apostolyukphd (814875), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Упругие элементы, которыми рамкакрепится к основанию, позволяют ей, в общем случае, совершатьпоступательные и вращательные перемещения. Введем подвижнуюсистему координат OXYZ так, что вся конструкция расположена вплоскости YZ , а ось Z - перпендикулярна ей (рис. 2.1).Каждая из масс может перемещаться в направлении осей X и Yнезависимо одна от другой, а также вместе с рамкой они могутповорачиваться вокруг оси Z на угол  . Будем считать, что векторизмеряемой переносной угловой скорости  направлен вдоль оси Z .

Вэтом случае, возбуждая колебания масс в направлении оси Y , вприсутствии переносной угловой скорости возникнут колебания внаправлении оси X и угловые колебания вокруг оси Z .Уравнениядвижениядифференциальныечувствительногоуравнениядвиженияэлемента.Составимчувствительногоэлементакамертонного гироскопа. Введем следующие обобщенные координаты: xiи yi ( i  1,2 ) (здесь и далее нижние индексы в переменных соответствуют: 1- первой инерционной массе, 2 - второй инерционной массе, 3 - рамке) смещения инерционных масс относительно рамки в направлении осей X иY соответственно; x3 и y3 - смещения рамки относительно основания;  -угол поворота рамки относительно своей главной центральной осисимметрии, коллинеарной оси чувствительности Z . Вектор переноснойугловой скорости направим вдоль оси Z и зададим как   0,0,  .24Z12YO3XРис.2.1.

Чувствительный элемент камертонного гироскопаВ этом случае полная кинетическая энергия чувствительного элементабудет определяться по формуле1 2I3m3222T       x 3  y3   y 3  x3  2  mi  x3  y3 22i 1i xi     yi    1 r0 cos    yi  xi    sin 2i  yi  xi    cos   xi     yi    1 r0 sin  2 y 3  x3  ,где r0 - расстояние от оси Z до центров тяжести инерционных масс всостоянии покоя, mi ( i  1,3 ) - масса i -того тела системы, I 3 - моментинерциирамкиотносительноглавнойцентральнойоси,котораяпараллельна оси Z .Выражение для потенциальной энергии упругих деформаций подвесачувствительного элемента будет иметь следующий вид:P312ccxi xi2  c yi yi2  ,2i 125где cxi , c yi , czi - линейная жесткости упругого подвеса для i -того теласистемы в направлении соответствующих осей, c - угловая жесткостьупругого подвеса рамки вокруг оси Z .После подстановки выражений для потенциальной и кинетическойэнергии чувствительного элемента в уравнения Лагранжа 2-го рода и учетасил демпфирования получаем систему из семи дифференциальныхуравнений движения чувствительного элемента камертонного гироскопа,линейная часть которых при постоянной угловой скорости имеет вид:  x3  x3 2  q x1 t ,x1  2hx1 x1   k x21   2  x1  2 y1  y 3   r02y1  2hy1 y1  k y21   2 y1  2 x1  x3   r0     y3  y3 2  q y1 t ,  x3  x3 2  q x 2  t ,x2  2hx 2 x 2   k x22   2  x2  2 y 2  y 3   r0y 2  2hy 2 y 2  k y22   2 y2  2 x 2  x 3   r0     y3  y3 2  q y 2 t ,22x3  2hx 3 x3   k x23   2  x3  2y 3   d j x j  2y j   2 x j j 1(2.1)   q x 3 t ,   1  r0 2   r0j2jy3  2hy 3 y 3  k y23   2 y3  2x3   d j y j  2x j   2   1 r0  y j j 1j   1 2r0  q y 3 t ,  2h   k 2  2j 1гдеmjI3r    1 r  x  x  2 y  y    x   q t ,20k xj2  cxj m j ,j20j3k yj2  c yj m j ( j  1,2 ),j33k x23  c x 3 m ,k y23  c y 3 m ,k 2  c I 3-парциальные частоты движения чувствительного элемента в направлении3соответствующихобобщенныхкоординат;m   mj-массаj 1чувствительногоэлемента;hxj ,hyj ,h( j  1,2,3 )-коэффициентыдемпфирования; d j  m j m - безразмерный коэффициент инерционнойасимметрии.

В правых частях уравнений (2.1) стоят выражения дляускорений от обобщенных сил. Нахождение аналитического решения26системы уравнений (2.1) затруднительно. С другой стороны, движениечувствительного элемента камертонного микромеханического гироскопа,описываемое системой (2.1), может быть проанализировано численно.Припомощигребенчатогодвигателя(combdrive)колебанияинерционных масс возбуждаются в противофазе (антипараллельныйрежим).Определяемыесобственнымпоступательнымдвижениеминерционных масс по координатам y j и переносным угловым движениемоснования, силы Кориолиса вызывают поступательное движение масс внаправлении координат x j и угловое движение рамки, обозначенное углом .

При идеально выполненном упругом подвесе и идеальной антипараллельности возбуждаемых колебаний рамка не будет совершатьпоступательных колебаний в направлении координат x3 и y3 , а только.угловые по углуЭти соображения позволяют исключить израссмотрения математической модели идеального прибора движение егочувствительного элемента в направлении координат x3 и y3 . Полныедифференциальные уравнения движения идеального чувствительногоэлемента имеют вид:2  y  r   q  t  ,  x1  2hx1 x1  k x21      x1  2    y1  10x12y1  2hy1 y1  k y21     y1  2   x1   x  q  t ,   r0      1y12 k     y2  y  r   q  t ,  x2  2hx 2 x 2  k x22     x2  2   y 2  20x2y 2  2hy 2 y 22y222 2   x2 2  x  q  t ,   r0     2y22mjj 1I3  2h   k 2     x 2  r 2  q  t ,   jj y xjj x j r j      x j x j  r j y j (2.2)27где rj  y j    1 j r0 .

