1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. , an−1 и G0 = e0 , b, . . . , bn−1 — циклическиегруппы порядка n, т. е. G = hai, |a| = n; G0 = hbi, |b| = n. Пусть ϕ : G → G0такое, что ϕ(ak ) = b¡k для всех¢ 0 ≤ kr ≤ n − 1. Тогда ϕ биективно и для любыхm kmka , a ∈ G имеем ϕ a · a = ϕ ¡(a ), где¢ r — остатокm + k на n,¡ m+k ¢ от деленияmkrт. е. (m + k) = n · q + r. Тогда ϕ a · a = ϕa¢= ϕ (a ) = br = e0 · br =¡(bn )q · br = bnq+r = bm+k = bm · bk = ϕ (am ) · ϕ ak . Следовательно, G ' G0 .
¤Следующая теорема показывает, что все конечные группы с точностью доизоморфизма являются подгруппами в Sn .Теорема 1 (Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфнанекоторой подгруппе группы Sn .Доказательство. Пусть G — группа порядка n и Sn — группа биективныхотображений G на G относительно суперпозиции, т. е. Sn = hS(G); ◦i. Длялюбого g ∈ G определим отображение Tg : G → G по правилу Tg (a) = a · gдля любого a ∈ G.Докажем, что Tg ∈ S(G), т. ¡е. Tg являетсябиективным.¢−1−1Для любого b ∈ G имеем Tg b · g= b · g · g = b ⇒ Tg сюръективно.2. Группы, кольца, поля77Для любых a, b ∈ G имеем Tg (a) = Tg (b) ⇒ a · g = b · g ⇒ a = b ⇒ Tgинъективно и Tg ∈ S(G).Так как a · e = a для любого a ∈ G, то Te = id.
Поэтому Tg ◦ Tg−1 (a) =Tg−1 (Tg (a)) = (a · g) · g −1 = a · e = a = Te (a) для любого g ∈ G.Следовательно, Tg−1 = Tg−1 для любого g ∈ G.Рассмотрим множество H всех отображений Tg , g ∈ G. Докажем, чтоH = {Tg : g ∈ G} ≤ Sn . Действительно, id = Te ∈ H ⇒ H 6= ∅. Далее, длялюбых Ta , Tb ∈ H и c ∈ G имеем¡¢¡¢Ta ◦ Tb−1 (c) = Tb−1 (Ta (c)) = (c · a) · b−1 = c · a · b−1 = Ta·b−1 (c) .Следовательно, Ta ◦Tb−1 = Ta·b−1 ∈ H и по предложению 1 из §3 имеем H ≤ Sn .Рассмотрим отображение ϕ : G → H, определённое по правилу ϕ (g) =Tg .
Докажем, что ϕ — изоморфизм. По определению, ϕ сюръективно. Пустьϕ (a) = ϕ (b) ⇒ Ta = Tb . Тогда для любого x ∈ G справедливоTa (x) = x · a = Tb (x) = x · b ⇒ a = b ⇒ Ta = Tb .Таким образом, ϕ инъективно. Далее, для любых g1 , g2 ∈ G имеем ϕ (g1 · g2 ) =Tg1 ·g2 . Для любого x ∈ G имеем Tg1 ·g2 (x) = x · (g1 · g2 ) = (x · g1 ) · g2 =(Tg1 ◦ Tg2 ) (x) ⇒ Tg1 ·g2 = Tg1 ◦ Tg2 . Поэтому ϕ (g1 · g2 ) = Tg1 ·g2 = Tg1 ◦ Tg2 =ϕ (g1 ) ◦ ϕ (g2 ).
Следовательно, ϕ — изоморфизм и G ' H.¤§8.Смежные классы по подгруппе. Теорема ЛагранжаРассмотрим подгруппу H группы G.Определение. Множество gH = {gh : h ∈ H}, где g ∈ G, называетсялевым смежным классом группы G по подгруппе H, элемент g называютпредставителем этого класса.Лемма 1. H, K ≤ G.
