1610841784-463c26116a5e3abf296bc1361fe36f52 (824188), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Совершим те же элементарные преобразования со строками C2 , . . . , Cmматрицы C и получим ступенчатую матрицу0 · · · 0 b1j · · ¯· · · · b1n¯ 0 ··· 0 0¯D = .¯¯ D̄¯00 0¯¤Рассмотрим с.л.у. a11 x1 + . . . + a1n xn = b1 ,−−−−−−−−−(1)am1 x1 + . . . + amn xn = bm .a11 · · · a1n..  ∈ M (F ) называется матрицей с.л.у. (1),Матрица A =  ....m,nam1 · · · amna11 · · · a1n b1....

 ∈ Mматрица A =  .....m,n+1 (F ) называется расширеннойam1 · · · amn bmматрицей системы (1). Расширенную матрицу A формально записывают в1. Векторные пространства. Матрицы и определители21b1виде A = (A|B), где B =  ...  ∈ Mm,1 (F ) — столбец свободных членовbmс.л.у. (1).Таким образом, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствиемежду с.л.у. размерности m × (n + 1) и множеством матриц Mm,n+1 (F ).Нетрудно заметить, что элементарным преобразованиям с.л.у.

однозначносоответствуют элементарные преобразования матриц и наоборот.С.л.у. (1) называется системой ступенчатого вида, если расширеннаяматрица A системы (1) является ступенчатой.Теорема 1. Всякая с.л.у. (1) эквивалентна с.л.у. ступенчатого вида.Доказательство.

В силу леммы 1, приведем расширенную матрицу Aсистемы элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Совершаяте же элементарные преобразования с системой, приведем ее к системеступенчатого вида. По теореме 1 §6, полученная ступенчатая система¤эквивалентна (1).§8.Исследованиесистемлинейныхуравнений.Необходимые и достаточные условия совместностии определенностиИсследуем с.л.у. a11 x1 + . . . + a1n xn = b1 ,−−−−−−−−−−−am1 x1 + .

. . + amn xn = bm .(1)Если расширенная матрица системы A нулевая, то, очевидно, системасовместна и имеет бесконечное множество решений S = F n . Пусть A 6= 0.Приведем ее элементарными преобразованиями к системе ступенчатого вида:c1k1 xk1 + . . . . . . + c1n xn = d1 ,− − − − − − − − −−crkr xkr + . . . + crn xn = dr ,0 = dr+1 ,(2)0 = 0,...0 = 0,1. Векторные пространства.

Матрицы и определители22где c1k1 , . . . , crkr 6= 0, 1 ≤ k1 < . . . < kr ≤ n. В силу теоремы 1 §7, (1) ≈ (2).Поэтому для исследования системы (1) достаточно исследовать систему (2).1) Несовместность. Если в системе (2) dr+1 6= 0, то система (2)несовместна. Так как уравнению 0·x1 +. .

.+0·xn = dr+1 6= 0 не удовлетворяетникакой набор (y1 , . . . , yn ) ∈ F n .2) Совместность. Пусть dr+1 = 0. Докажем, что система (2) совместна.Имеемc1k1 xk1 + . . . + c1n xn = d1 , c1k1 6= 0,−−−−−−−−−−−−−−−−−(3)crkr xkr + . . . + crn xn = dr , crkr 6= 0,где 1 ≤ k1 < .

. . < kr ≤ n, 1 ≤ r ≤ n.Переменные xk1 , . . . , xkr назовем главными, все остальные переменные —свободными. Заметим, что по определению мы имеем r главных переменныхи (n − r) свободных переменных.Введем обозначения для линейных комбинаций свободных переменных,входящих в каждое уравнение (3):P`1 = `1 (x1 , .

. . , xbk1 , . . . , xbkr , . . . , xn ) =c1i xi ,i6=k1 ,...,kr−−−−−−−−−−−−−−−−−−P− − −−bk1 , . . . , xbkr , . . . , xn ) =cri xi `r = `r (x1 , . . . , xi6=k1 ,...,krb означает отсутствие выражения X). Тогда(здесь и всюду далее символ X¶µrPxk1 = c1k1 d1 − `1 −c1ki xki ,1i=2−−−−−−−−−−−−−−−(4)1xkr−1 = cr−1k (dr−1 − `r−1 − crkr xkr ) ,r−1 x = 1 (d − ` ) .krrrcrkrПридадим свободным переменным произвольные значения из F иподставим их в (4). Тогда из последнего уравнения однозначно найдем xkr ,подставим это значение в (r − 1)-ое уравнение и однозначно найдем xkr−1 .Продолжая так далее, подставим найденные значения в первое уравнение иоднозначно найдем x1 .

