Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 62
Текст из файла (страница 62)
5. СЬо1се оЕ а вса1аг ргодипг. Биррове ВЬи, 1в В1чеп Ьу сЬе епиас1оп аау Во Егоа сЬе ог1В1па1 Ьоипдв (19). 21Вепча1иев оЕ аге еаву со са1си1асе сЬас сЬе орегасог К , ч Ь' Вч Аи, (20) апд, Еог вове рагс1си1аг сЬо1се оЕ вса1аг ргодисс (и,ч) !и,ч) пос песевваг11у В1чеп Ъу ЕОв. (!3) апд (14), сЬе орегасогв А„апд В аге ве1(ад)о1пс ~АЬи, ч] =- ~и, А„ч], ~ВЬи, ч] е ~и, В,ч].
Зиррове, ЕигСЬег, СЬаС В ) Ос 'ЕВ и, и] > О, 11 и г О. -1- ТЬеп сЬе орегасог 9 = В А 1в ве1(ад)о1пс 1п сЬе вепве о( сЬе вса1аг Ь Ь ргодисс (и,ч) =- (В и, ч]. (21) 1п (асс (ВЬ АЬи, ч) = '(В (В А )и , ) Ь (и, АЬч] = (В В и, А и] (АЬи, ч] [В~и, В~ А~ ч] (и, В А ч] Ь ТЬе аЬоче 1депс1су 1п н апй ч (В А и, ч] И (и, В А ч] Л В Р'"' - А Р"), С Ь Ь (22) апд сЬас д(вров1с1оп оЕ а11 сЬе е1Вепча1иев Л оп сЬе вейаепс -1 < Л < 1 1в песеввагу апд виЕЕ1о1епс Еог сЬе ча1(д1су оЕ сЬе 1пе9иа11су аеапв, ргес1ве1у, сЬас сЬе орегасог В 1в ве1(ад3о1пс. ТЬив сЬе сЬо1се оЕ вса1аг ргодисс ч1а 29. (21) а11оив ив со ове сЬе врессга1 сг1сегсоп оЕ Весс. 2 Еог сЬе Ьоипдедпевв оЕ погав оЕ рочегв оЕ ве1(аййо1пс орегасогв.
Брес1Е1са11у, опе сап аЕЕЕга сЬас сЬе орегасог Я деЕ(пед Ьу 29, (20), Ьав геа1 е1йепча1иев 1, апд а соар1есе вувсеа оЕ (Ь) е1Вепчессогв СЬарсег 13 Сопвсгисс1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегасог 430 л,ГВ„Ф(ь), Ф(")] - ]Аьр("). Ф(")]. Егоа иЫсЬ (В) (В)] ~В Ф(К) Ф(1)] ]л„]- ](АЬ" и]] " ](АЬ ]. ФМ , ]' ФМ ]] = ][ ) Х Ф(~) ) Ф(~)]] ЬЛЬВЬФ ' С сЬФ ]] = ](В 1 с Л Ф(") ) Ф(~)]] 4 сВЛЬФ ].
„Ф ] -"] сх]Л ] < В ' В Ь <)с(и,и)=]ви,и]. Ь ТЬегеЕоге (В и, и] >]СА и, и] ], чЫсЬ 1в еои1ча1епс со сопй1с1оп (2В). ТЬе сЬеогев 1в ргочеп. Мосе сЬас чегсвтсас1оп оЕ сопй1с1оп (2В) 1в еви1ча1епс со а йесеги1пас1оп ав со авесЬег ог пос а11 сЬе е1Вепча1иев оЕ сЬе орегасогв В - А. Ь и апй В + А (ве11айло1пс 1п сЬе пеппе оЕ сЬе вса1аг ргойисс (и,ч)) аге поп- Ь пеВас1че. р1па11у че 1псгойисе, в1сЬоис ргооЕ, вс111 апосЬег всаЫ11су сг1- сег1оп, арр11саЫе со й1Е(егеасе всЬевев (24) млсЬ В„ > О, А„ = Ав > О.
Ь 2 лес ив 1псгойисе, 1п враге О , ап епегву поги ]]и]] , весс1пв ]]о]] (А и,и ТЬеогев 3. Твв поит((Ссоп В > — тАЬ йв пвовввагу ап<Е виуусосепс Еог 1 свв иаИтЕ(су оу сЛе спет(иа(йсу ]~МЬ]~ < 1 ° ТЬеогев 3 1в сопса1пей 1п Бесс. 451 оЕ СЬарсег 6, Нес. 23, апй аау Ье ргочеп ч1сЬоис сЬе Ье1р оЕ сЬе врессга1 арргоасЬ, Ьеге 1парр11саЫе Ьесаиве сЬе орегвсог ВЬ 1в пос (песевваг11у) ве11ай)о1пс. Сопчегве1у, 1ес оах]Л ] < 1. Ме пов ввоч сЬас сопй1с1оп (2В) 1в вас1в- (1) 11ей. Ьес и = Ес Ф Ье сЬе ехрапв1оп оЕ апу агвссгагу е1евепс и, (и (,) 1п О ) 1п сЬе Ьав1в ]Ф ], огсЬопогва1 1п сЬе пеппе оЕ све вса1аг ргойисс Ь (21).