Тогда gH = g1 K ⇔ H = K, g −1 · g1 ∈ H.Доказательство. “⇒” Существует k ∈ K такой, что g · e = g = g1 · k ⇒−1g1 ·g = k ∈ K и аналогично g −1 ·g1 ∈ H. Тогда для любого h ∈ H существует¡¢−1k ∈ K такой, что g · h = g1 · k ⇒ h = g −1 · g1 · k = g1−1 · g· k ∈ K. ПоэтомуH ⊆ K. АналогичноK¢⊆ H. Следовательно, K = H.¡ −1 доказываем,¢¡что −1−1“⇐” gH = g1 · g1 · g ·H = g1 · g · g1·H ⊆ g1 H, аналогично g1 H ⊆ gH.Поэтому g1 H = gH.¤Следствие 1. Два левых смежных класса G по H либо совпадают, либоне пересекаются.2. Группы, кольца, поля78Доказательство. Если gH ∩ g1 H 6= ∅, то ∃a ∈ gH ∩ g1 H ⇒ ∃h, h1 ∈ H :g · h = g1 · h1 ⇒ g −1 · g1 = h · h−1¤1 ∈ H ⇒ gH = g1 H.Теорема 1 (Лагранж).
Порядок конечной группы G делится на порядоклюбой её подгруппы H.Доказательство. Очевидно, что g ∈ gH для любого g ∈ G. ПоэтомуSgH. В силу следствия 1, можно выбрать все различные смежныеG =g∈Gклассы g1 H, . . . , gk H, где gi H ∩ gj H = ∅ при i 6= j и G =kSi=1gi H. Докажем,что |gi H| = |H|. Действительно, если gi ·h1 = gi ·h2 , то h1 = h2 . Следовательно,kP|G| =|gi · H| = k · |H|.¤i=1Множество всех различных левых смежных классов обозначается через(G/H)l . Их число называется (левым) индексом H в G и обозначается через(G : H)l .Таким образом, теорему Лагранжа можно записать следующим образом:|G| = |H| · (G : H)l .Аналогично определяются правые смежные классы и (G : H)r — их правыйиндекс в G, и доказывается, что|G| = |H| · (G : H)r .Следствие 2.
Порядок любого элемента конечной группы делит порядокгруппы. Группа простого порядка p всегда циклическая.Доказательство. По теореме 1 §3, имеем |g| = |hgi| для любого g ∈ G.По теореме Лагранжа |g| делит |G|. Пусть |G| = p и a ∈ G, a 6= e. Тогда |a|делит p, т. е. |a| = |hai| = p ⇒ hai = G.¤Обратное утверждение теоремы Лагранжа в общем случае не верно. Вгруппе A4 нет подгрупп порядка 6 (см.
задачи). Но для циклических группэто утверждение верно.Теорема 2. Всякая подгруппа циклической группы являетсяциклической. В циклической группе порядка n для любого делителя dчисла n существует единственная подгруппа порядка d.Доказательство. Пусть H ≤ Z = hZ; +i и k = min {m ∈ H}. Тогда ` =m>0k·q+r для любого ` ∈ H, при этом 0 ≤ r < k.
Следовательно, r = `−q·k ∈ H,r = 0, и H = {s · k : s ∈ Z} = hki — бесконечная циклическая группа. Болеетого, по лемме 2 §7, H ' Z.2. Группы, кольца, поля79Рассмотрим случай конечной циклической группы©ªG = e, a, . . . , an−1 = hai .Пусть H ≤ G и k = min {am ∈ H}. Как и в случае бесконечнойm>0циклической группы для любого am ∈ H имеем m = k · q + r, где 0 ≤ r < k.Тогда¡ ¢−qar = am−kq = am · ak∈ H ⇒ r = 0, k®т. е. H = a — конечная циклическая группа.Далее, пусть n = d · m и H = ham i. Найдем порядок элемента am .
Если|am | = s, то am·s = e и n делит m · s, следовательно, s ≥ d и |am | = d = |H|.Рассмотрим произвольную подгруппу K ≤ G порядка d. По доказанномуK = has i, где |as | = d. Имеем as·d = e, т. е. n делит s · d. Таким образом,d·m·l = s·d ⇒ m·l = s и m делит s. Следовательно, as ∈ ham i = H ⇒ K ⊆ H.¤Так как |K| = |H| = d, то K = H.§9.Нормальные подгруппы и фактор-группыПодгруппа H группы G называется нормальной, если gH = Hg для любогоg ∈ G.
