1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При этом вложение f : A → Q (A), где f (a) = a/1, являетсяизоморфизмом между A и f (A).Доказательство. Легко видеть, что(a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f ) ,−a/b + a/b = 0, a/b + 0/b = a/b, a/b + c/d = c/d + a/b,(a/b · c/d) · e/f = a/b · (c/d · e/f ) , a/b · 1/1 = a/b,a/b · b/a = 1/1, a, b 6= 0, a/b · c/d = c/d · a/b.Таким образом, Q(A) — поле.Пусть Ā = f (A). Тогда f (a + b) = (a + b)/1 = a/1 + b/1 = f (a) + f (b)и f (a · b) = (a · b)/1 = a/1 · b/1 = f (a) · f (b).
Далее, f (a) = f (b) ⇔ a/1 =¤b/1 ⇔ a = b. Таким образом, f — изоморфизм A на Ā.Пример: Q (Z) = Q, Z ⊆ Q.Рассмотрим кольцо многочленов F [x] и кольцо формальных степенныхрядов F [[x]]. Выясним, что из себя представляют Q(F [x]), Q(F [[x]]).Пусть f = a0 + ak xk + ak+1 xk+1 + . . . ∈ F [[x]] и ak =6 0. Назовемнижней степенью элемента f число v(f ) = k = min {k : ak 6= 0}.
Положимk≥1¡¢2v a0 + 0 · x + 0 · x + . . . = ∞.Лемма 1. Пусть F — целостное кольцо. Тогда F [[x]] — целостноекольцо.Доказательство. Пустьf = ak xk + ak+1 xk+1 + . . . ∈ F [[x]], ak 6= 0,g = bm xm + bm+1 xm+1 + . . . ∈ F [[x]], bm 6= 0,тогда f · g = ak bm xk+m + . . . 6= 0.¤Лемма 2. Пусть f = 1 + h, где h = a1 x + a2 x2 + . . .. Положим g =1 − h + h2 − h3 + . . .. Тогда f · g = 1.Доказательство. Если v (f ) = ∞, то h = 0 и f = 1 = g, т. е. f · g = 1.Пусть v (f ) < ∞. Тогда v (g) = v (h) < ∞. Пусть v (f · g) = k < ∞. Тогда¡¢¡¢f · g = (1 + h) 1 − h + h2 − h3 + . . .
− h2k+1 + (1 + h) h2k+2 − h2k+3 + . . . =¡¢= 1 − h2k+2 + (1 + h) h2k+2 − h2k+3 + . . . =2. Группы, кольца, поля95¡¢¡¢= 1 − h2k+2 + h2k+2 − h2k+3 + . . . +h h2k+2 − h2k+3 + . . . .Ã=f1!¡¢v (f · g) ≥ min v h2k+2 , v (f1 ) , v (f2 )≥2k+2=f2≥ 2k + 2.≥2k+2 ≥2k+2Следовательно, v (f · g) = +∞ и f · g = 1.¤nof (x)Поле Q (F [x]) = F (x) =называется полемg(x) : g(x) 6= 0рациональных дробей. Поле Q (F [[x]]) = F ((x)) называется полем рядовЛорана.∞Pai xi∞Pi=0Обозначим элемент xk из F ((x)) черезai xi . Докажем следующееравенство:(F ((x)) =i=−k∞X)ai xi : ai ∈ F, k ∈ N .i=−kПусть g = ck xk (1 + h), где ck 6= 0, k ∈ N, h ∈ F ((x)). Тогда¡¢∞23Xc−1f·1−h+h−h+...ffk===ai xi .kkgck x (1 + h)xi=−k2. Группы, кольца, поля§17.96Задачи1.
Доказать, что во всякой конечной полугруппе найдется идемпотент, т. е.элемент e такой, что e2 = e.2. Найти формулу числа различных расстановок скобок в неассоциативномслове.3. Пусть S — множество и ∗ — бинарная операция на S такая что x∗(x∗y) =y, (y ∗ x) ∗ x = y для любых x, y ∈ S. Показать, что ∗ коммутативна, ноне обязательно ассоциативна.4. Пусть S — множество и ∗ — бинарная операция на S такая что x ∗x = x, (x ∗ y) ∗ z = (y ∗ z) ∗ x для любых x, y, z ∈ S. Показать, что ∗коммутативна и ассоциативна.5. Доказать, что {a1 , . . .
