apostolyukphd (814875), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

2.10).YXzZРис.2.10. Кардановая схема микромеханического вибрационного гироскопа.При этом внутренняя рамка становится чувствительной к угловойскорости, направленной по оси перпендикулярной плоскости гироскопа.Она совершает угловые колебания вокруг оси своих торсионов самплитудой и фазой, которые зависят от переносной угловой скорости.Возбуждениевынужденныхколебанийможетосуществлятьсяэлектростатически, а измерение выходного сигнала - при помощиемкостного датчика.

Электроды напыляются на поверхности внешней ивнутренней кардановых рамок.Уравнениядвижениядифференциальныекардановогочувствительногоуравнениядвижениямикромеханическогоэлемента.Составимчувствительногогироскопа.Кардановаяэлементасхемавибрационного гироскопа имеет две степени свободы.

Положениечувствительного элемента в пространстве однозначно определяется двумяобобщенными координатами. В качестве обобщенных координат примем46угол поворота внешней кардановой рамки относительно корпуса и уголповорота внутренней рамки относительно внешней. Обозначим эти углы и  соответственно (рис. 2.10). Введем декартовые системы координат,связанные с основанием прибора, внешней и внутренней рамками. Ониимеют общее начало в точке пересечения осей подвеса гироскопа.Обозначим их Oxi yi zi , где i  0 - для системы координат, связанной соснованием прибора, i  1 - с внешней рамкой и i  2 - связанную свнутренней рамкой. Переносную угловую скорость зададим ее проекциямина систему координат, связанную с основанием прибора:    x ,  y ,  z .Получим выражения для ее проекций в системах координат, связанных свнешней и внутренней рамками.

Проецируя вектор абсолютной угловойскорости на оси систем координат, связанных с внешней и внутреннейрамками, можем записать следующие соотношения: x1   x cos   z sin  . y1   y  , z1   x sin    z cos (2.41).(2.42) x2   x cos   z sin    ,. y2    y   cos    x sin    z cos  sin  ,. z2   x sin    z cos cos     y   sin  .Дифференциальные уравнения движения чувствительного элементаполучим при помощи уравнений Лагранжа 2-го родаd T T M ,dt  .  d T T M ,dt  .  (2.43)где Т - полная кинетическая энергия системы, которую находим в виде2суммы кинетических энергий ее элементов T   Ti , а Ti находим изi 1соотношения 2Ti  I x  2x  I y  2y  I z  2z  2 I x y  x  y  2 I y z  y  z  2 I z x  z  x .iiiiiii iiii iiii iii47Если учесть, что конструкция чувствительного элемента гироскопасимметрична относительно центра масс, то его центробежные моментыинерции равны нулю, и выражение для кинетической энергии примет вид:T1I x1  2x1  I y1  2y1  I z1  2z1  I x2  2x2  I y2  2y2  I z2  2z2 .2(2.44)Обобщенные силы в правой части уравнений (2.43) имеют вид:..M    c1  f 1   M 2  t  , M    c2   f 2  ,гдеc1 , c2- угловые жесткости торсионов,f1, f 2- коэффициентыдемпфирования внешней и внутренней рамок соответственно, M 2  t  момент внешних сил, вызывающих вынужденные колебания наружнойрамки.

Кардановая конструкция чувствительного элемента подразумеваетмалые амплитуды угловых колебаний по углам  и  . Это позволяетлинеаризовать тригонометрические функции, принявsin    ,cos   1 ,cos  1 ,sin    ,и пренебречь членами, в которые эти углы входят в степенях, выше первой.Подставляя выражение для кинетической энергии (2.44) в уравнения (2.43)и, принимая во внимание малость обобщенных координат, получаем дляпроизвольноговекторадифференциальныеугловойуравненияскоростидвижениявращенияоснованиячувствительногоэлементакарданового микромеханического гироскопа I 1  f 1  I1   c1  G z   D1  2y   2z   I  D     D     I   I  0,  z I1  z 11 xy1yzx 1x 1 22 I 2  f 2  I2   c2   G z   D2  x   z   D   D     I   I  M  t , D1 x  y  D 1 z  z 12xzy 2y 22(2.45)где I1 , I 2 , G , D1 и D2 - коэффициенты, зависящие от геометрическихпараметров конструкции следующим образом:I 1  I x 2 , I 2  I y1  I y 2 , G  I x 2  I y 2  I z 2 ,D1  I z 2  I y 2 , D2  I z1  I z 2  I x1  I x 2 .(2.46)48Для постоянных геометрических характеристик полученную системууравнений можно преобразовать к виду  2 h1  k12   g1 z   d1  2y   2z   d   d     0, zyzx1 x1 y222  2h2  k 2   g2  z   d2  x   z   d     m  t , d 3  x  y  zxzy22(2.47)где hi  f i 2 I i , k i2  ci I i , d i  Di I i , gi  G I i , d 3  D1 I 2 , m2  t   M 2  t  I 2 ,i  1,2 .