Нормальная подгруппа обозначается H E G.Лемма 1. H E G ⇐⇒ g −1 Hg ⊆ H для любого g ∈ G.Доказательство. Пусть H EG. Тогда для любых h ∈ H, g ∈ G существуетh1 ∈ H такой, что gh1 = hg ⇒ g −1 hg = h1 ∈ H ⇒ g −1 Hg ⊆ H для любогоg ∈ G.Обратно, для любых h ∈ H, g ∈ G существуют h1 , h2 ∈ H : g −1 hg = h1 ⇒h·g = g·h1 ⊆ g·H ⇒ Hg ⊆ gH и ghg −1 = h2 ⇒ g·h = h2 ·g ∈ Hg ⇒ gH ⊆ Hg.Поэтому gH = Hg для любого g ∈ G.¤Отметим, что для любой H ≤ G справедливо∀g ∈ G ² g −1 Hg ⊆ H ⇔ ∀g ∈ G ² g −1 Hg = H;Действительно, если g −1 Hg ⊆ H для всех g ∈ G, то¡¢g −1 Hg ⊆ H ⊆ g −1 gHg −1 g ⊆ g −1 Hg ⇒ g −1 Hg = H.Определение фактор-группы. Пусть H E G.
Рассмотрим множествосмежных классовG/H = {gH : g ∈ G} .2. Группы, кольца, поля80Определим операцию на G/H по следующему правилу:g1 H · g2 H = (g1 · g2 ) H.Проверим корректность определения операции. Выберем другиепредставители в смежных классах g1 H и g2 H. Пусть aH = g1 H, bH = g2 H.Необходимо доказать, что (a · b) H = (g1 · g2 ) H.По лемме 1 §8 имеемg1 H = aH ⇒ a−1 · g1 = h1 ∈ H,g2 H = bH ⇒ b−1 · g2 = h2 ∈ H.Так как H E G, то b−1 · h1 = h3 · b−1 для некоторого h3 ∈ H. Поэтому(a · b)−1 · (g1 · g2 ) = b−1 · a−1 · g1 · g2 = b−1 · h1 · g2 = h3 · b−1 · g2 = h3 · h2 ∈ H.Следовательно, по лемме 1 §8, (a · b) H = (g1 · g2 ) H.Теорема 1. hG/H; ·i является группой.Доказательство. Для a ∈ G обозначим смежный класс aH через ā. Тогда,по определению умножения, ∀ā, b̄ ∈ G/H имеем ā · b̄ = a · b.
Проверимаксиомы группы.¡¢¡¢1) ∀ā, b̄, c̄ ∈ G/H : ā · b̄ · c̄ = a · b · c̄ = (a · b) · c = a · (b · c) = ā · b̄ · c̄ .2) ∀ā ∈ G/H : ē · ā = e · a = ā = a · e = ā · ē, т. е. ē — единица G/H.3) ∀ā ∈ G/H : ā · a−1 = a · a−1 = ē = a−1 · a = a−1 · ā.
Следовательно,ā−1 = a−1 .¤Рассмотрим произвольную подгруппу H ≤ Z. Так как Z — абелева группа,то H E Z. По теореме 2 из §8, H является циклической группой и имеет видH = nZ, где n ≥ 0. Пусть H 6= 0. Докажем, что Zn = Z/nZ при n > 0является циклической группой порядка n.Теорема 2. Zn = Z/nZ — циклическая группа порядка n.Доказательство.
Для любого a ∈ Z имеем a = n · q + r, где 0 ≤ r < n.Поэтому ā = r̄. Причем ā = b̄ ⇔ a ≡ b (mod n). Поэтому Z/nZ состоитиз следующих смежных классов: 0̄, 1̄, . . . , n − 1. Очевидно, что |1̄| = n.Следовательно, Z/nZ = h1̄i — циклическая группа порядка n.¤В силу леммы 2 из §7 и доказанной теоремы имеемСледствие 1. Все циклические группы порядка n изоморфны Zn .2.
