1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ТогдаhS(X); ◦i — группа (§17).• Пусть P (X) = {Y : Y ⊆ X} — множество всех подмножествX. Нетрудно проверить, что hP (X); ∩i, hP (X); ∪i — коммутативныеполугруппы.• GL(n, F ) = hA : A ∈ Mn (F ), |A| 6= 0; ·i — полная линейная группастепени n над F . Аксиома (G1) доказана в §17; (G2): A·E = E·A = A для всех1A ∈ Mn (F ), det(E) = 1 6= 0; (G3): det(A) 6= 0 ⇒ A−1 = det(A)· A∗ ∈ GL(n, F ).• SL(n, F ) = h{A : A ∈ Mn (F ), det(A) = 1}, ·i — специальнаялинейная¡¢−1группаn над F .
(G3): det (A) = 1 ⇒ det A · A= det (A) ·¡ −1степени¢−1det A= det (E) ⇒ A ∈ SL (n, F ) .• SL (n, Z) ⊆ SL (n, Q) ⊆ SL (n, R) , GL (n, Q) ⊆ GL (n, R) — цепочкавключений групп.Пусть hX; ·i — группоид и x1 , . . . , xn — упорядоченная последовательностьэлементов из X. Обозначим через en число всех возможных элементов X,полученных из x1 · . . . · xn различной естественной расстановкой скобок, неменяя порядка самих элементов. Например,e 1 = 1 : x1 ; e 2 = 1 : x1 · x2 ;e3 = 2 : (x1 · x2 ) · x3 , x1 · (x2 · x3 ), если эти элементы различны;e4 = 5 : ((x1 ·x2 )·x3 )·x4 , (x1 · (x2 · x3 )) · x4 , x1 · (x2 · (x3 · x4 )), x1 · ((x2 · x3 ) · x4 ),(x1 · x2 ) · (x3 · x4 ), если все эти элементы различны.2.
Группы, кольца, поля66Теорема 1 (об обобщенной ассоциативности). Если бинарная операцияна X ассоциативна, то en = 1, т. е. результат ее последовательногоприменения к n элементам множества X не зависит от способарасстановки скобок.nQДоказательство. Обозначимxi = ((. . . (x1 · x2 ) · x3 ) · . .
. · xn−1 ) · xn .i=1Докажем индукцией по n, что для любой расстановки скобок τ на x1 , . . . , xn ,имеемnYτ (x1 , . . . , xn ) =xi .i=1При n = 1, 2 доказывать нечего. При n = 3(x1 · x2 ) · x3 = x1 · (x2 · x3 ) =3Yxi ,i=1что следует из аксиомы ассоциативности.
Пусть для любых k, 3 ≤ k < nутверждение справедливо. Тогда по предложению индукцииà i! à n!YYτ (x1 , . . . , xn ) = τ1 (x1 , . . . , xi ) · τ2 (xi+1 , . . . , xn ) =xk ·xk .µn−1Q¶k=1¶µk=i+1nQxk .· xn =k=1k=1µ i¶ µµ n−1¶¶QQЕсли i < n − 1, то τ (x1 , . . .
, xn ) =xk ·xk · x n =k=1¶¶µµ i¶ µ n−1µn−1 ¶ k=i+1 nQQQQ=xk ·xk· xn =xk · xn =xk .Если i = n − 1, то τ (x1 , . . . , xn ) =(G1)§3.k=1k=i+1индукцияxkk=1¤k=1Подгруппы,циклическиегруппы.Порядокэлемента и порядок порождённой им циклическойгруппыНепустое подмножество H группы G называется подгруппой в G, если H —группа относительно операции группы G. Обозначается H ≤ G.Предложение 1. Пусть G — группа, H ⊆ G, H 6= ∅. Тогда H —подгруппа ⇐⇒ для любых a, b ∈ H верно a · b−1 ∈ H.Доказательство.
Необходимость следует из определения подгруппы.Обратно, пусть a ∈ H. Тогда a · a−1 = e ∈ H. Поэтому e · b−1 = b−1 ∈ H2. Группы, кольца, поля67¡ ¢−1и a · b−1= a · b ∈ H для любых a, b ∈ H. Следовательно, H — подгруппав G.¤Определим целую степень произвольного элемента a ∈ G, где G — группа:a. . · a},n ∈ N, n > 0;| · .{z n разne,n = 0;a =(1)−1−1a · .{z. . · a }, n ∈ Z, n < 0.|−n разЛемма 1. Пусть G — группа, a ∈ G. Тогда для любых n, m ∈ Zвыполняется:1) an+m = an · am ; 2) (an )m = an·m .Доказательство.
