apostolyukphd (814875), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Измеряемые на них суммарныеперемещенияlреализуемойразностнойинерционныхмасссхеме)(примогутестественнымбытьобразомвычисленыдлячувствительного элемента с пятью степенями свободы по формулеl  2r0  y  sin  x  2r0  x ,или для системы с тремя степенями свободы(2.11)30l  2r0  y  sin  2r0 .(2.12)Следует отметить, что r0  x, y . Численное решение систем уравнений(2.6) и (2.8) при аналогичных параметрах чувствительного элементапоказывает, что амплитуда возбуждаемых колебаний инерционных масс внаправлении оси Y в основном зависит от силы возбуждения q y  t  , и слабозависит от колебаний по координатам x и  . Это позволяет в данномрассмотрении с достаточной степенью точности принять уравнениеотносительно переменнойyнезависящим от других и решать егоотдельно.

В этом случае, сравнивая уравнение для угловых перемещенийчувствительного элемента в системе (2.10) с аналогичным уравнением всистеме(2.9),видно,чтоизгироскопическогоэффекта,пропорционального колебаниям по координате y и угловой скорости,вычитаются колебания по координате x . С другой стороны, перемещенияпо x прибавляются к выходному перемещению l , как видно из формулы(2.11). Однако уменьшение угловых колебаний чувствительного элементазначительно более существенно сказывается на величине выходногоперемещения l , так как умножается на r0 ( r0  x, y ). Численное решениесистем (2.9) и (2.10) показало, что коэффициент передачи по измеряемойугловой скорости для чувствительного элемента с тремя степенямисвободы приблизительно в два раза больше, чем у аналогичной системы спятью степенями свободы.Проведенные исследования позволяют сделать вывод, что болеечувствительным к переносной угловой скорости основания будет прибор,чувствительный элемент которого будет иметь три степени свободы: двепоступательные по возбуждаемым координатам y1 и y2 , и одну угловую покоординате,которая описывает совместные угловые колебанияинерционных масс и рамки вокруг оси Z .

Приведенные выше уравнения(2.1)-(2.3) имеют право на существование, и позволяют анализироватьчисленно и аналитически ряд погрешностей камертонного гироскопа.31Однако, анализ динамики идеального чувствительного элемента навращающемся основании разумно проводить для трех степеней свободы,рассматривая остальные движения как паразитные.Найдемамплитудуифазувынужденных угловых колебанийчувствительного элемента камертонного гироскопа с тремя степенямисвободы. Для этого решим систему (2.10) относительно переменных Y  p иA p . Они имеют вид:Y  p k2 2h p  p 2  Qy  p  2r0 2 p p 2d pQy  p  2r0 2A p  p ,,(2.13) p  k y2  2hy p  p 2   2  k 2  2 h p  p 2   8dr0 p 2  2 ,или для малых угловых скоростей (   k y , k  )Y  pk2 2h p  p 2  Qy  p  p2dpQy  pA p   p,(2.14), p  k y2  2hy p  p 2  k 2  2h p  p 2   8dr0 p 2  2 .Если разделить выражения для Y  p и A p в (2.14) на Qy  p , то получимформулы для передаточных функций по возбуждению для колебаний покоординатам y и  .

Принимая в них p  i , и вычисляя модули и фазыполученныхвыражениякомплексныхдляпередаточныхфункций,соответствующих амплитудифазможемнайтиколебанийпокоординатам y и  .Амплитудаколебанийинерционныхкоординате определяется по формулемассповозбуждаемой32kA y   222  2   4h2  2 i  2QyQy k2y22,2y 4h i   k y2   2  k 2   2   4 2 hy h  8dr0  2 4 2 hy  k 2   2   h k y2   22(2.15)22 .Здесь и далее Qy - суммарная амплитуда ускорения от сил возбуждения,действующих на инерционные массы. График зависимости амплитудывозбуждаемых колебаний от частоты возбуждения представлен на рис. 2.2.Выражение для тангенса фазы возбуждаемых колебаний по координате yпри малых значениях переносной угловой скорости будут tg  y  2hy 2yk 2(2.16).График зависимости фазы колебаний по возбуждаемой координате y отчастоты возбуждения приведен на рис.