, a12 : f (ai ) = ai+1 } ∼= {a1 , . . . , a12 : g(ai ) = ai−1 }.6. Доказать, что {a1 , . . . , a12 : f (ai ) = ai+1 } 6∼= {a1 , . . . , a12 : g(ai ) = ai+2 }.7. Верно ли, что если F — конечное множество (|F | ≥ 2), то существуетбинарная операция ∗ на F такая, что для любых x, y, z ∈ F1) x ∗ z = y ∗ z влечет x = y (правое сокращение);2) x ∗ (y ∗ z) 6= (x ∗ y) ∗ z (нет ассоциативности).8. Доказать, что корни n-й степени из единицы образуют группуотносительно операции умножения комплексных чисел.9. Доказать, что конечное множество G, в котором определенаассоциативная бинарная операция и каждое уравнение ax = b,ya = b для любых a, b ∈ G имеет в G не более одного решения, являетсягруппой.10.
Доказать, что в группе A4 нет подгрупп порядка 6.µ¶µ¶0 10 111. Группа SL(2, Z) содержит элементы A =,B=.−1 0−1 −1Найти порядки A и B. Показать, что hA · Bi ∼= hZ; +i.12. Доказать, что группа чётного порядка содержит элемент порядка 2.13. Рассмотрим группу рациональных чисел по сложению (Q, +). Пусть G ={ 2nk : n, k ∈ Z} и G0 = { 3nk : n, k ∈ Z}. Показать, что G и G0 — подгруппыв (Q, +). Выяснить, будут ли группы G и G0 изоморфны?2. Группы, кольца, поля9714. Пусть A = (Z2 ; +) и H = h(3, 8), (4, −1), (5, 4)i ≤ A. Тогда H имеетдругое множество порождающих вида H = h(1, b), (0, a)i для некоторыхa, b ∈ Z, a > 0.
Найти a.15. Пусть в группе порядок любого не единичного элемента равен двум.Доказать, что группа абелева.16. Пусть G — группа, порождённая элементами A и B такими, что A4 =B 7 = ABA−1 B = 1, A2 6= 1, B 6= 1. Сколько элементов из G имеютвид c2 (являются квадратами) для некоторого c ∈ G? Выписать каждыйквадрат как слово от A и B.17. Пусть A, B — элементы группы G такие, что ABA = BA2 B, A3 = 1 иB 2n−1 = 1 для некоторого n ∈ N. Доказать, что B = 1.18.
Пусть G — группа матриц порядка n с определителем ±1 и Sn —симметрическая группа степени n. Для каждой перестановки σ ∈ Snопределим матрицу Aσ = (aij ) из G, полагая½0, если σ(i) 6= j,aij =1, если σ(i) = j.Проверить, что отображение π : Sn 7→ G, заданное правилом π : σ 7→ Aσ ,является гомоморфизмом групп.19.
Известно, что для элементов u1 , u2 , v1 , v2 группы G выполняютсяравенства: u1 v1 = v1 u1 = u2 v2 = v2 u2 , up11 = up21 = v1p2 = v2p2 = e, где p1 , p2— взаимно простые натуральные числа. Доказать, что u1 = u2 , v1 = v2 .20. На множестве комплексных чисел C определим новую операциюумноженияz ¯ u = zu,где u — комплексно сопряженное число к числу u. Будет ли (C, +, ¯)ассоциативным кольцом?√21. Пусть K = {a + b −5 : a, b ∈ Z}. Показать,что K — кольцо с√разложением на простые√ множители,√ 3 и 2 ± −5 — простые элементыв K, и 9 = 3 · 3 = (2 + −5)(2 − −5).22.
Доказать, что кольца Z и P [x], где P — поле, являются факториальнымикольцами.2. Группы, кольца, поля98Pk23. Является ли Евклидовым кольцо F [t, t−1 ] = {N} лорановских многочленов над полем F ?i=−kαi xi : αi ∈ F, k ∈24. ПустьR¶— поле действительных чисел. Показать, что матрицы видаµa bобразуют подкольцо кольца hMn (R) , +, ·i .2b a25. Пусть R — полечисел. Показать, что множествоµ действительных¶a −bK матриц видаобразует подкольцо кольца hM2 (R) , +, ·i .b aЯвляется ли это подкольцо полем? Доказать, что в K разрешимоуравнение x2 + 1 = 0.26.
Пусть A — конечномерная ассоциативная алгебра над полем F .Доказать, что если A имеет базис из нильпотентных элементов, то Aнильпотентна.27. Какой наименьший порядок имееткоммутативное кольцо с единицей?конечноеассоциативное28. В кольце Z21 вычетов по модулю 21:1) найти все обратимые (по умножению) элементы с указанием ихобратных;2) указать все собственные максимальные идеалы кольца Z21 ;3) проверить, будет ли мультипликативная группа (группа поумножению) обратимых элементов циклической.29. Пусть (Z, +, ·) — кольцо целых чисел, Z[x] и Zm [x] — кольца многочленовот переменной x. Доказать, что отображениеφ : Z[x] 7→ Zm [x],PPзаданное правилом φ( i ai xi ) = i {ai }m xi , является гомоморфизмомколец.