ТЪеп Вовой оп Могев оЕ Рочегв оЕ Орегасогв 431 РКОВЬВМВ 1. Боррове сне орегасог В„, Ь В а, 1в В1чеп Ьу сЬе еооас1опв Ь = (1 — г)а + га , е = О, 1. .. ° , М"1, в е е+1 Ь О. М Ргоче сЬас 1п враге О оЕ пес Еппсс1опв Еа ), Ь е ровв1ВЕе со де11пе а вса1аг ргойпос восЬ сЬас ве1Еай1о1пс . а = О, 1, ..., М, 1С 1в 1есЬе орегасог К„ е111 Ьесоее 433 СЬаргег 14 Зрессга1 сг1сег1оп Еог сЬе ЗсаЫ11су оЕ Вопве1Еай5о1ас Кча1ис1опа1 Воивйагу-Ра1ие РгоЫеав Неге ие нЬои сЬас, Етое сЬе врессгив оЕ а попве1(ай)о1пс орегасог К опе сапное )ийре нсаЫ11су оЕ а й1ЕЕегепсе Ьоипйагу-ча1ие ргоЫев 1п а Ьоипйей геЗ1оп; ие 1псгойисе сЬе сопсерс оЕ а оЕ орегагогн (КЬ~ апй сопнййег сЬе нрессга1 Еогаи1ас1оп оЕ сЬе Киенс1оп оЕ нсаЫ11су, чМсЬ геаа1пн ееап1пЗЕи1 а1во 1п сЬе сане оЕ попне1Еай)о1пс Ьоипйагу-ча1ие ргоЫеан 1п Ьоипйей геЗ1опн.
Не в(11 ро1пс оис а песевнагу, апй с1ове со ниЕЕ1с1епс врессга1 сг1гег1оп Еог асаЫ11су. 544. Зреесгиа оЕ а Еав11у оЕ орегасогв (В 1. 1. Веей Еог 1аргочеаепс 1а сЬе вреесга1 всвЫ11су ег1сег1оа. 1п СЬаргег 13 1с иав нЬонп сЬас, огй1паг11у, ечо1ис1опа1 й1ЕЕегепсе Ьоипйагуча1ие ргоЫеав еау Ье ЬгоиЗЬс со сЬе Еога ир - К„ир + трр, е1 и З1чеп, но сЬнс нсаЫ11су оп сЬе с1ве-1псегча1 О < с < т ч111 Ье еки1ча1епс со сЬе ип1Еогв (1п Ь) Ьоипйейпевв оЕ сЬе поган оЕ рочегн оЕ сЬе сгапн1с1оп орегасог КЬ, 1.е. еаи1ча1епс со сЬе Ьоипй ЙКЬР И < К, р - 1, г, ..., )т!т ), (2) иЬеге т 1в сЬе пес с1аевсер, т т(Ь). 1с чав евсаЫ1нЬей сЬас соп(1певепс оЕ сЬе е1Зепча1иев оЕ сЬе орегасог КЬ, 1пв(йе сЬе с1ге1е !Х! < 1 н ст (3) Еп сЬе соар1ех р1апе 1в песенаагу Еог сЬе ча1141су оЕ (2), 1.е.
Еог всаЫ11су. 1п $43 Ес чав вЬовп сЬас, 1п сЬе саве оЕ а ве1Еай)о1пс орегасог К, сопй1с1оп (3) 1в пос оп1у а песевнагу, Ьис а1во а ниЕЕ1с1епс сопй1с1оп Еог сЬе ип11огв Ьоипйейпенв (2) оЕ сЬе поган оЕ рочегв оЕ сЬе орегасог СЬарс 14 434 ВсаЫ11су оЕ Ропве1Ха4)о(пс РгоЫепв К . ТЫв папе Хасс чав евсаЫ1вЬей 1п 125 Еог сЬе СаосЬу 41ЕЕегепсе ргоЫеп в1сЬ сопвсапс соеЕЕ1с1епсв, Еог сво-1ече1 41ЕЕегепсе всЬепев 1п опе ппгповп Еппсс1оп, а(сЬ по ге(егепсе со ве11айуо1пспевв.
