apostolyukphd (814875), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Устойчивость колебаний чувствительного элементаИсследуемустойчивостьколебанийчувствительногоэлементамикромеханического вибрационного гироскопа с дополнительной рамкой.Используя оператор дифференцирования p , система уравнения (3.10)может быть записана следующим образом: p 2  2h1 p  k12   2  X 1  p  2pX 2  p  0,2222dpX 1  p   p  2h2 p  k 2    X 2  p  Q2  p.(3.24)Характеристическое уравнение для системы (3.24) будет  p  p 4  a 3 p 3  a 2 p 2  a1 p  a 0  0 ,(3.25)82a 3  2h1  h2  , a2  4h1h2  k12  k 22  2 2d  1 2 ,a1  2 h1  k 22   2   h2  k12   2  , a0  k12 k 22  k12  k 22  2   4 .Условия устойчивости колебаний чувствительного элемента, полученныепо алгебраическому критерию Рауса-Гурвица, запишутся какa1a 2 a 3  a12  a 32 a0  0 , ai  0 , i  0...3 .Коэффициентыпарциальныххарактеристическогочастотсистемы,(3.26)уравнениякоэффициентов(3.25)зависятдемпфированияотипереносной угловой скорости.

Неизвестной априори является толькоугловая скорость. Все остальные параметры системы могут быть выбранызаранее,исходяизкоэффициентовусловийустойчивостихарактеристического(3.26).уравненияИзструктурывидно,чтоотрицательными могут стать коэффициенты a1 и a 0 . Кроме этого,нарушение условия устойчивости возможно и в первом выражении (3.26).Найдем значения угловой скорости, которые соответствуют колебаниямчувствительного элемента на границе устойчивости из уравненийa0  k12 k 22   k12  k 22   2   4  0 ,(3.27)a1  2 h1  k 22   2   h2  k12   2   0 ,a1a 2 a 3  a12  a32 a0  0 .Решения первого уравнения из (3.27) относительно переносной угловойскорости определяются по формулам1 0,2  k1 ,30, 4  k 2 .(3.28)Решения второго уравнения из (3.27) будут11, 2  h2 k12  h1k 22.h1  h2(3.29)Диапазон положительности коэффициентов a 0 и a1 можем определить пографику на рис.

3.5 и рис.3.6.83a0a1k2k2k1k1Рис. 3.5. ЗависимостьРис. 3.6. Зависимостькоэффициента a 0 от переноснойкоэффициента a1 от переноснойугловой скоростиугловой скоростиВыражения для решений третьего уравнения из (3.27) достаточногромоздки и не представляют интереса, так как по абсолютной величинеони больше решений первых двух уравнений. Из анализа выражений (3.28),(3.29) и графиков на рисунках 3.5 и 3.6 следует, что колебаниячувствительного элемента устойчивы для угловых скоростей в диапазоне k 2    k2 .Такимобразом,(3.30)устойчивыеколебаниячувствительногоэлементасуществуют только для угловых скоростей, которые по абсолютнойвеличинеменьшепарциальнойчастотыпервичныхколебаний.Соотношения (3.30) должны учитываться при проектировании прибора,исходя из рабочих значений угловой скорости в месте установки датчика.3.1.5.

Собственные частоты чувствительного элемента гироскопаНайдем собственные частоты колебаний чувствительного элемента.Они будут определяться корнями характеристического уравнения (3.25).Корни уравнения (3.25) могут быть найдены приближенно. Если принять84вязкоетрениеотсутствующим, тоa1  a 3  0и характеристическоеуравнение может быть решено как биквадратноеp 4  b1 p 2  b0  0 ,(3.31)b1  k12  k 22  2 2d  1  2 ,b0   k12   2  k 22   2   k12 k 22   k12  k 22  2   4 .Корни уравнения (3.31) соотносятся с собственными частотами  j0первичных и вторичных колебаний следующим образом:p1,2  i 10 , p3,4  i 20 .(3.32)Решая уравнение (3.31) с учетом соотношений (3.32) можем записатьвыражения для квадратов собственных частот 2j 0 (3.33)1 2k1  k 22  2 2 d  1  2  2  1 j2j  1,2 ;k212 k 22  2 2 d  1  2   4 k12   2  k 22   2  , 10   20 .Качественный график зависимости j-той частоты от измеряемой угловойскорости, которая мала по сравнению с парциальными частотами,представлен на рис.

3.7. Теперь найдем выражения для собственных частотколебаний чувствительного элемента микромеханического вибрационногогироскопа с учетом вязкого трения, учитывая его малость. Представимуравнение (3.25) в виде p   p 2  2h10   12  p 2  2h20   22  .где  j(3.34)- собственные частоты при малом демпфировании; h j0коэффициентыдемпфирования.Раскрываяскобкии-приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях оператора дифференцирования pв выражениях (3.25) и (3.34), получим систему четырех алгебраическихуравнений для определения  1 ,  2 , h10 и h20 .85 1,2d 1d1k12k2d 2dРис.

3.7. ЗависимостьРис. 3.8. Первые производныесобственных частот отсобственных частот, как функциипереносной угловой скорости.угловой скоростиС учетом малости коэффициентов вязкого трения можем найти следующиезначения для корней уравнения (3.34):p1,2   h10  i 1 ;где h10 2a 3 10 a12  220 2 10; h20 p3,4   h20  i 2 ,a1  a 3 2202  220 2 10(3.35);  1   10 ;  2   20 .Формула (3.33) достаточно громоздка.