2.3.Aytg ykyk kyРис. 2.2. АЧХ колебаний поРис. 2.3. ФЧХ колебаний покоординате yкоординате yПо графикам на рис. 2.2 и 2.3, которые построены по точнымформулам для АЧХ и ФЧХ, видно, что колебания по возбуждаемойкоординате y очень слабо зависят от угловых колебаний по координате  .Это следует из отсутствия видимых резонансных особенностей наприведенных графиках.33Зависимость амплитуды угловых колебаний чувствительного элементагироскопа от частоты возбуждения определяется по формулеA    2dQy  i где формула для   22(2.17),аналогична формуле (2.15). График АЧХ угловыхколебаний чувствительного элемента приведен на рис. 2.4. Фаза угловыхколебаний чувствительного элемента вычисляется по формулеktg   2y2h  k     h  k  2  k 2   2   4 2 hy h  8dr0 2y222y 2.(2.18)График ФЧХ угловых колебаний чувствительного элемента приведен нарис.

2.5. По выражению (2.17) видно, что амплитуда угловых колебанийчувствительного элемента камертонного гироскопа пропорциональнапереносной угловой скорости основания. Таким образом, измеряяамплитуду перемещений инерционных масс в направлении осиXвследствие угловых перемещений рамки, мы можем измерить угловуюскорость основания.tg Akk k ykyРис. 2.4. АЧХ угловых колебанийРис. 2.5. ФЧХ угловых колебанийчувствительного элементачувствительного элементаАмплитуда Al выходных колебаний, измеряемых емкостной системойсъема, будет вычисляться по формулеAl  2r0 sin A  2r0 A .(2.19)34Рассчитанные численные значения амплитуды выходных колебаний отпереносной угловой скорости для реального прибора, частота возбуждениякоторого принята   k y , приведены на рис.

2.6. Все численные данные награфиках здесь и далее приведены в системе Си: амплитуда в метрах, аугловая скорость - в рад/с.3.510-6 Al310-62.510-6210-61.510-6110-6510-70.20.40.60.81Рис. 2.6. Амплитуда выходных колебанийНайдемвыражениядлясобственныхчастотчувствительногоэлемента. Они будут определяться решениями характеристическогоуравнения  p  p 4  a 3 p 3  a 2 p 2  a1 p  a 0  0 ,(2.20)где коэффициенты определяются из соотношенийa 0  k 2 k y2   2 , a1  2 hy k 2  h k y2   2 ,a 2  k y2  k 2  4hy h  8dr0  1 2 , a 3  2 hy  h .Полученноеалгебраическоеуравнение(2.20)неимеетточногоаналитического решения.

Найдем решение этого уравнения при отсутствиидемпфирования. В этом случае a 3  a1  0 , и приняв во внимание, что вуравнении (2.20) p  i , получаем выражение для собственных частотчувствительного элемента:35 2j 0 где1 2k y  k 2  8dr0  1 2 2  1 j2j  1,2 .(2.21)k2y k 2  8dr0  1 22 4 k 2 k y2   2 ,Как видно из выражений (2.21), собственные частотычувствительного элемента камертонного микромеханического гироскопазависят от измеряемой угловой скорости основания.Найдем диапазон устойчивости колебаний чувствительного элемента.Для этого воспользуемся алгебраическим критерием Рауса-Гурвица. Изусловия положительности коэффициентов характеристического уравнения(2.20) находим минимальное значение угловой скорости  , при которойчувствительный элемент теряет устойчивость:a0 0    k y .(2.22)Для малых угловых скоростей из диапазона устойчивости (   k y )смещение собственных частот от измеряемой угловой скорости невелико иони приблизительно равны парциальным частотам чувствительногоэлемента.2.1.3.

Основные погрешности камертонного гироскопаРазработка гироскопического прибора заданной точности требуетдетального изучения погрешностей, которые присутствуют в выходномсигнале датчика. Подобное исследование позволит разработать методыустранения погрешностей и повышения точности прибора. Рассмотримосновные источники погрешностей камертонного микромеханическоговибрационного гироскопа, а также методы оценки и устранения этихпогрешностей.Влияние системы возбуждения. В приведенных выше исследованияхпринималось, что в уравнениях (2.6) q  t   0 .

