Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 59
Текст из файла (страница 59)
ТЬе во1иС1оп аС СЬе (р+1)'вг 1ече1 ч111 Ье чгЕССеп 1п сЬе Еога оЕ а виа, ВСаСеаепс оу 0111егепсе Воппйагу-Ра1«е РгоЬРев 405 гр" — ( 1 + 2г)рР + грв = ФР, в 1, 2, ..., М-1, ве1 в в-1 а' (17) М г р+1 ч К„п 11 ~ )1 ~ ) 1в йе11пей, «в ЬеЕоге, Ьу Бо. (10), сЬеп ваг1«1асг1оп оу Ь сопй1С1оп 1' )(Р')) < К!11 !(, Ео11овв 1гов сЬе Ьоппй Р (с ) — Ф (с 1 1 '1 1 ! - [-'~ — ',— '~ ч«118 Рог СЬе во1«с(оп (рР) о1 вувсеа РогСЬег, К 1.
1 Сопй!с!оп 2' (17) Ьу ч1гсое оу Ьоопй (7) 14. )(„ И < К 11Р(Ь))( 1« а!во вас1вЕ(ей, Ьу ч1гсае оу (10) а1СЬ пр = Р , апй Ьеге, с1еаг1у, ае а а' сап вег К ! ° РпгСЬег, 1п 128 ве ргочей СЬе Ьоппй 2 (ч ( < вах)п ), всссЬ аау Ье 1пгегргегей «в СЬе !пеппе!1гу ((й «Й < ))и((, ()К )) < 1, Егов вьссь 1с Ео11овв сЬас ТЬ« Е(гвг о1 СЬеве К , во СЬаС че аау ау«сева сап Ъе сасеп ав сЬе йе11п1с1оп ос сЬе орегасог вг1Се СЬаргег 13 Сопвсгпсс1оп оЕ сЬе Тгапв111оп Орегасог 406 Ые Ьаче Ьеге Ео11очед сЬе ваае цепега1 р1ап ав 1п сЬе всаЬ111су ргооЕ оЕ 128, вЬоаспй сЬас ЕС апд сЬе ргооЕ ргевепсед Ьеге аге СЬе вахе. ТЬе асоче ехавр1е 1в 1пгегевс1пй а1во 1п сЬас 1с ааСев пве оЕ а гаСЬег соар11сасед весЬод Гог сопвсгпсс1пд сЬе чессог р РЬОВЬЕМЯ 1.
Рог сЬе вувсеа оЕ асопвс1с еопаг1опв — + А — = ф(Х С), -" < х < ", О < с < Т, Зп ап ас ах п(х,О) = ф(х), < х < гедпсе Со сапоп1са1 Еога (3) СЬе всЬеве в а в+1 в-1 '* — а —— — Аг (пр — 2пр + пр ) ф(х , С 2Ь2 а+1 а в-! в' р пв = ф!х ), сас1пй аР = !пр!. Нег1Еу СЬас, 1Е погав аге йеЕ1пед ч1а сЬе е4оас1оп ))о )! = аах))п )), ))Е )), = аах!))ф)), аах!!ф !!), Р Ь Р вЬеге 2 2 2 )!.')! - 1 (),'! ))ф))г рн[)ф (а) ))г + )ф ( 1,))2) ))ф )! — 1 ()ф (х,с )! + !ф !х,с )! ), а сопд111опв 1'-3' аге ваС1в21ед. $4! 407 Вгасеаепс оЕ 01ЕЕегепсе Воипйагу-ча1ие РгоЫеа Ргоче сЬас Еог г С 1 ВЕЕЕегепсе всЬеае (*) 1в вгаЫе, апй Еог г ) 1 Ев ипвсаЫе. Вспс. То Ьоипй сЬе потев )~ВР~~ Во очес Со сЬе чагсаЫев Ь 1 =ч +и, 1 =ч — е (!) (2) а п1 а а а а' са11ей "21еаапп 1пчаг1апсв" апй иве сЬе врессга1 сг1сег1оп оЕ весс1оп 4125, 2.
