Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 63
Текст из файла (страница 63)
ОЕвспвя1оп оЕ сЬе сопсерс оЕ сЬе врессгва оЕ а Еаа11у оЕ орегасогв (В ). Ие ЬеН1п Ъу спгп1пй сЬе геадег'я ассепс1оп со сЬе впв1оду Ьесвееп сЬе деЕ1п1с1оп оЕ а ро1пс оЕ сЬе ярессгпв оЕ а Еаа11у оЕ орегасогв )КЬ~, впй сЬе Ео11ов1пН деусп1с1оп оЕ а ро1пс оЕ сЬе ярессгпв оЕ апу орегясог К (а деЕ1п1с1оп соваоп1у 1псгодосед 1п сопгвев оп Еппсс1опа1 апа1ув1в). Ая сЬе орегасог К, ве саге сЬе орегасог Н Еог вове ЕЕхей Ь. ТЬе ро1пс Л 1п СЬе соар1ех р1впе 1я са11ед а родос Еп СЬя ярвойггял оу СЬв орвгарог КЬ 1Е, Еог япу роясс1че я, сЬе 1песпя11су ()К о — Ло!) < яйп)! Ьая в яо1псгоп, и, Ье1опН1пН со сЬе врасе О, сЬе врасе оп чЬЕсЬ сЬе орегасог НЬ Ея деЕ1пед. Оп соаряг1пй сЬе йеууп!с1опя оу в ро1пс 1п сЬе ярессгпа оу в уов11у оу' орвгайогв ~Н ~, апд а ро1пс 1п сЬе ярессгпа оЕ сЬе орегвсог Р , опе вау Нес сЬе 1вргеяв1оп сЬас сЬе ярессгпа оЕ сЬе Еав11у ) НЬ~ сопя1ясв оЕ сЬояе ро1пся оЕ сЬе совр1ех р1апе вЬЕсЬ аге оЬса1пед Ьу раявайе со сЬе )Ев1с Ь О оЕ сЬе ро1псв оЕ сЬе врессгпа оЕ К , вЬеге сЬе 11в1с Ь О 1в арргоасЬед Ьу а11 ровв1Ъ)е япЪяеопепсев.
Впс, Непега11у вреаКЕпй, сЬЕв 1аргевв1оп 1я еггопеопв. СЬарсег !4 43В БсаЫ11су оЕ Мопве!Еай/о1пс РгоЫеав Сопв1йег сЬе орегасог КЬ, ч КЬи, ВЕчеп Ъу сЬе еКиас1опв ч (! — г)и + ги , а О, 1, ..., М-1, а а а+1' (!!) ч О, МЬ 1. М ТЬе орегасог (1!) ассе 1п а (М + !) 41аепв1опа1 !1пеаг ярасе, апй 1в сЬагассег1яей Ьу аасг1х (5). 1с 1я Кпояп сЬас сЬе ярессгиа оЕ а аасг1х сопв1всв оЕ 1св етйепча!иев, 1.е.
оЕ сЬе гоосв Л оЕ сЬе еКиас1оп йес)К - ЛК) Ь = О. Яе соарисей сЬеве е1Вепча!иев 1п Бесс. 1; сЬеу аге Л = 0 апй Л 1 — г. ТЬив сЬе врессгиа оЕ сЬе орегасог Р, Еог апу Ь, сопя1ясв оЕ сЬе сио ро1мв О апй 1 — г, 1пйерепйепс оЕ Ь. Вис сЬе вресспта оЕ сЬе Еаа11у оЕ орегасогв ) К ), ая и111 Ъе вЬочп 1п $45, сопв1всв пос оп1у оЕ сЬеве сво ро1псв ав, регЬарв, опе аЕВЬс ехресс Ъис, 1п айй1с1оп, оЕ а11 сЬе ро1псв оЕ сЬе с1гс1е )Л - 1 + г) < г оЕ гай1ия г, м1сЬ сепсег ас роспс Л = ! — г (Р1К. 22, р. 270).