Вос, 1п сЬе Репега1 саве оЕ а попве1Еай3о1пс 41ХЕегепсе Ьоппйагу-ча1пе ргоЫеа 1п а Ьооп4ед геР1оп, сЬе песеввагу сг1сег1оп (3) 1в чету Еаг Егоа воЕЕ1с1епс, апй 1в соса11у 1пайеспасе 1п Веа11пР в1сЬ сЬе Роевс1оп оЕ пп1Еогп Ьоппдедпевв оЕ потев, ~!КЬЦ, оЕ ропегв оЕ сЬе орегасог Р . ТЫв аау Ье р вЬопп Ьу сЬе Ео11ов1пР ехаар1е. Вхапр1е. Рог сЬе 41ЕЕегепсе Ьоппйагу-ча1пе ргоЫеп т Ь хп' ср Р - О, р = О, 1, ..., [Т!т ), (4) а = О, 1, ..., М; МЬ = 1, о = р,х арргох1аас1пР сЬе ргоЫеп = Ф(х,с), х п(1с) О, 0<х<1, 0<с <Т, п(х,О) = Ф(х) сЬе пасога1 гейпсс1оп со сапоп1са1 Еогп (1) 1еайв со ап орегасог Р , ч К ц, Р1чеп Ъу сЬе еспас1опв ч (1 - г)о + го а ш а+1' и О, 1, ° .
°,М-1, ч О, г=с/Ь ° М 1п пасг1х Еога 1 - г г 0 ... 0 0 О 1 - г г ... 0 0 К (5) Ь 0 0 0 ... 1 " г г 0 0 0 ... 0 О ТЬе врессгоп оЕ сЬе сасг1х сопв1всв оЕ 1св еЕРепча1оев, 1.е, оЕ сЬе гоосв оЕ сЬе есоас1оп йес(Н - 1В~ 0 ог " 1(1 - г - 1) О. М Ярессгиа оГ а Рав11у оЕ Орегасогв ТЬив сЬе госсе оГ сЫв еяивс1оп, Л 0 апй Л 1, Гога сЬе врессгиа оЕ сЬе орегасог В Еог апу Ь. ТЫв вресггиа 11ев 1пвЕйе сЬе ип1с с1гс1е )Л! ! Еог 0 < г < 2. МечегсЬе1евв, Еог ясЬеве (4) и1сЬ 1 < г < 2 сЬе СоигапсРг1ейг1сЬв-сечу сопй1с1оп 1в пос вас1вЕ1ей, во сЬас всаЫ11су, ИВРЙ < К, 1в 1вровв1Ые 1п апу геавопаЪЛе поги. Хп Гасе ие ч111 вЬоч сЬас, 1п сЬе саяе Т > 1 и11Ь поги ~)и!! = вах!и ае Ьаче сЬе 1пеяиа11су в аах !(ЯЬР!! > )! - 2г! = о 1/Ь 1/Ь р-1, г, ..., [Т/т) (6) иРВЬРис,р=1,2,...,Мапйа0,1,...,Мр аге Я1чеп Ьу сЬе еяиас1опв иР ("1) (! " 2г)Р, а О, 1, ..., М-р.
ТЬегеГоге ))Я и~(! > (! — 2г! (!и~)(, р < И, во сЬас Еог сЬеве че1иев оЕ р, р 1, 2, ..., М, 1~ЯЬР!! > ~1 — гг!Р, р - !. 2, ...; М - !/Ь, апй 1пеяиа11су (6) Ьав Ьееп ргочеп. ТЬив 1с Ьав Ьееп евсаЫ1вЬей сЬас сЬе песеввагу врессга1 сг1сег1оп (3) Еог ип1Еога Ъоипйейпеев !)Я„)! < К, ив1пК сЬе е1яепча1иев оЕ сЬе орегасог ЯЬ, 1в соо соагве чЬеп сЬе орегасог Я 1в попве1Гай)о1пс! 1п оиг ехавр1е 1с йоев пос йесесс сЬе 1пвсаЫ11су сЬас оссигв Гог ! < г < 2. 2. ОеГ1а1с1оа оГ сЬе врессгив оГ а Евв11у оЕ орегасогв.
Яиррове сЬе 11певг орегвсог В 1в йе(1пей оп а 11пеаг погаей врасе О„. Яе йев1япвсе Ьу Рог г>1 вах((Р (! Р ч1о1асей. в О, 1, а1во р > 1, во сЬас ав Ь ч 0 апй т гЬ ч 1псгеавев ехропепс1в11у апй сЬе сопй1с1оп То ргоче 1пециа11су (6) че посв сЬас, 1п М, сЬе ча1иев иР оГ сЬе Еипсс1оп 0 сЬе яиапс1су < К 1в яговв1у сЬе саве и - (-1) О а ОЬарсег 14 438 ВсаЫ11су оЕ Вопве1Еай)о1пс РгоЫевв [ВЬ[ СЬе вес оЕ орегасоге В Еог а11 ча1иев сакеп оп Ьу сЬе рагавесег, Ь, сЬагассег1в1пв сЬе йепв1су оЕ сЬе пес.