Вг1пВ СЬе йсЕЕегепсе всЬеае ч -2ч +ч а а а Р а-1 р ч -2ч + а+1 а т2 р = 1, ..., [ТЕт)-1, ч1 = тф (х ) + Ф (х ), ч Ф(х а=о, <! арргох1ааг1па СЬе СаисЬу ргоЫеа агч агч — — — ф(х,г), ( х ( асг ахг 0 С с СТ, ч(х,О) Ф (х), а ' Ф!(х), ач(х,о) ( х Е со сапоп1са1 йога (3) весс1пВ р 2 2 ))и Й 1 )ч ) + ))ф )) 1 )ф ), ))Ф )) = 1 )Ф (х )) ))и )) = аах))и )) ° ОЬ р ))Е ИР ))ФО)) + ))Ф!)) + аах))ф )).
Ь Р а) чег1еу сьас сопй1с1опв 1'-3' аге вас1вгсей. Ь) Рточе сЬаг Еог т/Ь = г < ! ЕЬе всЬеае 1в всаЫе, еЫ1е Еог т/Ь г ) ! 11 1в ипвеаЪ1е, р+ 1 ч ч! г ч — ч а а 4ОВ Сопвсгисс1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегасог СЬарсег 13 642. рве оЕ рагссеи1аг во1ис1оав Еп ЕЬе соавсгиессоа оЕ сЬе Сгапв1ссоа орегасог 1п 141 ве Са1Сей асоиг СЬе гейисг1оп оЕ СЬе 41ЕЕегепсе Ьоипйагу-ча1ие ргоЫеа и(Ь) (Ы Ь Со СЬе Гога и' - К и' + тр', +1 Ь (2) и В1чеп. 1п сМв гейисс1оп сЬе гейисс1оп со Гога (2) ве Ье аЫе со сьас сЬе Ьоипй орегагог К сап Ье сЬовеп 1п чаг1оив ваув. ТЬе Ьав СЬе ригрове СЬаг, Ьу Ьоипй1пВ СЬе ча1иев оЕ йгав сопс1ив1оав гейагй1пК всаЫ11су.
1С чав вЬоип Ц КР~) < К, р = 1, 2, ..., (Т!т), (3) епвигев всаЫ11су ЕЕ оп1у сЬе орегасог К , апй сЬе геви1гей потев, аге Ь' сЬовеп 1п висЬ а вау ав со вас1вуу сЬе сопй1с1опв: 1' ЦорЦ < к)ИЕ(") ир, Ь вЬеге р гипв СЬгоирЬ а11 ча1иев Еог вЬ1сЬ р 1в йеЕ1пей; аай 2' Ииеи < К ИЕ( )!/ 1п СЬе ехаар1ев сопв1йегей 1п $41 сЬе орегатог К сои1й Ье сасеп со Ье Еа1г1у в1ар1е, ас сЬе ваае с1ае вс111 вас1вЕу1пВ сопй1С1опв 1' апй 2'. Вис опе сап а1во епсоипсег ехаар1ев (апй опе в111 Ъе сопвЕйегей 1п сМв весс1оп) вЬеге сопй(Ыоп 1' 1в соо всг1сс, во сЬас сЬе орегасог К, сопвСгиссей во ав со СаСе асооипс оЕ сЫв еопй1с1оп, саппоС Ье ав в1ар1е ав опе чои1й 11Се.