Рог г < ! сЬе ярессгиа оЕ сЬе ЕааЮу оЕ орегасогв )КЬ) 11ев 1п сЬе ип1с с1гс1е )Л) < 1, Ьис Еог г > 1 сЫе песеввагу сопй1с1оп Еог ясаЫ!1су 1в пос яас1вЕ1ейт сЬе 1пеБиа!1су ) )Кр)) < К саппос Ьо!й ипИога!у 1п Ь. 1п Р1К. 53 ие яЬов р!осв оЕ сЬе йерепйепсе оЕ сЬе ча!иея оЕ ))К„)) оп рт ргЬ 1п сЬе саве г 3/2 Еог чаг1оив ча1иев оЕ Ь. 1п сЫе саяе сЬе врессгиа оЕ еасЬ орегасог К„ сопв1всв оЕ ЪосЬ ро1псв Л 0 апй /Ай// Л -!/2 сЬив 1у1пК 1п сЬе ип1с /! рр //Тйи// с1гс1е.
ТЫв Еасс ргейесега1пев «яЯ сЬе ЪеЬач1ог оЕ сЬе КгарЬ ) )КР) ) йг Еог !агБе ча1иев оЕ рт. ТЬе ча1ие оЕ ))КР)) сепйв со сего ав Ь / р/ пуф ф Рт ч, 1.е. сЬе Ьог1хопеа1 ах1в / «У)йг« 1я ап авуарсосе (апй 1п йеса11ей а1КеЬга соигвев 1с 1в ргочеп сЬас сЬе потев оЕ ровегв оЕ а аасг1х сепй со сего ав сЬе ехропепс 1псгеавев 1Е а11 сЬе е1Кепча1ие* оЕ сЬе аасг1х аге ваа11ег сЬап РЕК. 53. опе 1п аЪво1исе ча1ие).
ТЬе Тасс сЬас сЬе врессгиа оЕ а Еаа1!у оЕ орегасогв ) К ) 1в пос соса11у сопга1пей 1п сЬе иптс с! го!е аахея 1ся 1пЕ!иепсев Ее1с оп сЬе ЪеЬач1ог оЕ сЬе ча1иев оЕ ) )КР) ) ав Ь 0 И рт 1в пос соо 1агКе. ТЬе Ь 1агйевс ча1ие оЕ ) )КР) ) оп сЬе 1псегча1 0 < рт < Т (еЬеге Т 1в ап агЫсгагу Ь ров1с1че сопвсапс) Кторов Би1сК!у ав Ь йесгеавев. Вис сЫв я1Кпа1в 1пвсаЫ11су оп сЬе 1псегчв1 0 < с < Т, вЫ1е ас сЬе еаае с1ае сЬе ЬеЬач1ог оЕ ) )КР) ) ав рт, соппессей а1сЬ сЬе ЪеЬач1ог оЕ сЬе врессгиа оЕ еасЬ Ь 1пй1чЕйиа1 орегасог К , 1в оЕ по сопвепиепсе ас а11 1п сЬе ясийу оЕ всаЫ11су. 144 Крессгпв оЕ а Рав11у оЕ Орегасогв 439 5. кеагпевв оЕ СЬе песеввагу всаЫ11су сгусвг1оп со впЕЕЕс1епсу ТЬеогев 2. Барреле Сув орегасог К Св аву(лей ол СЬе логпвй врале О', /ЕлССв-йСвалвЕолат /о~ еаоЬ Ь, алс( тв Ьоилг(еИ ил</огв1у Ел Ь Ьу вове оолесалС от ИКЬЦ < с.
