1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Пусть матрица B получена из A ∈ Mn (F ) умножением i-строкина λ. По предположению индукции, имеем: при k 6= i(−1)k+1 bk1 Mk1 (B) = (−1)k+1 ak1 · λ · Mk1 (A) ;при k = i(−1)i+1 bi1 Mi1 (B) = (−1)i+1 λai1 · Mi1 (A) .nPСледовательно, det (B) = λ(−1)k+1 ak1 Mk1 (A) = λ det (A) .k=1(D3) Докажем в начале, что...det  Ai + Bi  = det ......Ai  + det ......Bi  ....Легко проверить, что det(a + b) = (a + b) = det(a) + det(b),µ¶µ¶µ¶a+x b+ya bx ydet= (a + x) · d − (b + y) · c = det+ det.cdc dc dA1A1.. ...

.Пусть C =  Ai + Bi  , D =  Bi  , Bi = (bi1 , . . . , bin ) . Тогда для . .. .. .AnAnматрицы C = (cij ) имеем по предположению индукции: при k 6= i... c  Ak k+1k+1..=(−1) ck1 Mk1 (C) = (−1) ak1 det . Ai + B i ...= (−1)k+1 ak1 Mk1 (A) + (−1)k+1 dk1 Mk1 (D) ;при k = i... bb (−1)k+1 ci+1 Mi1 (C) = (−1)i+1 (ai1 + bi1 ) det  Ai + Bi  =...1. Векторные пространства. Матрицы и определители55= (−1)i+1 ai1 Mi1 (A) + (−1)i+1 di1 Mi1 (D) .Следовательно,det (C) ==nXk=1(−1)k+1 ak1 Mk1 (A) +nX(−1)k+1 ck1 Mk1 (C) =k=1nX(−1)k+1 dk1 Mk1 (D) = det (A) + det (D) .k=1В силу доказанного и свойства (D2), имеемA1A1A1.. ...

 ... .det  αAi + βBi  = α det  Ai  + β det  Bi  . .  . .. ..  .. .AnAnAnµ¶1 0(D4) Имеем det(1) = 1, det= 1. Далее, det (En ) = (−1)1+1 · 1 ·0 1det (En−1 ), где Ek — единичная матрица в Mk (F ).¤Следствие 1. 1) Пусть 1 + 1 6= 0 в поле F , если A ∈ Mn (F ) содержитдве одинаковые строки, то |A| = 0. 2) Если A содержит нулевую строку,то |A| = 0.

3) |λA| = λn |A|.Доказательство. 1) Поменяем местами одинаковые строки. Тогда из (D1)следует det(A) = − det(A) и det(A) = 0. Свойство 2) вытекает из (D2) приλ = 0. Свойство 3) также следует из (D2).¤§28.Определитель матрицы как полилинейная кососимметрическая нормированная функция строкматрицыПусть V, U — векторные пространства над полем F и f : V ×n 7→U . Отображение f называется полилинейным, если оно линейно покаждому аргументу, т. е. для любого i = 1, . . . , n и любых α, β ∈F, vi , vi0 ∈ V имеем f (v1 , . . .

, αvi + βvi0 , . . . , vn ) = αf (v1 , . . . , vi , . . . , vn ) +βf (v1 , . . . , vi0 , . . . , vn ). Отображение f называется кососимметричным, еслидля любых i, j = 1, . . . , n (i 6= j) имеем f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) =−f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn ).1. Векторные пространства. Матрицы и определители56Лемма 1. Пусть Φ : Mn (F ) → F удовлетворяет свойствам (D1)−(D4).Тогдаa) если матрица B получена из A элементарными преобразованиями строкII типа (прибавление к одной строке другой, умноженной на скаляр), тоΦ(B) = Φ(A);a11 · · · an.

. . ...  , то Φ(A) =b) если A — верхнетреугольная, т. е. A = 0anna11 · a22 · . . . · ann .Доказательство. Свойство a) вытекает из (D3), (D2) и следствия. Длядоказательства b) заметим, что если ann = 0, то Φ(A) = 0 в силу (D2). Еслиже ann 6= 0, то можно занулить все элементы n-го столбца, стоящие над ann .После этого перейдем к an−1n−1 , и т. д. Если все aii 6= 0, мы в итоге получимΦ (A) = Φ (diag {a11 , a22 , . . . , ann }) = (по (D2)) = a11 a22 .