Ве1ов 1п сЫв весс1оп 1С в111 Ье вЬоап сЬас Ьоипй (3) геаа1пв виЕЕ1- с1епс еог есаы11су се еопй1с1оп 1' 1в гер1асей ьу сье 1евв гевсг1ес1че сопй1с1оп 1*. тьапсв со сье виьвс1с1оп ое 1* еот 1' сье орегасог к аау ье Ь сасеп в1ар1ег апй в1ар1ег сЬе аоге опе Споив аЬоис сЬе во1ис1опв оЕ сЬе аЬоче 41ЕЕегепсе ргоЫеа (1) ° 1п рагс1си1вг, сЬе всгиесиге оЕ ссе орегасог, К, вМсЬ арреагв 1п сЬе гейисг1оп оЕ сЬе йсЕЕегепсе всЬеае Со Гога (2), Ьесоаев в1ар1ег 1Е ае Кпов сегса1п рагс1си1аг во1ис1опв оЕ сЬе 41ЕЕегепсе есиас1опв ептег1пК 1пСо СЬе Еогаи1ас1оп оЕ ргоЫеа (1).
Соггевропй1п21у, опе сап в1ар11Еу сЬе ргооЕ оЕ 1песиа11ту (3), вЫсЬ 1ар11ев 142 409 Ове оЕ Рагг1си1аг 5о1иг1опв всаЬ111гу. А11 СЬЕВ и111 Ье йеаопвггагей 1асег Ьу иау оЕ ехаар1ев. Мои пе сигп со сЬе Еогаи1ас1оп оЕ сопй111оп 1*. Ь 5иррове СЬаС г 1в вове пеС Еиасг1оп Еп О йерепд1пК, Кепега11у, оа Е .
1п СЬе гейисг1оп оЕ 41ЕЕегепсе всЬеае (1) Со сапоп1са1 Еога (2) пе (Ь) вр11с сЬе пес Еипсс1оп и 1пСо Еипсс1опв иР оЕ О . 1п сЬе вале иау ие (Ь) (Ь) Ь пои вр11с СЬе пег Еопсг1оп в, Ьу 1ече1в, 1псо Еипсс1опв пр оЕ О, апй ровси1асе СЬас СЬе п вас1вуу 1пеаиа11С1ев оЕ СЬе Еога ))г~)) < К((Е ))Р (4) иЬеге К 1в вопи сопвсапс, апй р гиле СЬгоиКЬ сЬове ча1иев р О, 1, РО Еог вЬЕсЬ СР 1в йеЕ1пей. Оопй1С1оп 1*. тупее ех(все а уилос(ол п , вас(вру(лд следиаЕЕСу (Ь) (Е), алг( висЬ СуаС Р ( Р+ и Р~(~ 4 к йе(Ь)И 11 опе сап СаСе, ав п, п = О, СЬеп пос оп1у сопй1С1оп 1* 1в (Ь) (Ь) вас1вЕ1еа, Ьиг а1во сЬе всг1сгег соп41С1оп 1'. ТЬеогеш.
ЕЕ г(Е)уегелое ргоЫеа ()) тау Ье мг(ССел сл салол(оа1 )олп (2), ыМЬе вас(еууСлд Ьосу еолй(С(олв 1 алй уп, Суел усите (5) Йпр2(ев Суе ЕлеоиаИСу )(ио)) ( с йЕ( Й Ь иуЕРЬ, Ел Силл, ипр11ев всаЬПЕСу. Ав сЬе сопвсапс с опе аау сесе ж ЕК 1 + К. Ргооу. Оеуспе СЬе Еипсг1оп и и — и ° Ргоа СЬе еаиаг1оп (Ь) (Ь) (Ь) ~Р К ~Р Ч срр +1 Ь 1С Ео11оив СЬаС ир+ и чр + грр (6) чЬеге Рр Рр — 4п~ 1 — К аг) г Ь Ву сопасс1оп 1* ве ьаче 410 Сопвсгасс1оп оЕ сЬе Тгапв1сгоп Орегасог СЬареег 12 ))р )) < к,))е("))) Ов1пК КО.