(12) )(КЬР Й < А(в)(1 + с)р, (13) иЬвге А = А(в) дерелг(в ол1у ол с, алт( лос ол Ь. ТЫв сЬеогев чвапв сЬас 41аров1с1оп оЕ сЬе врессгпв оЕ сЬе Еав11у оЕ орегасогв (КЬ~ 1п сЬе пп1с с1гс1е 1в пос оп1у песеваагу Еог всаЫ11су, Ьлс а1во Киагапсеев ауа1пвс "Кговв" 1пвсаЫ11су. 11 сЬе сопй1с1опв оЕ сЬе сЬеогев аге вас1вЕЕей с!те лпапс1су вах ИК И 1<р< (т/т) [т/т] е1сЬег гева1пв Ьоппйей ав Ь О, ог Кгоив логе в1ои1у сЬап О Еог апу саве, О = 1 + е, Кгеаеег сЬап пп1су. Ргоо(. Яе вЬои, рте)1в1паг11у, слас 11 сЬе врессгпв оЕ сЬе Еав11у оЕ орегасогв (КЬ) 11ев 1п сЬе с1гс1е )Л ( < р сЬеп, Еог апу Л аас1вЕу1пК сЬе 1пелпа11су (Л( > о + е, с > О, СЬеге ех1всв а ппвуег А А(в), апй а Ь > 0 0 высЬ СЬас Еог апу Ь < Ь апй апу и 1п О, и Е О, ие аау иг1се 11КЬ - М ! > А(с) !!.!! (14) Аввппе сЬе сопсгагу. ТЬеп опе сап Е1пй ап в > О~ а велиепсе оЕ пивлеге Ь„> О, Ь 0; оЕ совр1ех пивсегв ЛЬ, )ЛК! > р + в; апй оЕ чессогв о 1п Оь впсЬ сЬас (15) Рог 1агуе епопКЬ чаЛиев оЕ Ь, Еог иЫсЬ (р + в)/К < 1, Ьу ч1гспе оЕ (12) сЬе ппвЪегв Л сапаос 11е оисвЫе СЬе с1гс1е !Л ) < с + 1, в1псе опсв1йе К СЫв с1гс1е !)К и — Лп)~ > ( Л! — ))КЬ )()/~о И > //и/!.
уиррове, /игСЬег, овир(еСету ЕлвЫе ТЬел уог алу Сув ЬоилН Слав СЬв вреосгит оу" СЬе /аМ1у оу орегасога )К ~ 11ев Суе отовей иаэс о(го(е (Л) < 1. г г 0 СЬе лотчвв оу Сле )ххзегв о/' Еуе орезасога Кр вас<в)у Ь 5саЫ11су оЕ Мопве1Еай5о1пс РгоЫевв СЬарсег 14 440 ТЬпв сЬе веКпепсе Л 1в Ъоппйей, апй сЬегеуоге Ьав а 11в1с ро1пс Л, !Л/ > р + с. Опе сап еаа11у аее Егов (15) сЬас сЬе ро1пс Л Ъе1опйа со сЬе врессгпв оЕ сЬе Еав11у оЕ орегасогв ~В ~, сопсгай1сс1пК опг аввпврс1оп сЬас сЬе врессгов 11еа 1п сЬе с1гс1е ~Л~ < р. Кпрроае, пов, сЬас К 1в а 11пеаг орегасог саггу1пй вове Е1п1сей1вепв1опа1 погвей арапе О 1псо 1сае1Е. Апй впррове сЬас Еог апу совр1ех Л, !Л) ) г ) О, апу п 1п О апй вове а = попас ) О, ве вау вт1се сЬв 1пеКпа11су ((Кп Лп)) 7 а!)п~).
(16) ТЬеп р+1 ИКР!! < — ' (17) 1пеппа11су (17) Ео11овв Егов сЬе Ео11ов1пК ве11-Кповп еКпа11су: КР - — р ЛР(К - ЛБ) йЛ, 2л1 1Л ! (18) апй Егов сопй1с1оп ()6) вЫсЬ 1вр11ев сЬас /!(К - ЛК) // < )7а. То ргоче 1пеопа11су (13) че аес а (о + с)7А(*), г = о + с, р 1 апй К К„. ТЬеп (17) со1псййеа в1сЬ (13). 1п сопс1па1оп ве 1пй1сасе а ргооЕ оЕ Ко. (18). Кес и Ко , О(Л) К+1 о р-О ЛР ЛО(Л) - Лпа = КО(Л) (К - ЛК)О(Л) = -Лпв, О(Л) -Л(К - ЛЯ) пп.
