поалгебре: В 2 ч.: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011. 102 с.ISBN 978-5-94356-751-3Данный курс лекций содержит запись основного курса высшей алгебры,читавшегося авторами в 1989 – 2010 гг. на одном из потоков первого курсамеханико-математического факультета Новосибирского государственногоуниверситета. Часть 1 соответствует программе первого семестра, а часть 2— программе второго семестра. Для чтения и понимания текста от читателятребуется знание элементарных понятий теории множеств, отображенийи принципа математической индукции.
Предназначено для студентов ипреподавателей по курсу высшей алгебры.Издание подготовлено для научно-исследовательского университета врамках реализации Программы развития НИУ-НГУ.ISBN 978-5-94356-751-3c Новосибирский государственный университет, 2011°c Пожидаев А. П., Сверчков С. Р., Шестаков И. П., 2011°ОглавлениеВведение71 Векторные пространства. Матрицы и определители§1 Определение и примеры полей . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Поле комплексных чисел: конструкция в виде пардействительных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§3 Модуль и аргумент комплексного числа . . . . . . . . . . . . . .§4 Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа . .§5 Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы .§6 Эквивалентностьсистемлинейныхуравненийприэлементарных преобразованиях . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .§7 Приведение к ступенчатому виду методом Гаусса . . . . . . . .§8 Исследование систем линейных уравнений. Необходимые идостаточные условия совместности и определенности . . . . . .§9 Векторныепространства:определениеипримеры.Пространство решений однородной системы линейных уравнений§10 Подпространство, линейная зависимость . . . . . . . . .
. . . .§11 Базис и размерность векторного пространства: существованиеи свойства. Координаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . .§12 Изоморфизм векторных пространств одной размерности . . . .§13 Базис подпространства векторного пространства . . . . . . . . .§14 Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей . .§15 Пространство линейных отображений L(U, V ) и пространствоматриц Mm,n (F ) . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§16 Изоморфизм пространств L(U, V ) и Mm,n (F ) . . . . . . . . . . .§17 Суперпозиция линейных отображений и произведение матриц .§18 Обратимые преобразования и матрицы . . . . . . . . . . . . . .§19 Образ и ядро линейного отображения, связь их размерностей.Характеризация обратимого преобразования в терминах ядраи образа .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§20 Вертикальный и горизонтальный ранги матрицы, их равенство4111112131314151821232527293031323436384041§21 Ранг матрицы как размерность образа соответствующеголинейного преобразования. Ранг произведения матриц . . . .§22 Элементарные преобразования матриц, эквивалентностьматриц одного ранга . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .§23 Независимость числа главных неизвестных от способаприведения системы к ступенчатому виду. Теорема КронекераКапелли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§24 Однородные системы, размерность пространства решений,фундаментальная система решений . . . . . . . . . . . . . . .§25 Линейные многообразия и решения неоднородной системылинейных уравнений . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§26 Фактор-пространство, его базис и размерность . . . . . . . . .§27 Определитель квадратной матрицы, его основные свойства . .§28 Определитель матрицы как полилинейная кососимметрическаянормированная функция строк матрицы . . . . . . . . . . . .§29 Теорема об определителе транспонированной матрицы . .
. .§30 Разложение определителя по любому столбцу. Присоединеннаяматрица и ее применение к нахождению обратной матрицы . .§31 Определитель произведения матриц . . . . . . . . . . . . . . .§32 Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§33 Ранг матрицы как наибольший порядок ненулевых миноров.Теорема об окаймляющем миноре . . . . . . . . .
. . . . . . .§34 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Группы, кольца, поля§1 Алгебраическаяоперация.Алгебраическаясистема,подсистема, изоморфизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Определение и примеры полугрупп. Теорема об обобщеннойассоциативности . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .§3 Подгруппы, циклические группы. Порядок элемента и порядокпорождённой им циклической группы . . . . . . . . . . . . . .§4 Симметрическая группа. Разложение подстановки нанезависимые циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .§5 Разложение подстановки в произведение транспозиций,независимость чётности числа сомножителей от способаразложения. Знакопеременная группа, ее порядок . . . . . . .§6 Теорема о полном развертывании определителя . . . . . . . .§7 Изоморфизм групп, теорема Кэли . .
. . . . . . . . . . . . . .§8 Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа . . . . . .§9 Нормальные подгруппы и фактор-группы . . . . . . . . . . . .. 42. 44. 45. 47. 49. 50. 51. 55. 56. 57. 59. 59. 60. 6163. 63. 64. 66. 68.....7173747779§10 Основная теорема о гомоморфизмах групп . . . . . . .