Группы, кольца, поля§10.81Основная теорема о гомоморфизмах группПусть G, G0 — группы и ϕ : G → G0 — эпиморфизм. Найдём некотороеописание группы G0 .Теорема 1. Пусть ϕ : G → G0 — эпиморфизм групп. Тогда Ker ϕ E G иG0 ' G/Ker ϕ.Обратно, если H E G, то ψ(g) = ḡ есть эпиморфизм G на G/H и Ker ψ =H.Доказательство.
Обозначим Ker ϕ = H. По лемме 1 §7, H ≤ G. Легковидеть, что g −1 Hg ⊆ H.Определим отображение ϕ̃ : G/H → G0 по правилу ϕ̃ (ḡ) = ϕ (g) дляḡ ∈ G/H.Проверим корректность определения этого отображения. Пусть ḡ =gH, ā = aH и ḡ = ā.¡ Докажем,что ϕ(g) = ϕ(a). По лемме 1 §8, ḡ = ā ⇔¢−1−1a · g ∈ Ker ϕ ⇔ ϕ a · g = e0 = ϕ (a)−1 · ϕ (g) ⇔ ϕ (a) = ϕ (g), где e0— единица G0 . Докажем, что ϕ̃ — изоморфизм групп G/H и G0 .
Для любого0= a0 , поэтому ϕ̃a0 ∈ G0 существует такой a ∈ G,¡ что¢ ϕ(a) = a . Тогда ϕ̃ (ā) −1сюръективно.Далее, ϕ̃ (ā) = ϕ̃ b̄ ⇔ ϕ (a) = ϕ (b) ⇔ ϕ (a) · ϕ (b) = e0 ⇔¡ −1 ¢ϕ a · b = e0 ⇔ a−1 · b ∈ H ⇔ ā = b̄. Следовательно, ϕ̃ — биективноеотображение G/H на G0 .¡¢¡¢Для любыхā,b̄∈G/Hимеемϕ̃ā·b̄=ϕ̃a·b= ϕ (a · b) = ϕ (a)·ϕ (b) =¡ ¢0ϕ̃ (ā) · ϕ̃ b̄ . Таким образом, G/H ' G .Обратно, отображение ψ : G → G/H, где ψ(g) = ḡ, сюръективно и, таккакψ (g1 · g2 ) = g1 · g2 = ḡ1 · ḡ2 = ψ (g1 ) · ψ (g2 ) , то ψ — эпиморфизм.
Далее,a ∈ Ker ψ ⇔ ψ (a) = ā = ē ⇔ a ∈ H ⇒ Ker ψ = H. ¤§11.Примеры и свойства колец. Кольца многочленов иформальных степенных рядовАлгебраическая система K = hK; +, ·i, K 6= ∅, с двумя бинарнымиоперациями + (сложение) и · (умножение) называется кольцом, если hK; +i— абелева группа и a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · a = b · a + c · a для любыхa, b, c ∈ K.Алгебраическую систему hK; +i называют аддитивной группой кольца K.Если hK; ·i — полугруппа, то кольцо называется ассоциативным, аалгебраическую систему hK; ·i называют мультипликативной полугруппой2. Группы, кольца, поля82кольца K.Если hK; ·i — моноид, то K — кольцо с единицей.Если a · b = b · a для любых a, b ∈ K, то кольцо K называюткоммутативным.Подмножество H ⊆ K называют подкольцом, если H — кольцоотносительно операций кольца K.Примеры: 1) hZ; +, ·i ⊆ hQ; +, ·i ⊆ hR; +, ·i ;2) hMn (Z) ; +, ·i ⊆ hMn (Q) ; +, ·i ⊆ hMn (R) ; +, ·i ;3) Кольца функций относительно обычного сложения и умножениявещественных функций: C 1 [0, 1] (кольцо дифференцируемых функций на[0, 1]) ⊆ C[0, 1] (непрерывных) ⊆ Rогр [0, 1] (ограниченных) ⊆ R[0, 1] (всех);4) Пусть hA; +i — произвольная абелева группа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