В реальном приборе силы,создаваемые системой возбуждения, будут вызывать появление моментаотносительно оси чувствительности Z , который пропорционален величине36смещения инерционных масс из плоскости прибора. Для такого случаясистема (2.6) примет следующий вид: y  2 hy y  k y2   2 y  2r0  2   q y  t ,  2h   k2  q y  t  d   2dy  0.(2.23)Система уравнений (2.23) имеет нелинейность, аналогичную уравнениюМатье, что приводит к появлению угловых колебаний чувствительногоэлемента на частоте, которая в 2 раза больше частоты возбуждения  .Пусть колебания инерционных масс возбуждаются гармонически. Тогдаq y  Im q y 0 e it ,где  - частота возбуждения.

Будем считать, что влияние угловыхколебанийчувствительногоэлементанавозбуждаемыеколебанияинерционных масс вдоль оси Y пренебрежимо мало (см. (2.15)). В этомслучае уравнения системы (2.23) можно решать раздельно. Частноерешение первого уравнения будет:y  Im Ay eit ,Ay q y02y2k    2 h y i(2.24).Частное решение второго уравнения системы (2.23) будем искать пометоду последовательных приближений в виде:   0  1   2 2 ... ,где  - малый параметр. Решение уравнения в нулевом приближении(   0 ) будет 0  Im A 0 eit  ,ВтороеуравнениеA 0 системы2diq y 0k2  2  2h i  k y2   2  2hy i(2.23)относительно1.для(2.25)первогоприближения (  2  0 ) будет иметь вид: 1  2 h  1  k21  q y  t   0 d .Решение этого уравнения относительно 1 будет выражаться зависимостью1  Im A1 e i 2t  ,(2.26)37A1 2d 2iq y20 k  2  2h i  k 2  4 2  16h i  k y2   2  2hy i2Если учесть, что A 0  A 0 e i0.и A1  A1 ei , то отношение амплитуды A01(колебаний, вызванных силой Кориолиса) к амплитуде A1 вычисляется поформуле A qy 0dk2 42 2(2.27). 16h2 2Из формулы (2.27) видно, что максимум относительной погрешности вамплитуде угловых колебаний будет в том случае, если k  2 .

Длякамертонного гироскопа, разработанного в Дрейперовской Лаборатории,уровень относительной погрешности  A составляет не более 6  10 6 .Влияние гармонического характера угловой скорости. Ранеепредполагалось, что вектор переносной угловой скорости основанияпостоянен во времени:   0,0,   const . Если угловая скорость вращенияоснования есть функция времени, то уравнения движения чувствительногоэлемента будут иметь следующий вид:(2.28) y  2 hy y  k y2   2 y  2r02     q y  t , y  2y  .  2h   k2  d 2Зададим угловую скорость вращения основания в виде  Im  0 eit  ,где  - круговая частота угловой вибрации, с постоянной амплитудой.Решение первого уравнения системы (2.28) принимаем в виде (2.24).Второе уравнение системы (2.28) в этом случае примет вид  2 h   k 2  d 0 2i it Im  Ay  2    e i      t  Ay 2    e i     t e .2d(2.29)Частное решение уравнения (2.29) будет определяться соотношениями t   Im A1 e i1 e i     t  A2 e i2 e i     t  A3 e i3 e it ,(2.30)38A1 , 2 d  2    0 q y 02k222  k         4h2    22y 0 q y 0A3 k2 tg 1,2  tg  3   2 22k2 4h 2y22,2 4h 2y 4h 2k 2 k y2   2  1    2 4 h h y  1   k y2   2 222 h 1   k y2   2  h y k2  1    22y,2 h k y2   2  h y  k2  2 2,k y2   2  k2  2   4 h h y ,  .Если в выражениях (2.30) принять частоту вибрации   0 , то получимамплитуду угловых колебаний чувствительного элемента, вызванныхпостоянной угловой скоростью.

Характеристики

Список файлов книги