Полная система дифференциальных уравнений (2.2)движения идеального чувствительного элемента камертонного гироскопаявляется нелинейной. Линейной частью уравнений (2.2) будет система x  2h x   k 2   2  x  2y  r  x1 1x1110     y1  q x1  t  , 1 y  2h y  k 2   2 y  2x  r 2     x  q  t ,1101y1 1y1y1 122  y  q  t ,   x2  2hx 2 x 2   k x 2    x 2  2y 2  r0 2x222 x  q  t , y2  2hy 2 y 2  k y 2   y2  2x 2  r0 2    y222 m rj 02     1 j 2 y  2y     r0 xjjj    2h   k    Ij13(2.3)  q t .Полученные дифференциальные уравнения (2.1)-(2.3) описываютдвижениечувствительногоэлементакамертонногогироскопанавращающемся основании под действием внешних сил, например таких, каксилы, создаваемые системами возбуждения и компенсации.

В приведенныхвыше уравнениях движения чувствительного элемента подразумевалось,что он имеет 7 (2.1) или 5 (2.2-2.3) степеней свободы. В уравнениях (2.2) и(2.3) кроме выходного совместного углового движения инерционных масспо углу  присутствует также и выходные собственные поступательныедвижения масс вдоль оси X . Подобное сложное движение чувствительногоэлемента отличается от общепринятого для камертонных гироскопов.Обычносчитается,чтоинерционныемассысовершаюттолькопоступательные возбуждаемые колебания вдоль оси Y и совместныеугловые по углу  . В этом случае дифференциальные уравнения движениячувствительного элемента будут иметь вид: y1  2hy1 y1  k y21   2 y1  r0   2   q y1 t ,22 y2  2hy 2 y 2  k y 2   y2  r0  2   q y 2 t ,  2h   k 2   2d1y1  2d 2 y 2  q t ,(2.4)где k 2  c I ; d j  m j r0 I , ( j  1,2 ); I  I 3  m1  m2 r02 - общий осевой моментинерции рамки и инерционных масс относительно оси Z .

Для идеального28(симметричного) чувствительного элемента выполняются следующиесоотношения:m1  m2  m , c y1  cy 2  c y , k y1  k y 2  k y , d1  d 2  d .(2.5)Тогда, после вычитания второго уравнения системы (2.4) из первого,введения новой переменной y  y1  y2 и учета соотношений (2.5), систему(2.4) можно привести к виду:(2.6) y  2hy y  k y2   2 y  2r0   2   q y  t ,  2h   k 2   2dy  q t ,где q y  t   q y1  t   q y 2  t  . Из уравнений (2.6) очевидно следует, что еслиинерционные массы возбуждаются синфазно, то угловые колебаниячувствительного элемента по углу  , пропорциональные переноснойугловой скорости  , не возникнут.

Более подробный сравнительныйанализ математических моделей динамики чувствительного элементакамертонного гироскопа, соответствующих уравнениям (2.3) и (2.6), будетприведен далее.2.1.2.Анализдвижениячувствительногоэлементанавращающемся основанииПеред тем, как проводить анализ движения чувствительного элементакамертонного микромеханического гироскопа, определим какую из двухматематических моделей, соответствующих уравнениям (2.3) и (2.6),принять в качестве идеальной (желаемой). Для этого сравним выходныехарактеристики чувствительных элементов с тремя и пятью степенямисвободы.Преобразуем систему уравнений (2.3) с учетом соотношений (2.5) изаменыпеременныхy1  y2  y , x1  x2  x .чувствительного элемента она примет вид:Длясимметричного29  y  q  t , x  2 hx x   k x2   2  x  2y  2r0   x22 x  q  t , y  2h y y  k y   y  2x  2r02    y  2h   k 2  d 2 y  2y    x  q  t .(2.7)Если на чувствительный элемент действуют только силы, создаваемыесистемой возбуждения (имеется в виду, что отсутствует системакомпенсации), и измеряемая угловая скорость постоянна, то системууравнений (2.7) будет x  2hx x   k x2   2  x  2y  2r0  0,22 y  2hy y  k y   y  2x  2r0 2    q y t ,  2h   k 2   d  2y  x  0.(2.8)Применим преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях ковсем уравнениям системы (2.8): p 2  2hx p  k x2   2  X  p  2pY  p  2r0 p 2 A p  0,2222pX  p  p  2hy p  k y   Y p  2r02 pA p   p  Qy  p, 22 p  2h p  k   A p  dp2 p Y p  pX  p  0,(2.9)где X  p  L x t   , Y  p  L y t   , A p  L t   , Qy  p  L q y  t  .ПреобразованиеЛапласадлясистемы (2.6) при аналогичныхдопущениях будет p 2  2hy p  k y2   2 Y  p  2r0  p  2 pA p  Qy  p, 22 p  2h p  k   A p  2dpY  p  0.(2.10)Колебания чувствительного элемента, пропорциональные переноснойугловой скорости, измеряются емкостной системой съема, обкладкикоторой расположены на корпусе прибора.

Характеристики

Список файлов книги