(6) аад 1певаа11су (3) ве 11пд в1сЬоас д1ЕЕ1са1су, ав ае Ьаче лапу с1аев ЬеЕоге, сЬас ))вр)] < к)]вп)) + тк аах))Р )) < к))ва)) + ткк ))е р Ь РагсЬег ))ме]) < 2(К + К)))Е( ))) (8) ТМв Ео11овв Егоа сЬе 1педаа11с1ев ]) о)] = ]] о — *о)) < ]] о)) + )) о)) ))а')) < К ))Е )) , ))х')) < К))Е )), оЕ аМсЬ сЬе весопд со1пс1дев в1сЬ сопд1с1оп 2', апд сЬе сМгд в1сЬ 1пеОоа11су (4) Еог р = О.
ОпЪвс1спс1пк Ьоапд (8) Еог ) )во]) 1псо (7) ве вее сЬас ))аР)) < (г(К + К)К + тКК,)])Е )) 1с оп1у геаа1пв, пов, со посв сЬас ]].')) - )) ' ' "]] < )) ')) + ))")) < < )(гК(К + К) е тКК ] + К)))Е(Ь)))„ < Ь < (К(гк + 2К + ТК ) + К)))Е )) = с))Е )) Ь Ь ТЬапкв со сЬе гер1асеаепс оЕ сопд1с1оп 1' Ьу сопд1с1оп 1* опе сап поа, 1п сЬе 1пчевс18ас1оп оЕ всаМ11су, аррогс1оп сЬе д1111сп1с1ев Ьесаееп сЬе сопвсгасс1оп оЕ ап орегасог, К, чЬове погав аге пос соо д1111со1с со Ъоппд апд сЬе ргооЕ оЕ сЬе ех1всепсе оу а Еппсс1оп х .
1п йевапй1пк Егоа сЬе (Ь) всагс сЬас сопд1с1оп 1* Ье ваМвЕ1ед а1сЬ х О, 1.е. сЬас сопй1с1оп 1' (Ь) вЬоа1й Ье вас1вЕ1ед, ве аге Евров1пв сЬе всг1ссевс 11в1сасгопв оп сЬе сЬо1се оЕ сЬе орегасог К . 1с аау сагп оас сЬас апу орегасог, К , аМсЬ ае вапаке со сопвсгасс апдег сопдтс1оп !' в111 Ьаче а чегу соар11сасед Еога, во сЬас Ьоапд1пк сЬе погав оЕ 1св ровегв в111 Ье соо д1ЕЕ1са1с. Оп сЬе осЬег Ьапй 11 ве пиКе сЬе орегасог К ехсгеае1у в1ар1е, ееоа1 со опе 1ес ав Ь вау, апд пос 1п апу аау соппессед со сЬе д1ЕЕегепсе ргоЫеа, ве сгапвуег а11 сЬе д(ЕЕ1сп1с1ев со сЬе чег1(тсас1оп оЕ сопдтс1оп 1*, 1.е.
со сЬе соарасас1оп оЕ сЬе песеввагу Ьоппй Еог сЬе Еппсс1оп х аМсЬ 1п сМв (Ь) Ове оЕ Рагс1сп1аг Яо1пс1опв саье, 1с 1в кювс паспга1 со сесе еспа1 со п( ). ТЬе 1псгойпсс1оп оЕ впсЬ ап орегасог а , апй впсЬ а Еппсс1оп к , воп1й 1п по вау айчапсе опт (Ь) Ь' 1пчевс1дас1оп оЕ всаЫ11су. Опе кявс сгу со сЬоове ап орегасог, К , вЫсЬ 1в «в в1вр1е ав ровв1- Ь' Ые.
Оп сЬе осЬег Ьапй, Я вовс во Еа1сЬЕп11у геЕ1есс сЬе ргорегс1ев оЕ сЬе ййЕЕегепсе ргоЫеа Ь и ) = Е, сЬас ЕпИ111аепс оЕ сопй1с1оп 1*, 1.е. ехтвсепсе оЕ сЬе геап1гей Еппсс1оп, к, в111 Ье Еа1г1у с1еаг. 1с 1в о(сеп ровв1Ые со пве сЬе Егеейов ме Ьаче 1п сЬе сЬо1се оЕ К, сЬапхв со Ь' сЬе гер1асевепс оЕ сопй1с1оп 1' Ьу сЬе 1евв геьсгйсс1че сопй1с(оп 1*, со васе 1с еав1ег со ргоче всаЫ11су.