Найти Ker φ.30. Пусть I — идеал кольца F [x]. Тогда I = f (x)F [x]. Доказать, что элементg(x) + I обратим в фактор-кольце F [x]/I тогда и только тогда, когда(g(x), f (x)) = 1. Найти (g(x) + I)−1 , если g(x) + I обратим.Предметный указательаргументкомплексного числа, 13базис, 27вектор, 24векторылинейно зависимые, 26линейно независимые, 26гомоморфизмгрупп, 74колец, 86группа, 64, 65абелева, 64бесконечная, 68знакопеременная, 73конечная, 68линейная полная, 65линейная специальная, 65симметрическая, 68циклическая, 67группоид, 64группыизоморфные, 75декремент, 71делительнуля, 84детерминант, 51дополнениеалгебраическое, 52единицаматричная, 33знакподстановки, 72идеал, 86максимальный, 92изоморфизмгрупп, 75колец, 87пространств, 29индексподгруппы, 78класссмежный, 77кольцаизоморфные, 87кольцо, 81Zn , 88ассоциативное, 81вычетов, 88коммутативное, 82степенных рядов, 85целостное, 93координаты, 29кореньиз единицы, 14коэффициентысистемы, 15матрица, 18единичная, 39квадратная, 39992.
Группы, кольца, поляневырожденная, 39обратимая, 39обратная, 39преобразования, 36присоединённая, 58расширенная, 20системы, 20ступенчатая, 19транспонированная, 42матрицыэквивалентные, 45минор, 51многообразиелинейное, 49многочлен, 82модулькомплексного числа, 13моноид, 65мономорфизмколец, 87неизвестная, 82неизвестныесистемы, 15областьцелостности, 84оболочкалинейная, 25образ, 29ограничениеотображения, 43операцияn-арная, 63бинарная, 11ассоциативная, 11, 64коммутативная, 11, 64определитель, 51отношение, 14100бинарное, 14эквивалентности, 14отображениебиективное, 29единичное, 38инъективное, 29кососимметричное, 55невырожденное, 41обратимое, 38обратное, 38полилинейное, 55сюръективное, 29тождественное, 38переменная, 82переменныеглавные, 22, 46свободные, 46пересечениепространств, 31подгруппа, 66нормальная, 79порождённая элементом, 67подкольцо, 82подполе, 89подпространство, 25подсистема, 63подстановка, 68нечётная, 73чётная, 73подстановкинезависимые, 70поле, 12, 89вычетов, 93Галуа, 89комплексных чисел, 12простое, 89рациональных дробей, 952.
Группы, кольца, поля101рядов Лорана, 95частных, 94полугруппа, 65кольца мультипликативная, 82порядокгруппы, 68элемента, 68представителькласса, 77пременныесвободные, 22преобразованиеэлементарное, 45I типа, 17, 18II типа, 17, 18III типа, 44проекция, 33произведениедекартово, 11пространствовекторное, 23конечномерное, 27линейное, 23решений, 25строк, 24свободныечлены системы, 15системаалгебраическая, 63неопределённая, 16несовместная, 16однородная, 15определённая, 16приведённая, 16решений фундаментальная, 48совместная, 16ступенчатая, 21системыэквивалентные, 16скаляр, 12, 24степеньдекартова, 11многочлена, 84элемента группы, 67строкаматрицы, 18суммапространств, 31пространств прямая, 32суперпозиция, 36разбиение, 15размерность, 28ранг матрицы, 42вертикальный, 41горизонтальный, 41по минорам, 60по столбцам, 41по строкам, 41расширениеполя, 89решениесистемы, 16тело, 89теоремаКронекера-Капелли, 47Кэли, 76Лагранжа, 78о гомоморфизмах групп, 81о гомоморфизмах колец, 88о простом подполе, 89о разложении определителя, 57об обобщенной ассоциативности,66об окаймляющем миноре, 602.
Группы, кольца, полятранспозиция, 69умножениестроки на матрицу, 34фактор-группа, 79фактор-кольцо, 87формулаМуавра, 13разложения определителя, 52формулыКрамера, 59характеристикаполя, 91цикл, 69элементбесконечного порядка, 68единичный, 64конечного порядка, 68нулевой, 23обратный, 12, 65порождающий, 67эпиморфизмгрупп, 75колец, 87ядрогомоморфизма групп, 75гомоморфизма колец, 86линейного отображения, 40102.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
