apostolyukphd (814875), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Из анализаполученной системы дифференциальных уравнений видно, что движениятел системы в направлении выбранных обобщенных координат при75идеальном упругом подвесе связаны между собой только членами,зависящими от измеряемой переносной угловой скорости. Это означает,что в отсутствии внешних сил, действующих на инерционную массу внаправленииобобщеннойкоординатыx1 ,вынужденноедвижениеинерционной массы будет определяться только переносной угловойскоростью.Характернойособенностьюрассматриваемыхуравненийдвижения чувствительного элемента вибрационного гироскопа является то,что измеряемая переносная угловая скорость входит в них в качествепараметра.

Это приводит к тому что для произвольной угловой скоростимыполучаемпеременнымисистемулинейныхкоэффициентами.дифференциальныхНахождениеточныхуравненийсаналитическихрешений такой системы является затруднительным.Примем, что проекции вектора переносной угловой скорости  на осисистемы координат OX 1 X 2 X 3 являются медленно меняющимися функциямивремени или квазипостоянными.

В этом случае мы можем перейти ксистеме дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,которая имеет следующий вид: x1  2h1 x1   k12   22   23  x1  2 3 x2  1 2 x2  q1 ,x2  2h2 x2   k 22  12   23  x2  2d 3 x1  d1 2 x1  q 2 . (3.8)Решение системы (3.8) точно описывает движение чувствительногоэлемента только для постоянной угловой скорости. Все компонентывектора угловой скорости  за исключением  3 входят в уравнениядвижения нелинейно. Это свидетельствует о том, что линейное измерениеугловойскоростивозможнотольковслучае,когдавекторперпендикулярен плоскости чувствительного элемента. Пусть   0,0,  .Тогда система уравнений (3.7) преобразуется к видуx  q , x1  2h1 x1   k12   2  x1  2x2  2122x q , x2  2h2 x2   k 2    x2  2dx1  d12(3.9)76или для постоянной угловой скорости   const x1  2h1 x1   k12   2  x1  2x2  q1 , x2  2h2 x2   k 22   2  x2  2dx1  q2 .(3.10)В системы уравнений (3.9) и (3.10) измеряемая переносная угловаяскорость входит как в первой степени, так и во второй.

Перейти к системе,решение которой будет описывать движение инерционной массы,определяемое только первой степенью переносной угловой скорости, мыможем лишь для малой угловой скорости, когда квадрат угловой скоростимал по сравнению с квадратом парциальной круговой частоты, ипреобразовать систему уравнений (3.10) к виду(3.11) x1  2h1 x1  k12 x1  2x2  0, x2  2h2 x2  k 22 x2  2dx1  q 2 .В системе (3.11) принято, что дополнительные силы, кроме Кориолисовыхи сил системы возбуждения, на чувствительный элемент не действуют.3.1.2. Движение чувствительного элемента на неподвижномоснованииРассмотримповедениечувствительногоэлементамикромеханического вибрационного гироскопа с рамкой на неподвижномосновании.

В этом случае переносная угловая скорость   0 и системадифференциальных уравнений движения (3.11) преобразуется к виду(3.12)2 x1  2h1 x1  k1 x1  0, x2  2h2 x2  k 22 x2  q2  t .Системадифференциальныхуравненийдвижениячувствительногоэлемента распадается на два независимых линейных дифференциальныхуравнения второго порядка относительно обобщенных координат. Пригармоническом возбуждении колебаний рамки с частотой  и фазой  ,выражение для силы, создаваемого системой возбуждения, принимаетследующий вид:77q2  t   q2 sin t    .(3.13)Общим решением совокупности уравнений (3.12 будут следующиезависимости обобщенных координат от времениx1  t   0 ,x2 t   A2 e h2t sin t k 22  h22   2 q2k222 2 4h22  2sin t    ,(3.14)где постоянные коэффициенты A2 и  2 определяются из начальныхусловий, а фаза вынужденных колебаний  определяется из соотношенияtg      2h2   k 22   2  .(3.15)Анализируя полученные решения (3.14) видим, что рамка чувствительногоэлементавместе с инерционной массой совершают вынужденныеколебания с амплитудой, пропорциональной силе возбуждения (послезатухания собственных колебаний) вдоль оси X 2 , в то время как понаправлению осиX1инерционная масса остается неподвижной, ивыходной сигнал будет равен нулю.3.1.3.

Движение чувствительного элемента на вращающемсяоснованииИзучим теперь поведение чувствительного элемента вибрационногогироскопа с рамкой на вращающемся с постоянной угловой скоростьюосновании. Не ограничивая общности задачи мы будем полагать, чтовектор квазипостоянной переносной угловой скорости ориентирован вдольоси X 3 , то есть   0,0,  . Движение чувствительного элемента будетописываться в этом случае системой дифференциальных уравнений (3.10),в которой q1  t   0 . В отличие от совокупности дифференциальныхуравнений (3.12), здесь уравнения образуют систему уравнений связанныхмежду собой посредством гироскопических членов, пропорциональныхизмеряемой угловой скорости.