Она может быть несколькоупрощена при помощи разложения квадратного корня в ряд Макларена.Удержание двух первых элементов этого разложения в выражениях (3.33)приводят к следующим зависимостям:220k12   2  k 22   2 b0  2,b1 k1  k 22  2 2d  1  22 10 b1 b0 k12  k 22  2 2d  1 2   220 .b1(3.36)(3.37)Вычисление собственных частот системы по этим формулам требуетменьше вычислительных затрат, чем использование (3.33), но даетприближенный результат. Получаемые с использованием формул (3.36) и(3.37) значения для собственных частот находятся в пределах 2% отзначений, полученных по формулам (3.33).Рассмотрим другой, более простой и более точный способ вычислениясобственных частот чувствительного элемента вибрационного гироскопа с86дополнительной рамкой.

Если проанализировать графики зависимостипервой производной для собственных частот системы от переноснойугловой скорости (рис. 3.8), то нетрудно видеть, что эта зависимостьблизка к линейной. Из этого следует, что зависимость самой собственнойчастоты, определяемой по формуле (3.33), от переносной угловой скоростиблизка к квадратичной. Будем искать выражения для собственных частотвибрационного гироскопа в следующем виде: j    k j  l j2,2(3.38)где j=1,2; l j - некоторый постоянный коэффициент, зависящий только отпараметров конструкции.Нахождениепостояннойсоставляющей ввыражении (3.38) очевидно, так как из формулы (3.33) следует, что 20j dj 0 k 2j . Продифференцируем обе части выражения (3.38).

Получим:d  l j  . Поскольку l j не зависит от переносной угловой скорости, топриняв   1 мы получаем необходимую для ее нахождения зависимостьl j  d j d1. Дифференцируя по  выражения (3.33) и принимая   1после упрощения и приведения подобных слагаемых, получаем s   1 j 2 s  s s 21 3 l j   3 222s1  4 s0 j2 s1    1 2 s12  4 s0 ,(3.39)где s0   k12  1k 22  1 , s1  k12  k 22  2 2d  1 , s2  22  k22  k12  , s3  4 2d  1 .Если парциальные частоты равны между собой ( k1  k 2 ), то вдали отграницы устойчивости зависимость собственных частот от переноснойугловой скорости будет близка к линейной. В этом случае зависимость(3.38) преобразуется к виду j    k j  l j  ,(3.40)где j  1,2 , а постоянный коэффициент l j определяется из соотношения(3.39), в котором принято, что k1  k 2 .

Представление собственных частотчувствительного элемента одномассового вибрационного гироскопа с87рамкой в виде (3.38) или (3.40) позволяет более просто учитыватьзависимость собственных частот от измеряемой угловой скорости.3.1.6. Амплитудно- и фазочастотные характеристикиДвижениечувствительногоэлементамикромеханическоговибрационного гироскопа с рамкой на основании, которое вращается с  0,0,  ,постоянной переносной угловой скоростьюописываетсясистемой дифференциальных уравнений (3.10). Применив к этой системепреобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим p 2  2h1 p  k12   2  X 1  p  2pX 2  p  0,2dpX 1  p   p 2  2h2 p  k 22   2  X 2  p  Q2  p.Используяпередаточныефункции,система(3.41)(3.41)можетбытьпредставлена схематически так, как показано на рис.

3.9.Q2  pW2  pWg2  pX 1  pX 2  pWg1  pW1  pРис. 3.9. Базовая структурная схема чувствительногоэлемента вибрационного гироскопа с рамкойВыражения для передаточных функций на рис. 3.9 имеют следующий вид:W1  p 11,22 , W2  p  2p  2h1 p  k1  p  2h2 p  k 22   22(3.42)Wg1  p  2 p , Wg2  p  2dp .Входными воздействием на структурной схеме (рис. 3.9) являетсясила, создаваемая системой возбуждения и действующая на рамку. Притаком представлении измеряемая переносная угловая скорость не является88входом системы, а только ее параметром. Тем не менее при выборерабочейчастоты следует добиваться максимального коэффициентапередачи именно по возбуждению, так как фактически этот сигналмодулируется измеряемым воздействием. Выходом исследуемой системыявляются вторичные колебания инерционной массы, и структурную схемуможно привести в виду:Q2  pX 1  pWx1  pДля приведенной схемыWx1 p X1  p 2 p. 2222Q2  p  p  2h1 p  k1    p  2 h2 p  k22   2   4 p 2 2 d(3.43)Заменой p  i переходим к комплексной передаточной функцииWx1 i  2i. k      2h1i  k   2   2  2h2i   4 22 d2122(3.44)22Следует отметить, что полученное из (3.43) выражение (3.44) эквивалентнорешению (3.18) для комплексной амплитудыамплитудно-частотнойифазочастотнойA1 .Выражения дляхарактеристикпервичныхколебаний следующие:A1    2,(3.45)22   k12   2   2  k 22   2   2   4 2  h1h2  d 2  2 4 2 h1  k 22   2   2   h2  k12   2   2  ,  k 2   2   2  k 2   2   2   4h h  d 2  2 121 2. 1     arctg2222222 h1 k 2       h2  k1     (3.46)Амплитудно- и фазочастотная характеристики первичных колебанийинерционной массы представлены на рис.

Характеристики

Список файлов книги