. . ann Φ (E) =a11 a22 . . . ann .¤Теорема 1. Пусть функция Φ : Mn (F ) → F удовлетворяет свойствам(D1) − (D4). Тогда Φ(A) = |A| для любой A ∈ Mn (F ).Доказательство. Приведем A к ступенчатому виду A0 элементарнымипреобразованиями I и II типа (без умножений строк на скаляры). Пусть приэтом мы совершили k перестановок строк. ТогдаΦ (A) = (−1)k Φ (A0 ) , |A| = (−1)k |A0 | .Если в A0 есть нулевая строка, то Φ(A0 ) = |A0 | = 0. Иначе же A0 являетсяверхнетреугольной и снова Φ(A0 ) = |A0 | по лемме 1.¤§29.Теорема обматрицыопределителетранспонированнойТеорема 1.

Для любой A ∈ Mn (F ) имеем |A| = |Aτ |.¯¯¯¯abτ¯¯ =Доказательство по индукции. При n = 1, 2 имеем |a| = |a |, ¯¯cd¯¯¯a c¯¯. Предположим, что для любой матрицы B ∈ Mk (F ), приad − bc = ¯¯b d¯k < n, |B| = |B τ |. Обозначим элементы матрицы Aτ через aτij , т. е. aτij = aji .1. Векторные пространства. Матрицы и определителиПусть A ∈ Mn (F ), тогда |A| = a11 A11 +S :=nXai1 Ai1 =i=2nXi+1(−1)nPi=257ai1 Ai1 . Далее,ai1 Mi1 (A) =i=2nX(−1)i+1 ai1 M1i (Aτ ) .i=2Теперь разложим определитель M1i (Aτ ) по 1-му столбцу:nnXXjττM1i (A ) =a1j · (−1) M1,j;i,1 (A ) =(−1)j a1j M1,i;1,j (A) .j=2(∗)j=2Подставив это в S, получимn XnXS=(−1)i+j+1 ai1 a1j M1,i;1,j (A) =i=2 j=2=nX(−1)j+1 a1jj=2n(∗) X=(−1)j+1 a1jj=2Тогдаà nXà nX!(−1)i ai1 M1,i;1,j (A)i=2(−1)i!aτ1i M1,j;1,i (Aτ )=nX=(−1)j+1 a1j M1j (A) .j=2i=2a11 A11 = (−1)1+1 aτ11 M11 (Aτ ) ,nnXXj+1S=(−1) a1j M1j (A) =(−1)j+1 aτj1 Mj1 (Aτ ) .Поэтому |A| =j=2nPj=1j=2(−1)j+1 aτj1 Mj1 (Aτ ) = |Aτ | .¤Следствие 1. Свойства (D1) − (D4) верны не только для строк, но идля столбцов матрицы A.nPСледствие 2.

|A| =a1i A1i — разложение по первой строке.i=1§30.Разложение определителя по любому столбцу.Присоединенная матрица и ее применение кнахождению обратной матрицыТеорема 1 (о разложении определителя по любому столбцу (строке)).Ã!nnXX|A| =aij Aij =aij Aij .i=1j=11. Векторные пространства. Матрицы и определители58Доказательство. Пусть B получена из A перестановкой 1-го и j-гостолбцов. Тогда|A| = − |B| = −nXaij Bi1 = −i=1=−nXaij (−1)i+1j−2(−1)nXaij (−1)i+1 Mi1 (B) =i=1Mij (A) = −i=1nXi+j+1aij (−1)Mij (A) =i=1nXaij Aij .i=1Аналогично для строк.¤Следствие 1.nX½aik Ajk =k=1nX½aki Akj =k=1|A| ,0,при i = j;при i =6 j.|A| ,0,при i = j;при i =6 j.Доказательство. Достаточно заметить, что суммаnPxjk Ajkравнаk=1определителю матрицы, полученной из A заменой j-ой строки строкой Xj =nP(xj1 , .