Полученные системы дифференциальных уравнений описываютповедение чувствительного элемента карданового микромеханическогогироскопа при переменном как по величине, так и по направлениюпроизвольно ориентированном векторе переносной угловой скорости  .Для постоянного, но произвольно ориентированного по отношению кплоскости прибора вектора переносной угловой скорости системаупростится и примет вид222   2h1  k1   g1 z   d1  y   z   d1 y  x    z   0,222  2h2  k 2   g 2  z   d 2  x   z    x d 3 y   d 2  z  m2 t .(2.48)Если вектор измеряемой переносной угловой скорости ориентированперпендикулярно плоскости прибора (рис.

2.10), то есть   0,0,  , тосистема (2.48) будет иметь вид  2h1  k12  d1 2   g1  0,22  2h2  k 2  d 2    g 2   m2 t .(2.49)Полученные уравнения (2.49) являются нелинейными относительноизмеряемой величины -  . Кроме этого, в общем случае коэффициентыуравнений являются функциями времени. Нахождение решений такойсистемы подразумевает использование упрощающих допущений.2.2.2.Анализдвижениявращающемся основаниичувствительногоэлементана49Движение чувствительного элемента на неподвижном основании.Рассмотрим поведение чувствительного элемента кардановой схемымикромеханическоговибрационногогироскопананеподвижномосновании. В этом случае переносная угловая скорость   0 и системадифференциальных уравнений движения (2.49) преобразуется к виду(2.50)  2h1  k12   0,2  2h2   k 2   m2  t .Как видим, система дифференциальных уравнений распадается на дванезависимых линейных дифференциальных уравнения второго порядкаотносительно обобщенных координат.

При гармоническом возбужденииколебаний наружной рамки выражение для момента, создаваемогосистемой возбуждения, принимает следующий вид: m2  t   m2 sin  t   .Общим решением совокупности уравнений (2.50) будут следующиезависимости обобщенных координат от времени [70]: t   0 ,(2.51) t   B0 e h2 t sin t k 22  h22   0 m22 k22   2   4h 2  2sin t    ,где постоянные коэффициенты B0 и  0 определяются из начальныхусловий, а фаза вынужденных колебаний  определяется из соотношенияtg      2h  k 22   2  .Из анализа полученных решений (2.51) видно, что наружная рамкачувствительногоэлементасовершаетвынужденныеколебаниясамплитудой, пропорциональной моменту сил системы возбуждения (послезатухания собственных колебаний) вокруг оси Y, в то время каквнутренняя рамка остается неподвижной, и выходной сигнал будет равеннулю.Движение чувствительного элемента на вращающемся основании.Изучимтеперьповедениемикромеханическогочувствительноговибрационногогироскопаэлементанакардановоговращающемсяс50постоянной угловой скоростью основании.

Не ограничивая общностизадачи мы будем полагать, что вектор переносной угловой скоростиориентирован вдоль оси Z, то есть   0,0,  . Движение чувствительногоэлемента будет описываться в этом случае системой дифференциальныхуравнений (2.49). При гармоническом возбуждении угловых колебанийнаружной рамки с частотой  и нулевой фазой момент, действующий нанее, может быть задан следующим образом m2  t   Re m2 eit  . Колебаниянаружной и внутренней рамок, соответствующие частному решениюсистемы неоднородных дифференциальных уравнений (2.49), будем искатьв видеt   Re A e it  , A  A e i1 , t   Re B e it  , B  B e i2 ,(2.52)где A и B - амплитуды угловых колебаний внутренней и наружной рамоксоответственно, а 1 и  2 - их фазы.

После подстановки выражений (2.52)для углов поворота наружной и внутренней рамок в систему (2.49)получаем систему линейных алгебраических уравнений относительнокомплексных амплитуд A и B этих поворотов k12  d1 2   2  2h1i  A  g1iB  0, g2 iA   k 22  d 2  2   2  2h2i  B  m2 .(2.53)Главный определитель этой системы записывается, как    k12  d1 2   2  k 22  d 2  2   2   4h1h2  g1 g 2  2  2  2i h1  k 22  d 2  2   2   h2  k12  d1 2   2  .Решение системы (2.53) относительно комплексных амплитуд, найденноепо методу Крамера, будетA  g1m2i    ,B  m2  k12  d1 2   2  2h1i    .(2.54)Таким образом, обеспечив на входе системы возбуждение колебанийнаружной рамки, на выходе мы получаем колебания внутренней рамки,пропорциональные измеряемой переносной угловой скорости.

Поэтому,для определения зависимости параметров угловых колебаний внутренней51рамки от измеряемой угловой скорости найдем выражения для амплитудыи фазы этих колебаний. В результате перехода от комплексной амплитудык действительной получаем следующие выражения для амплитуды(2.55)2 ,A  g1m2 2   k12  d1 2   2  k 22  d 2  2   2   4h1h2  g1 g2  2  222 4 2 h1  k 22  d 2  2   2   h2 k12  d1 2   2 и фазыtg 1 k21 d1 2   2  k 22  d 2  2   2   4h1h2  g1 g2  2  2(2.56)2 h1 k 22  d 2  2   2   h2  k12  d 1 2   2 угловых колебаний внутренней рамки микромеханического вибрационногогироскопа.

Характеристики

Список файлов книги