Рог сИв рпгрове опе пасек, ав к (Ь) Еппсс1опв сопвсгпссей Егоа сЬе ьо1пс1опв оЕ й1ЕЕегепсе ргоЫевв в1сЬ г19ЬсЬапй в1йев Е оЕ вове врес1а1 йога. (Ь) Ие в111 пою вЬом, Ьу чау оЕ ехаар1ев, Ьов со пве сЬе ргоровей аесЬой. Екаар1е 1 ° Сопвййег а й1ЕЕегепсе Ьоппйагу-ча1ое ргоЫев (1) оЕ сЬе Еога а в в+1 в р Ф , а О, 1, ° ° ° , М-1; МЬ 1, т Ь в' п = Ф(х ), в " О, 1, ..., М.
и( = 91(С ), р 1, 2, ..., (Т/т). (9) ТЬтв МТЕЕегепсе ргоЫеа арргок1аасев сЬе ргоЫев и -и =Ф(хс), 0<х<1, 0<с< Т, с к п(х,О) 9(х), (10) 0<х<1, п(1,с)=9(с), О<с<Т, 1 Еог сЬе Ео11оы1пс сЬо1се оЕ погвв ((и И = ввх вах(п (, (Ь) в )(Е (( = вах вак(ч ) + вах)9(х )) + (Ь) в а Ф (с ) — 9 (с -)ь~* )) ° -.-'-а-'.т — ~-~- Р Р То гейпсе ргоЫев (9) со сапоп1са1 Еога (2) ве вес п = (» , и , . ° ,, и ), ((и)( вах)п СЬарсег 13 412 Сопвсгпсс1оп о( сЬе Тгапв1с1оп Орегасог ТЬе орегасог В , Ь = В а саггу1пй сЬе е1евепс а (а , а , ..., в ) Ь' Ь О' 1' оу красе О 1псо е1епепс Ъ = (Ъ, Ъ, ..., Ь ) оЕ сЬе ваае красе, ч111 Ье 1' ' М йе(1пей Ъу сЬе еВпас1опв Ь = (! — г)а + га , а О, 1, ..., М-!, в а а+1' г = т/Ь, Ь О, М ТЬеп, оЬч1опв1у ф((с 1)'( РР фр фр фр 1с 1в с1еаг сЬас сопй1с1оп 1 )) )) < «,))Е(Ь')), Ь 1в пос вас1вЕ1ей Ьесапве сЬе 1авс ооаропепс оЕ сЬе чессог Р 1в ф1(с +1)/т, аЫсЬ Вговв ав т + О.
(Еп сЫв ргоЫеа 1с чоо1й Ьаче Ъееп ваву со Еогао1асе ап орегасог, В, впсЬ сЬас сопй1с1оп 1' еоп1й Ье вас1в(1ей. То йо сЫв 1с чоп1й впЕЕ1се, 1п сЬе йеЕ1п(с1оп оЕ В, со гер1асе сЬе еВпас1оп Ъ = О Ьу сЬе евпас1оп Ь = в .) Оп сЬе осЬег Ьапй 1с 1ап'с М ВЕЕЕ1со1с со вЬоа сЬас сЬе сопййс1оп 1* 1в вас1Ы1ей. ТЬе 1еус-Ьапй я1йе оЕ сЫв 1пейпа11су сап Ъе чг1сгеп 1п сЬе Еогв р р фр 1 Ре( 1 ~ Р+1 В ,р) ТЬеге(оге со ргоче сЬас 1* Еа Еп11111ей 1с 1в ап(11п1епс со сопвсгпсс а (Ь) Еппсс1оп, с , яас1в(у1пВ сЬе евпас1оп аЫсЬ аау Ъе чг1гсеп 1п сЬе Еогп р+1 (т ф (с )т( а = В г( + т ~О, О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