. . , xjn ). Поэтому, при i 6= j,aik Ajk = 0. Аналогично для столбцов.¤k=1Матрица A∗ = (Aij )τ называется присоединённой матрицей к матрице A.Теорема 2. Пусть A ∈ Mn (F ). Тогда A · A∗ = A∗ · A = det(A) · E. В1частности, если det(A) 6= 0, то A−1 = det(A)· A∗ .PДоказательство. Пусть C = A·A∗ . Тогда cij = nk=1 aik Ajk и по следствию1 имеемdet (A)0... = det (A) · E.C=0det (A)Аналогично, A∗ · A = det(A) · E.¤Следствие 2. Следующие условия для квадратной матрицы Aэквивалентны:(i) A обратима;(ii) строки A линейно независимы;(iii) столбцы A линейно независимы;(iv) |A| 6= 0, т. е.

A невырождена.1. Векторные пространства. Матрицы и определители59Доказательство. Эквивалентность (i) ∼ (ii) ∼ (iii) — это следствие 1§21. Если строки A линейно независимы, то, как и в §28, A эквивалентнадиагональной матрице без нулевых строк, т. е. |A| 6= 0. Из (iv) следует (i) потеореме 2.¤§31.Определитель произведения матрицЛемма 1.

Пусть A = diag {d1 , . . . , dn } , B ∈ Mn (F ). Тогда|AB| = d1 · . . . · dn · |B| = |A| |B| .d10d 1 B1...·B =  ...  . ПоэтомуДоказательство. Имеем A·B = 0dnd B¯¯¯¯ n n¯ d 1 B1 ¯¯¯ d10¯ . ¯¯¯...¯ |B| =|AB| = ¯¯ .. ¯¯ = d1 . . . dn |B| = d1 .

. . dn |E| |B| = ¯¯¯¯ d B ¯ (D2)¯¯ 0dn nn¤|A| |B| .Лемма 2. Пусть C = AB. Если A0 получена из A каким-тоэлементарным преобразованием строк I и II типа, то C 0 = A0 B получаетсяиз C тем же самым элементарным преобразованием строк.¡¢Доказательство. Ci = Ai B (1) , Ai B (2) , . . . , Ai B (n) = Ai · B.¤Теорема 1. |A · B| = |A| · |B|.Доказательство. Пусть C = A · B. Если r(A) < n, то r(AB) ≤r(A) < n, поэтому |A| = |A · B| = 0. Пусть r(A) = n, тогдаA невырождена и элементарными преобразованиями строк I и II типаприводится к диагональному виду D = diag {d1 , .

. . , dn } . Пусть при этомсовершено k перестановок строк, тогда |A| = (−1)k |D|. Применяя те жеэлементарные преобразования строк к матрице C, по лемме 2 получимматрицу C 0 = DB; при этом |C 0 | = (−1)k |C|. По лемме 1, |C 0 | = |D| · |B| =(−1)k |A| · |B|, откуда |C| = |A| · |B|.¤§32.Формулы КрамераТеорема 1 (Формулы Крамера). Если система n линейных уравнений отn неизвестных A · X = B имеет ненулевой определитель (т. е. |A| 6= 0),то она определена и ее единственное решение задается формулами xi = ∆∆i ,1. Векторные пространства.

Матрицы и определители60i = 1, 2, . . . , n, где ∆ = |A|, а ∆i получается из ∆ заменой i-го столбцастолбцом свободных членов.Доказательство. Пусть A · X = B, гдеb1a11 · · · a1nA =  · · · · · · · · ·  , det (A) 6= 0 и B =  ...  .an1 · · · annbnТак как строки матрицы A линейно независимы, то по теореме 1 §4, системаимеет единственное решение. Найдём его:A · X = B ⇒ X = A−1 · B =Имеем A∗ · B = Y , где yi =nP1· A∗ · B.det (A)¡¢bk Aki = det A(1) . . .

Характеристики

Список файлов лекций