Ргов сЬе йеЕ1п1с1оп оЕ О(Л) 1с 1в с1еаг сЬас и 1в сЬе гевййпе оЕ сЬе р-1 чессог Еппсс1оп Л О(Л): оР - — ф ЛР О(Л)йЛ - — Р ЛР(К - ЛК) О йЛ. 1 -! 1 -1 2л1 1л! 2л1 1Л! р+1 р Мп1с1р17 ЪосЬ в1йев оЕ сЬе еппас1оп пР = Кпп Ьу Л Р, сЬеп впв очег р Егов р О со р .
Опе сЬеп Кеса Врессгиа о( а Раа11у оЕ Орегасогв Кис ир К и~, во сЬас сЬе 1авс еОиас1оп 1в еОи1ча1епс со орегасог еОиас1оп (18). 1п сЫв весс1оп ие Ьаче асасей сЬе вреосга1 уогви1ас1оп оу сЬе ргоЫеа о( сЬе всаЫ11су оу ечо1ис1опа1 й11(егепсе всЬевев, а 1огви1ас1оп иЫсЬ 1в веап1пйуи1 Уог апу ечо1ис1опа1 йН(егепсе всЬеае вЫсЬ сап Ье рис 1псо сЬе Тога иР Киуе тру, +1 Ь и 51чеп 1п висЬ а иау сЬас вас1вуасс1оп о( сЬе сопй1с1оп ~ ~КЬРИ < К, р = 1, г, ..., [Т!т), аои1й Ье еци1ча1епс со всаЫ11су.
ТЬе всЬеаеа геуеггей со Ьеге аау Ье сво1ече1 ог ви1с11ече1 всЬеаев, вр11сс1п5 асЬеаев, есс., уог ргоЫевв оп ап 1псегча1, 1п ви1с1"й1аепв1опа1 ог совров1се ге51опв. ТЫв врессга1 Еопвз1ас1оп геОи1гев сЬас опе йесегв1пе иЬесЬег ог пос сЬе врессгив о( сЬе (ав11у оЕ орегасога (КЬ~ 11ев 1п сЬе ип1с о1гс1е )Л) < 1. 645. А15ог1сЬв Еог сЬе еоврнсас1оп оГ СЬе вресггив оЕ а Еав11у о1 йАЕЕегеасе орегагогв оп аес Еппес1опв 1п вв 1псегча1 1п сЫв весс1оп ие йевсг1Ье ап а15ог1сЬв Еог соврис1п5 сЬе врессгив оу а Еаа11у о( йШегепсе орегасогв ~К ~ оп сЬе арапе о( пес уипсс1опв (ог чесгог"(ипсс1опв) йе(1пей очег ап 1псегча1, Ав сЬе попа оЕ сЬе (ипсс1оп (ог чессог-Еипсс1оп) ие саКе сЬе вах1виа оу сЬе аЪво1ые ча1иев СаКеп оп Ьу сЬе Еиппс1оп (ог сЬе оовропепса оу сЬе чессог-уипос1оп).
1. Тур1еа1 ехавр1е. ТЬе уаа11у оу орегасогв ~К ), ч К и, и111 Ье йе(1пей Ьу сЬе епиас1опв ч " (1 - г)и ч ги , в О, 1, ..., М-!, в а а+1' ч О. ТЫв орегасог КЬ осеигв 1п сЬе всга15Ьс(огчагй гейисс1оп оу сЬе й1Негепсе Ьоипйагу-ча1ие ргоЫев СЬарсег 14 ДсаЫ11су оЕ Мопве1(ай)о1пс РгоЫевв 442 в в в+1 а т Ь а' р р - О, 1, ..., (Т(т)-1, " О, ия р(х ), в - О, 1, ..., Н-1, +1 (2) со сЬе Еогв и = К и + трР, ио д1чеп. р+1 Ь Вцизг1опа (2) сопвс1сисе а йЕЕЕегепсе апа1одие оЕ сЬе ВЕЕЕегепс1а1 Ъоипйату"ча1ие ртоЫев и - и = Ф(х с), О < х < 1, О < с < Т, и(х,о) 4(х), и(1,с) О.