1) При n, m > 0 либо n = 0, m ∈ Z, m = 0, n ∈ Z, пункт1) следует из (1). При n, m < 0−1−1an+m = a. . · a−1} = |a−1 · .{z. . · a−1} · a. . · a−1} = an · am .| · .{z| · .{z−(n+m) раз−n раз−m разПри n > 0, m < 0 n−(−m)= an+m ,при n > −m;an+m−1−1nme=a,при n = −m;. . · a} · a.. · a } =a ·a =a| · .{z| · .{z¡ −1 ¢−m−nn раз−m разa= an+m , при n < −m.Аналогично рассматривается случай n < 0, m > 0.n2. При m > 0 имеем (an )m = a. . · an} = an·m ; (an )m = e = an·0 = an·m| · .{zпри m = 0, а при m < 0 получаемm раз−n(an )m = (an )−1 · .
. . · (an )−1 = a· .{z. . · a−n} = a−n·(−m) = an·m .||{z}−m раз−m разПредложение 2. Пусть G — группа, a ∈ G. Тогда hai := {ak : k ∈ Z} —подгруппа в G.Доказательство. Элемент a ∈ hai, поэтому hai 6= ∅. Для любых n, m ∈ Zимеем an · a−m = an−m ∈ hai. По предложению 1, hai — подгруппа в G.¤Группа hai называется подгруппой в G, порождённой элементом a.Группа G называется циклической, если существует a ∈ G такой, чтоG = hai. Элемент a в этом случае называется порождающим группы G.Если группа содержит бесконечное число элементов, то она называется2. Группы, кольца, поля68бесконечной; в противном случае группа называется конечной, а число еёэлементов называется порядком группы.Примеры: 1) hZ, +i = h1i.
2) Z2 = h{+1, −1} , ·i = h−1i .Рассмотрим произвольную группу G и a ∈ G. Для элемента a возможны2 случая:1) an 6= am для любых n 6= m ∈ N. В этом случае элемент a называютэлементом бесконечного порядка и обозначают |a| := +∞.2) ∃n, m ∈ N, n 6= m : am = an ⇒ ∃k ∈ N : ak = e ⇒ ∃s =min {n ∈ N : an = e} . В этом случае элемент a называют элементом порядкаs и обозначают |a| := s.Теорема 1.
Пусть G — группа. Тогда1) для любого a ∈ G имеем |a| = | hai |;2) если |a| = k < ∞, то hai = {e, a, a2 , . . . , ak−1 };3) если m ∈ Z, то am = e ⇔ k делит m.Доказательство. Если |a| = +∞, то очевидно, что | hai | = +∞. Пусть|a| = k, тогда по определению все элементы e, a, .
. . , ak−1 различны. Далее,для любого m ∈ Z имеем m = k · p + q, где 0 ≤ q < k. Поэтому¡ ¢p©ªam = a(k·p+q) = ak · aq = ep · aq = aq ∈ e, a, . . . , ak−1 .©ªСледовательно, hai = e, a, . . . , ak−1 . Причем, am = aq = e ⇔ q = 0, т. е.k/m.¤§4.Симметрическая группа. Разложение подстановкина независимые циклыПусть X — множество из n элементов. Множество S(X) всех взаимнооднозначных отображений множества X на X относительно операциисуперпозиции отображений называется симметрической группой степени nи обозначается через Sn , т. е.
Sn = hS (X) ; ◦i. Для простоты изложениячасто полагают X = {1, 2, . . . , n}. Элементы Sn называются подстановками.Их принято обозначать строчными греческими буквами, тождественноеотображение (или единицу в Sn ) обозначают через id.Пусть τ ∈ Sn ; τ (1) =µ i1 , . . . , τ (n) =¶ in . Тогда данную подстановку1 2 ··· nобозначают через τ =.
Такая запись в две строкиi1 i2 · · · in2. Группы, кольца, поля69позволяет легко перемножать подстановки:µ¶µ¶1 2 ··· ni1 · · · in,τ =, тогдаσ=i1 i 2 · · · inj1 · · · jnµ¶ µ¶ µ¶1 2 ··· ni1 · · · in1 2 ··· nσ·τ =·=,i1 i2 · · · inj1 · · · jnj1 j2 · · · jnσ · τ (s) =µτ (σ (s)) = τ (is )¶= js ; а такжеэлемент:µ находить обратный¶1 2 ··· ni1 i2 · · · inесли σ =, то σ −1 =.i1 i2 · · · in1 2 ··· nГруппа Sn не является коммутативной:µ¶ µ¶ µ¶1 2 31 2 31 2 3·=6=1 3 23 1 23 2 1µ¶ µ¶ µ¶1 2 31 2 31 2 3=·.2 1 33 1 21 3 2Легко подсчитать, что |Sn | = n!µ¶1 2 ··· i ··· j ··· nПодстановка τ=называется1 2 ··· j ··· i ··· nтранспозицией и обозначается через τ = (ij). Символ i называетсядействительно перемещаемым для σ ∈ Sn , если σ (i) 6= i.