Решение системы дифференциальныхуравнений(3.10),соответствующеесобственнымколебаниям78чувствительного элемента очевидно и не представляет интереса с точкизрения использования параметров колебаний для измерения переноснойугловой скорости, так как они со временем затухают. При гармоническомвозбуждении первичных колебаний с круговой частотой  и нулевой фазойсила, действующая на нее, может быть задана в виде q2  t   Re q2 eit  .Колебания рамки и инерционной массы, соответствующие частномурешению системы неоднородных дифференциальных уравнений (3.10),будем искать в видеx1 t   Re A1 e it  , A1  A1 e i1 , x2  t   Re A2 e it , A2  A2 e i2 ,(3.16)где A1 и A2 - амплитуды поступательных вторичных и первичныхколебаний соответственно, а 1 и  2 - их фазы. После подстановкивыражений (3.16) для искомых смещений инерционной массы и рамки всистему (3.10), получаем систему линейных алгебраических уравненийотносительно комплексных амплитуд A1 и A2(3.17) k12   2   2  2h1i A1  2iA2  0,2222diA1  k 2      2h2i A2  q 2 .Главный определитель этой системы записывается следующим образом:  ,  2    k12   2   2  k 22   2   2   4 2  h1h2  d 2   2i h1  k 22   2   2   h2  k12   2   2  .Решение системы (3.17) по методу Крамера относительно комплексныхамплитуд будет2 q 2 iA1 ,  ,  2 A2 q 2  k12   2   2  2h1i , 2 .(3.18)Применение метода комплексных амплитуд (одна из версий методаусреднения в применении к колебательным системам) позволяет уйти отанализа перемещений, а проводить анализ движения чувствительногоэлемента вибрационного гироскопа сразу в интересующих нас параметрах амплитуде и фазе.

Из анализа выражений (3.18) видно, что обеспечив на79входе системы возбуждение первичных колебаний рамки и инерционноймассы, на выходе мы получаем вторичные колебания инерционной массы,пропорциональные измеряемой переносной угловой скорости. Поэтому,дляопределениязависимостипараметровлинейныхколебанийинерционной массы от переносной угловой скорости найдем выражениядля амплитуды и фазы этих колебаний. Переход от комплексных амплитудк действительным амплитудам и фазам можем осуществить на основаниивыражений (3.16) следующим образом:Im A .Re A A  A  Re A   Im A  , tg   22(3.19)Этот переход дает следующие выражения для амплитуд колебанийинерционной массы и рамки:2q A1  2  ,A2 q2k212  2   2   4 h12  2,(3.20)22  2   2  h2 k12   2k21  2   2  k 22   2   2   4h1h2  d 2  2  2122 4 h  k2  k12   2   2 k 22   2   2  4 2 h1h2  d 22и их фаз:tg 1  tg 2  2 h1  k 22   2   2   h2  k12   2   2 ,(3.21)b1  b2,b3  b4    4 h h  d  ,b1  2  k12   2   2  h1  k 22   2   2   h2  k12   2   2  ,b2  2h1  k12   2   2  k 22   22221 2b3   k12   2   2  k12   2   2  k 22   2   2   4 2 h1h2  d 2  ,b4  4h1 2 h1  k 22   2   2   h2  k12   2   2  .Полученные выражения позволяют анализировать зависимость амплитудыи фазы первичных и вторичных колебаний от измеряемой переноснойугловой скорости.

График зависимости амплитуды от угловой скорости80при частоте возбуждения, равной парциальной частоте первичныхколебаний, представлен на рис. 3.2.A1    maxk2k1Рис. 3.2. Зависимость амплитуды колебаний инерционной массыот переносной угловой скоростиВеличиныамплитудвыходныхколебаний,полученныеэкспериментально, приведены на рис. 3.3, а соответствующие имрезультаты численного моделирования на рис. 3.4.

Характеристикиприбора приведены в таблице 1.-8x 10x 101.681.461.24120.800.6-20.4-40.2-60-2-1.5-1-0.500.511.52-80.0386-90.03880.0390.03920.03940.03960.03980.04Рис. 3.3. ЭкспериментальныеРис. 3.4. Вторичные колебания воданныевремени при   1 c-1Таблица 1. Основные параметры микромеханического гироскопаРабочая частота, Гц20000Отношение парциальных частот1,01Ширина полосы пропускания по угловой скорости, Гц43,281Габаритные размеры чувствительного элемента, мкм37527520Масса чувствительного элемента, 10-9 кг1,4Из анализа графика на рис.

3.2 следует, что линейное измерениепереносной угловой скорости возможно только для угловых скоростей,которые малы по сравнению со значением нижней парциальной частоты.На практике, ширины линейного участка достаточно для обеспечениянеобходимого диапазона измерения (см. рис. 3.3). Если принять, чторабочая частота равна парциальной частоте первичных колебаний, то длямалой угловой скорости выражения для амплитуд и фаз можно упроститьq2A1 h2k222 21k, 4h12 k 22A2 q2,2 k 2 h2(3.22)tg 1   2h1k 2  k 22  k12  ,  2   2 .(3.23)Из анализа выражений (3.22) видно, что измерения амплитудывторичных колебаний чувствительного элемента вибрационного гироскопас дополнительной рамкой позволяют проводить измерения угловойскорости вращения основания, которая перпендикулярна плоскостиколебаний инерционной массы.3.1.4.

Характеристики

Список файлов книги