Ву сЬе аасиге оЕ 81ЕЕегепсе всЬевев Ь сап Ьаче ров1с1че ча1иев ав вва11 ав че 11ке* ТЬе совр1ех пиаЬег 1 ч111 Ье са11ей а "ро1пс оЕ сЬе врессгиа оЕ сЬе Еаа11у оЕ орегасогв [В [" 1Е, Еог апу ров1с1че Ь апй с, опе свп Е1пд ап Ь, Ь < Ь, Еог вЫсЬ сЬе 1певиа11су [)В и - Л [[ < сии[) Ьав вове во1ис1оп и, и 1п О ТЬе вес оЕ а11 висЬ пивЬегв 1 ве ч111 са11 сЬе "врессгив оЕ сЬе Еав11у оЕ орегасогв [В [".
3. Весввввгу совйЕС1оп Еог всаЫ11су. ТЬеогев 1. Бирроев Свис ас 1еавс олв ройлС 1О оу Све врвосгшх о~ Све уалПу оу орегасогв [ВЬ[ Ыев оисв(с(е Све илес осго1е сл Све ооврСех рЕале, во СваС ~18~ > 1 ° Тл СВВв сове СС св Серове(Ые Со уйлй оле оолвсалс К, Све вале ~ог аП Ь, виов Свис )[ВЬР[[ < к, сл овсов р гила Свгоидв Свв йлседга( оа(иев угол д Со РО(Ь), гвеге Р (Ь) ч ав Ь ч О. О Ргооу. вес ив 11гес аввиае сЬас СЬеге йоев пос ех1вс ап Ь > О апй а с > О висЬ СЬас, Еог а11 Ь < Ь, че Ьаче сЬе Ьоипй [)В, [[ < с. (8) Опйег сЫв аввиврс1оп сЬе аввегс1оп со Ье ргочеп 1в оЪч1оив.
ТЬеге(оге че пеед со сопв1йег оп1у сЬе саве чЬеге СЬеге ех1ас ча1иев Ь > О апй с > О висЬ сЬас, Еог Ь < Ь , 1пеоиа11су (8) 1в ча118. виррове [1 [ ) + д, вЬеге Л 1в сЬас ро1пс оЕ сЬе врессгив Еог юЫсЬ о О > 1. О1чеп ап агЫсгагу пивЬег К, ве сЬоове р апй с висЬ, ав со вас1вуу сЬе Епевиа11с1ев (1 + д)' > гк, 1 - (1 + с е с + ... + ср )с > — . 2 -1 1 2' Ву све деЕ1п1с1оп оЕ а ро1пг оЕ сЬе врессгиа оЕ а Еав11у оЕ орегасогв [В опе сап Е1пй ап агЫсгаг11у ввв11 ров1с1че Ь Еог вЫсЬ СЬеге ех1всв а чессог, и 1п О ,вЫсЬ 1в а во1ис1оа оЕ сЬе епиас1оп [)В и — Л и[[ < с[[и[[.
(в) Ьес 422 Ярессгпа оЕ я Раа11у оЕ Орегасогя 1с 1в с1еаг сЬас ) )я( ( < я) )п~ !. РпгсЬег, Егоа (10) опе сеп сопс1пде сЬас Ко =Ля+ (Л я+Л Кя+ ° ° +К я) р р р-1 р-г р-1 О1чеп сЬас )ЛО( > 1, О О Ь ''' Ь < )Л (~1 е ))К )) е ((НЬ)( е + ))К )(~с~)п~~ впд сопвецпепс1у )(КЬРпи > )Л )Р(1 "с~1+с+сг+ ... +су )Шпи > > (! + 6) — Ипи > 2К у Ипи Кипи. ТЬе поаЬег Ь, сЬгопКЬопс сЬЕв сопясгпсс1оп, сап Ъе сопв1дегей ява11 епопНЬ яо сЬас р в111 Ъе яяе11ег сЬап р (Ь). 31псе К вая агЪЕсгагу ве Ьяче пов ргочеп оог авяегс1оп сЬас дйяровйсйоп оу' аП РЬв ройпся оу РЬв ярвосгпт оу РЬв Гали2у оу орвгасогв юйсЬЕп ог оп ЕЬв ЬоиаЕагу о~ ЕЬв ипдс ойго1в ~Л~ < 1 Ев пвояввагу Рог сЬв па21дЕСР оу СЬв Ьоипд 11КЬ!! < Н 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