Обозначим черезD(σ) множество всех действительно перемещаемых символов для σ, т. е.D (σ) = {i : σ (i) 6= i, 1 ≤ i ≤ n}.Подстановка σ называется циклом длины k, если©ªD (σ) = i, σ (i) , . . . , σ k−1 (i) ,где σ k (i) = i и обозначается σ = (i1 i2 . . . ik ), где i1 = i, i2 = σ(i), . . . , ik =σ k−1 (i), т. е.µ¶1 2 · · · i1 · · · i2 · · · ik · · · nσ=.1 2 · · · i2 · · · i3 · · · i1 · · · nОчевидно, что σ k = id и (i1 , .
. . , ik ) = (is , . . . , ik , i1 , . . . , is−1 ) для любого s =2, . . . , k.Предложение 1. Для любой подстановки σ ∈ Sn справедливо:1) D (σ) = ∅ ⇔ σ = id;2) i ∈/ D (σ) ⇔ σ (i) ∈/ D (σ) ⇔ σ −1 (i) ∈/ D (σ) ;3) i ∈ D (σ) ⇔ σ (i) ∈ D (σ) ⇔ σ −1 (i) ∈ D (σ) ;2. Группы, кольца, поля704) если i ∈ D (σ), то существует k© ∈ N такое, ª чтоk−1i,σ k (i) = i; еслиª j ∈ i, σ (i) , .
. . , σ k−1 (i) , то© σ (i) , . . . , σ k−1(i) различные,ª ©i, σ (i) , . . . , σ(i) = j, σ (j) , . . . , σ k−1 (j) и σ k (j) = j.Доказательство. 1) Очевидно. 2) Действительно, если i 6∈ D(σ), то σ(i) =i и σ −1 (i) = i. 3) Следует из 2). 4) В силу свойства 3), существуют s > t >0 : σ s (i) = σ t ©(i) ⇒ σ s−t (i) = i. ªПусть k = min {s ∈ N : σ s (i) = i}. Тогдаочевидно, что i, σ (i) , . . . , σ k−1 (i) — различные и σ©k (i) = i. Так ªкак σ —взаимнооднозначноеª отображение,то для любогоj ∈ i, .
. . , σ k−1 (i) имеем:©©ª¤i, σ (i) , . . . , σ k−1 (i) = j, σ (j) , . . . , σ k−1 (j) и σ k (j) = j.Подстановки σ и τ называются независимыми, если D (σ) ∩ D (τ ) = ∅.Лемма 1. Если σ и τ — независимые подстановки, то σ · τ = τ · σ.Доказательство. Пусть i ∈/ D (σ) ∪ D (τ ). Тогда σ · τ (i) = τ (σ (i)) = i =τ · σ (i) . Если i ∈ D (σ), то i 6∈ D (τ ) . Тогда σ (i) ∈ D (σ) , σ (i) ∈/ D (τ )и τ (i) = i. Поэтому σ · τ (i) = τ (σ (i)) = σ (i), τ · σ (i) = σ (τ (i)) = σ (i)./ D (σ) и i ∈ D (τ ). Поэтому дляАналогично рассматривается случай i ∈любого i, 1 ≤ i ≤ n, σ · τ (i) = τ · σ (i) ⇒ τ · σ = σ · τ .¤Теорема 1.
Каждая не единичная подстановка есть произведениепопарно независимых циклов. Это разложение однозначно с точностью доперестановки.Доказательство. Докажем существование такого разложения. Так какD (τ ) 6= ∅, то, в силу 4) Предложения 1, множество D (τ ) можно представитьв видеk[©ªD (τ ) =ip , τ (ip ) , . . . , τ sp −1 (ip ) ,p=1где для любого p, 1 ≤ p ≤ k, ip , τ (ip ) , .
. . , τ sp −1 (ip ) различны, τ sp (ip ) = ip и,при p 6= q,©ª ©ªip , τ (ip ) , . . . , τ sp −1 (ip ) ∩ iq , τ (iq ) , . . . , τ sq −1 (iq ) = ∅.¡¢Обозначим σp = ip τ (ip ) . . . τ sp −1 (ip ) , p = 1, . . . , k. Тогда τ = σ1 · . . . · σkkS— искомое разложение. Действительно, D (τ ) =D (σp ) и для любого i ∈p=1D (τ ) существует единственное p, 1 ≤ p ≤ k, такое, что i ∈ D (σp ). Поэтомуτ (i) = σ1 · . . .
· σk (i) = σp (i). Докажем единственность разложения. Пустьτ = σ1 · . . . · σk = τ1 · . . . · τm — два разложения в произведение попарнонезависимых циклов. Тогда для любого i ∈ D (τ ) существуют единственныеσp и τs такие, что i ∈ D (σp ) и i ∈ D (τs ). Поэтому τ (i) = σp (i) = τs (i) и,2. Группы, кольца, поля71в силу свойства 2) Предложения 1, σp (i) ∈ D (σp ) и τs (i) ∈ D (τs ). Поэтомуτ 2 (i) = σp2 (i) = τs2 (i), где σp2 (i) ∈ D (σp ) и τs2 (i) ∈ D (τs ). Продолжая такдалее, для любого k ∈ N имеем τ k (i) = σpk (i) = τsk (i). Следовательно, σp = τsи σ1 · . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