Уе Ьаче а1геайу сопв(детей й1ЕЕегепсе ясЬеяв (2) 1п 2526 ав зп ехавр1е 111ивсгас1пд сЬе арр11сас1оп оЕ сЬе ВасепКо-Се1Еапй сг1сег1оп. 1с вЬаи14 Ъе геса11ей сЬас, 1п ия1пд сЫв сг1сет1оп, сЬе 1пчевс1дас1оп оЕ сЬе ог1д1па1 ргоЫев, д1чеп оа ап 1псегча1, аияс Ъе вр11с 1псо сЬе всийу оЕ сЬгее аих111агу ргоЫевв: а ргоЫев ч1сЬоис 1асега1 Ьоипйаг1ев, а ргоЫев и1сЬ оп1у а 1е(с-Ьапй Ьоипйагу апй опе и1сЬ оп1у а г1ВЬс Ъоипйагу, Еог еасЬ оЕ иЫсЬ опе виве Е1пй а11 сЬе егдепча1иея оЕ сЬе сгзпя1с1оп орегасог Егов и сои 1 1с сигпв оис сЬас сЬе а1дог1сЬв Еог соврис1пд сЬе ярессгив оЕ а Еав11у оЕ орегасогя )КЬ) со1пс1йев и1сЬ сЬе ВаЬепсо-Се1(апй ргосейиге. 1п огйег со йеясг1Ье сЬе а1дог1сЬв Еог соарис1пд сЬе ярессгив оЕ а Еав11у оЕ орегасогв )Р ), йеЕ1пей Ьу Квя.
(1), ие сопв1йег сЬгее аих111агу орегасогвс К, Й апй К. ТЬе орегасог Й, ч Ки, 1в д1чеп оп сЬе 11пеаг ярасе оЕ Ьоипйей Еипсс1опв и = (..., и, оо, и1, ...) деЕ1аей оп сЬе иЬо1е пес-11пе < вЬ <, Ьу сЬе ехргевя1оп ч " (1 — г)и + ги , в О, +1, (3) 18 в ан-1 ' ч (1 — г)и + ги , в О, 1, (4) ТЫв ехргевя1оп 1в оЪса1пей Егоа ВК. (1) Ьу гевоч1пд сЬе 1еЕс-Ьапй Ъоипйагу со апй сЬе г1дЬс-Ьзпй Ъоипйагу со +», а Езос теЕ1еосей 1п сЬе счо-в1йей аггов оЕ сЬе йев1дпас1оп оЕ сЬе орегасогс К, ТЬе орегасог К, ч Йи, 1в д1чеп оп сЬе 11пеаг врасе оЕ пес"Еипсс1опя и (и, и, ..., и...,) йе- Е1пей оп сЬе пес Ьа1Е-11пе х - вЬ, в - О, 1, 2, ..., апй сепй1пд со яего ав в ч .
1с 1в йеЕ1пей Ъу сЬе еоиас1опв 443 А1дог1СЬи Еог сЬе Соирпсас1оп оЕ Брессга ТЬеве еупас1опв аге оЬса1пей Егои Кц. ( 1) Ьу иоч1пу сЬе г1КЬС-Ьапй Ъоппйагу со + , ав 1пд1сасей Ьу сЬе апеиоп1с в1Кп 1п сЬе посас1оп Еог сЬе орегвсог: Р1па11у, сЬе орегасог К, ч Кп, оп сЬе Еппсс1опв и = (.. ° , и , ° ... и , «..), и ч О ав и деЕЕпед оп сЬе пес Ьа1Е-11пе х = иЬ, а - ..., -2, -1, О, 1, ..., М, и111 Ъе К1чеп Ьу сЬе еупас1опв ч = (1 — г)о + гп , и = ..., -1, О, 1, ..., М-1, и и а+1' (5) ч„= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