Следовательно, система (2) (а потому и (1)) совместна.Найденные решения из (4) называются общим решением системы (1).c) Определенность. Если система (3) содержит хотя бы одну свободнуюпеременную, то она, очевидно, является неопределенной, т.

е. если r < n, тосистема (3), а, следовательно, (2) и (1) являются неопределенными. Пусть1. Векторные пространства. Матрицы и определители23система (3) не содержит свободных переменных, т. е. r = n. Тогда в системе(4) n уравнений и отсутствуют `1 , . . . , `r .

Поэтому x1 , . . . , xn определяютсяоднозначно.Таким образом, доказана теорема:Теорема 1. С.л.у. (1) с ненулевой расширенной матрицей является:1) совместной тогда и только тогда, когда в ступенчатой системе(2) dr+1 = 0. В этом случае свободным переменным можно придатьпроизвольные значения, а главные переменные при этих условияхопределяются однозначно;2) определенной тогда и только тогда, когда в ступенчатой системе (2)r = n.Пример. Исследовать с.л.у. методом Гаусса: 2x1 + x2 = 0,x + 2x2 + x3 = 0, 1x2 + 2x3 = 4.Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:2 1 0 02 1 0 02 1 0 0 1 2 1 0  Ã  0 3 1 0  Ã  0 3 1 0 .220 1 2 40 1 2 40 0 434Поэтому система является определенной и x3 = 3, x2 = −2, x1 = 1.§9.Векторные пространства: определение и примеры.Пространстворешенийоднороднойсистемылинейных уравненийПроизвольное множество элементов V 6= ∅ называется векторным (илилинейным) пространством над полем F , если на V задана ассоциативнаякоммутативная бинарная операция сложения и, для любого α ∈ F , унарнаяоперация умножения на скаляр, удовлетворяющие следующим аксиомам:1) существует нулевой элемент (ноль) 0 ∈ V такой, что a + 0 = 0 + a = aдля любого a ∈ V ; для любого a ∈ V существует b ∈ V такой, что a + b =b + a = 0;2) для любых α, β ∈ F, a, b ∈ V выполняется:a) (αβ) a = α (βa) (ассоциативность умножения на скаляр);1.

Векторные пространства. Матрицы и определители24б) (α + β) a = αa + βa, α (a + b) = αa + αb (дистрибутивность);в) 1a = a, где 1 ∈ F .Элементы пространства V называются векторами, элементы из Fназываются скалярами.Простейшие свойства операций векторного пространства:1) В V существует только один нулевой элемент.♦ Пусть 01 и 02 — два нулевых элемента из V , тогда: 01 + 02 = 01 = 02 .¤2) (∀x ∈ V ∃! y ∈ V ) x + y = y + x = 0.♦ Пусть x + y1 = x + y2 = 0.

Тогда (x + y1 ) + y2 = 0 + y2 = y2 = x + (y1 + y2 ) =x + (y2 + y1 ) = (x + y2 ) + y1 = 0 + y1 = y1 .¤3) 0a = 0, где 0 ∈ F , a ∈ V .♦ (1 + 0)a = 1a = a = 1a + 0a = a + 0a ⇒ 0 = 0a.¤4) (∀α ∈ F ) α0 = 0, где 0 ∈ V .♦ α0 = α(0 + 0) = α0 + α0 ⇒ 0 = α0.¤5) (∀ α ∈ F, ∀ a ∈ V ) αa = 0 ⇒ α = 0 или a = 0.¤♦ Если α 6= 0, то α−1 (αa) = (α−1 α)a = 1a = a = α−1 0 = 0.6) (∀a, b ∈ V ) −(−a) = a, −(a + b) = −a − b.♦ Доказательство очевидно.¤7) (∀α ∈ F, ∀a ∈ V ) −(αa) = (−α)a.♦ αa + (−α)a = (α + (−α))a = 0a = 0 ⇒ αa = −(−αa).¤Примеры векторных пространств.1) E3 — множество векторов 3-х мерного пространства над R с началом вточке 0 относительно операций векторного сложения и умножения на скаляр.2) Пространство строк:Множество Fn = {X = (x1 , . .

. , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ F } с операциями:½X + Y = (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) ,(1)αX = α (x1 , . . . , xn ) = (αx1 , . . . , αxn ) , где α ∈ F.Докажем, что Fn с заданными операциями является линейнымпространством.Ноль: 0 = (0, . . . , 0) : 0 + X = X + 0 = 0 для любого X ∈ Fn .Обратный: Для любого X = (x1 , . .

. , xn ) существует −X =(−x1 , . . . , −xn ) : X + (−X) = (−X) + X = 0.Дистрибутивность: α (X + Y ) = α (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) = (αx1 +αy1 , . . . , αxn + αyn ) = (αx1 , . . . , αxn ) + (αy1 , . . . , αyn ) = αX + αY.1. Векторные пространства. Матрицы и определители25(α + β) X = ((α + β) x1 , . . . , (α + β) xn ) = (αx1 + βx1 , . . . , αxn + βxn ) =(αx1 , . . . , αxn ) + (βx1 , .

. . , βxn ) = αX + βX.Остальные аксиомы проверяются аналогично.Аналогично определяется и F n — линейное пространство столбцов.3) Пространство решений однородной системы линейных уравнений.Рассмотрим однородную систему линейных уравнений a11 x1 + . . . + a1n xn = 0,− − − − − − − − −−(2)am1 x1 + . . . + amn xn = 0.Обозначим Vs = {(λ1 , . . . , λn ) : (λ1 , . . .

, λn ) − решение (2)} .Определим на Vs операции по правилу (1). Проверим все аксиомы: Vs 6= ∅,так как 0 = (0, . . . , 0) ∈ Vs . Покажем, что операции на Vs , заданные правилом(1), определены корректно.Пусть X = (x1 , . . . , xn ) , Y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Vs , т. е. при подстановке X иY в (2) уравнения обращаются в тождества. Тогда, для i = 1, . . .

, m, имеем0=nXk=1aik xk +nXaik yk =k=1Для любого α ∈ F имеем 0 = αnXaik (xk + yk ), т. е. X + Y ∈ Vs .k=1nPk=1aik xk =nPk=1αaik xk =nPaik (αxk ), т. е.k=1αX ∈ Vs .Так как по определению Vs ⊆ Fn и операции на Vs определены такжекак и на Fn , то и остальные аксиомы выполнены. Таким образом, множестворешений однородной системы линейных уравнений Vs является линейнымпространством.§10.Подпространство, линейная зависимостьПусть V — векторное пространство над F и a1 , . . . , an ∈ V . МножествоL (a1 , . .

. , an ) = {α1 a1 + . . . + αn an : αi ∈ F } называется линейной оболочкойсистемы векторов a1 , . . . , an . Непустое подмножество U векторногопространства V называется подпространством в V , если U — векторноепространство над F с теми же операциями, что определены в V .Лемма 1. U — подпространство в V ⇔ αa + βb ∈ U для всех α, β ∈ F,a, b ∈ U .1. Векторные пространства. Матрицы и определители26Доказательство. Необходимость очевидна. Обратно, положим α = β = 1.Тогда a + b ∈ U для любых a, b ∈ U .

Далее, положим β = 0. Тогда αa ∈ Uдля любых α ∈ F, a ∈ U . Остальные аксиомы выполнены в силу того, что V— векторное пространство.¤Следствие. L = L(a1 , . . . , an ) — подпространство в V .Доказательство. Заметим, что L 6= ∅. Далее, для любых α, β ∈ F иnnnPPPa=¤αi ai , b =(ααi + ββi ) ai ∈ L.βi ai ∈ L имеем: αa + βb =i=1i=1i=1Векторы a1 , . . . , an ∈ U называются линейно зависимыми, еслисуществуют такие α1 , . . . , αn ∈ F , одновременно не равные нулю, чтоnPαi ai = 0. Векторы a1 , .

Характеристики

Список файлов лекций