. . . .§11 Примеры и свойства колец. Кольца многочленов и формальныхстепенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§12 Гомоморфизмы и идеалы колец. Фактор-кольцо и основнаятеорема о гомоморфизмах колец. Кольцо вычетов Zn . . . . .§13 Поле, подполе, расширение поля. Поле Fp . Теорема о простомподполе. Характеристика поля .
. . . . . . . . . . . . . . . . .§14 Полекомплексныхчисел:матричнаяконструкция,изоморфизм с конструкцией в виде пар действительныхчисел. Групповые свойства корней из единицы . . . . . . . . .§15 Максимальные идеалы колец и поля вычетов . . . . . . . . . .§16 Целостные кольца и поля частных. Поле рядов Лорана . .
. .§17 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Предметный указатель. 81. 81. 86. 89....9192939699ВведениеЧто такое алгебра? Ответить на этот вопрос однозначно, достаточноопределенно и к тому же коротко нельзя. С одной стороны, истоки ееуходят вглубь веков — можно сказать, что алгебра началась, когда появилисьпервые алгебраические операции — арифметические действия над N и Q+ .С другой стороны, можно сказать, что алгебра началась, когда цифрыстали заменяться буквами.
Точка зрения на то, что является объектомисследования алгебры постоянно менялась. Так, в 17–18 вв. под алгебройпонималась наука о буквенных вычислениях, решение алгебраическихуравнений и т.п. В 18–19 вв. алгебра — это алгебра многочленов, теориясистем алгебраических уравнений с несколькими неизвестными, теорияматриц и определителей. С середины 19 в. центр тяжести в исследованияхсмещается на изучение произвольных алгебраических операций, чтопроизошло вследствие расширения понятия числа: появились комплексныечисла, кватернионы, октонионы. В конце 19 – начале 20 вв. возникает общаяаксиоматическая основа всех старых идей. В принципе, можно сказать, чтопредметом изучения современной алгебры являются множества с заданнымина них алгебраическими операциями.
Поэтому, если говорить о современнойалгебре и ее приложениях, то нужно описать все ее основные структуры:группы, кольца, поля и т.д. Это, в частности, в самом вводном объеме, будетсделано нами в данном курсе лекций, а более содержательное знакомство салгеброй будет происходить по мере ее изучения.Говоря общими словами, можно сказать, что алгебра по отношениюко всей математике играет примерно такую же роль, как математика поотношению к остальным наукам. Наряду с “математизацией” естествознанияв наши дни не без основания говорят об “алгебраизации” математики, т.е.
о проникновении идей и методов алгебры в самые различные разделыматематики, а также физики. В настоящее время алгебраический язык сталиграть роль “языка межнационального общения”, связывающего между собойразличные дисциплины математики и физику.Процесс применения алгебры похож на процесс применения математики.7Чтобы изучить методами математики какое-либо явление естествознания,строят его математическую модель. Если она достаточно адекватноотражает свойства явления, то, изучая ее методами математики, мыможем что-то говорить и о самом явлении.
Аналогично, различнымобъектам математического исследования можно сопоставить некоторыйалгебраический объект, в той или иной мере отражающий свойства исходногообъекта, и т. д. Выдающийся алгебраист И. Р. Шафаревич называет этотпроцесс “координатизацией”, имея в виду, что математические объектыкоординатизируются алгебраическими.Самый наглядный пример: декартовы координаты, сводящиегеометрические задачи к решению алгебраических уравнений.
Здеськоординатами служат числа, которые можно складывать и умножать.Однако в других случаях для такой “координатизации” обычных чиселс обычным сложением и умножением далеко не достаточно. Наоборот,сталкиваясь с новым типом объектов, мы вынуждены конструировать (илиоткрывать) новые типы координатизирующих их “величин”.
Построение иисследование возникающих таким образом “величин” с определенными наних операциями — этим и характеризуется (конечно, очень приближенно)место алгебры в математике.С этой точки зрения, развитие любого раздела алгебры состоит из двухэтапов. Первый из них — рождение нового типа алгебраических объектовиз некоторой проблемы координатизации; второй — их дальнейшая жизнь,т. е. систематическое развитие теории этого класса объектов, иногда тесносвязанное, а иногда и совсем не связанное с той областью, в связи с которойобъекты возникли.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
