Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Неге ие ргевепс вове арргоасЬев со сЬе миду оГ ьсаЫ11су а1геаду епсоипсегед 1п СЬарсег 8 (Ьис пои ч1евед ав весЬодя Еог Ьоипй1пН сЬе потев оЕ роиетв оЕ орегасогя) апд ЬЕ1пд оис пев вересов оГ сЬеяе арргоасЬеь. 1 Иесевввгу врессга1 сопд1с1опв Тот сЬе Ьоипдедпевв оЕ ((ВЬР((. Биррове Л 1в апу е1Непча1ие оЕ сЬе орегасог В апд и 1в сЬе соггев- (Ь) Ь (Ь) (Ь) Ь ропд1пр е1Непчессог, Р и = Л и . ТЪеп Ь ~!В~"'"'11 = 1ЛЬ~~1!.
апд сЬегеЕоге ( )ВРИ > (Л ( . 51псе Л 1в ап агЫсгагу есдепча1ие, сЬеп ИВР)) > (аах(Л )]Р, р 1, 2, °... [Т/т), (4) иЬеге пах ~ЛЬ! 1в сЬе 1агйевс аЬяо1исе ча1ие оЕ сЬе е1Непча1иев оЕ орегасог ВЬ. Ргоа (4) 1с 1в оЬч1оив (вее 515) сЬас, Еог (3) со Ье ввс1вЕ1ед, сЬеге виве Ье а с1гс1е (Л) < 1 + ст (5) 1а сЬе соар1ех р1апе, и1сЬ сопвсапс с 1пдерепдепс оЕ Ь, сопса1п1пй а11 сЬе е1непча1иеа оЕ орегасог В ТЬе аЬаче сопв1йегас1опв до пес Ьесоае еввепс1а11у вите соар11сасей, апй сЬе геви1ся геаа1п ипсЬапрей, 1Е ие сесе ая Л пос оп1у сЬе е1Непча1иев оГ сЬе орегасот В , Ьис а11 сЬе ро1пся оЕ 1св врессгиа. 11 О 1в а 11п1сеЬ 41аепя1опа1 врасе сЬе ярессгиа оГ сЬе орегасог В доев пос дерепй оп опе'в сЬо1се оГ вота, апд сопв1всв епс1ге1у оГ е1Непча1иев.
ТЫя 1я сЬе вовс 1арогсапс саве, иЫсЬ ег1яев пасита11у 1п сЬе арргох1аас1оп оГ НТЕГегепс1а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеав 1п Ьоипйед доааспя Ьу 411(егепсе ргоЫевв оп а пес, О , сопв1вс1пй оЕ а Г1п1се яес оЕ ро1псв. 1п сЫв саяе сопд1с1оп (5) 1в Ь' песеявагу Гог сЬе ча1141су оЕ (3), 1пдерепдепс оЕ сЬе сЬоссе оГ пота. ГЕ сЬе песеввагу ярессга1 сг1сег1оп Еог всаЫ11су 1в пос яас1вЕ1ей сЬе ргоЫев 1в Ьоре1евв1у ипясаЫе, «пд сЬе я1сиас1оп оаппос Ье сотгеисед Ьу впу геавопаЫе сЬо1се оГ потев.
Ап апа1ойоив я1сивс1оп иая 1пчевс1Насед 1п деса11 Еог сЬе саве оГ огд1пагу 41ГГегепсе еоиас1опв 1п $15. Ьес ив пои с1аг1(у сЬе соппесс1оп Ьесиееп сЬе Чоп Меиаапп врессга1 сг1сег1оп Еог сЬе всаЫ11су оЕ сЬе СаисЬу д1ЕЕегепсе ргоЫев, сопвйдегед 1п $25, апд сЬе врессга1 сг1сег1оп (5) Еог сЬе ип1Гога Ьоипдедпевв, (3), оЕ сЬе потев оГ роиегя оГ сЬе орегасог В . Не шау иве Еог сЫв ригрове, Еот Ь ехаар1е, сЬе 41ЕГегепсе ясЬеае !)пппб оп Г(отав оГ Роаегв оГ Орегасогв Ф23 р+! р р и -и и -п в в ае! а т Ь 'в' 'р ' п' - Ф[х ). =О,е1, ...; р О, 1, ..., (т/т)-1, (б) арргох1аас1пр сЬе СапсЬу ргоЫеа Эп Зп — - — = Ф(х,с), ас Эх <х<, О<с<т п(х,О) = Ф(х) ЯсаЫ!1су оЕ сИв й!ГГегепсе всЬеве чав всей(ей, в!сЬ сЬе а1б ГЕепаапп сг1сег1оп, 1п 125.
Ие поа аг1се сЬе вЬоче всЬеае 1п сапоа1са1 Гога (2), йеЕ ч = й и, апй р ч1а сЬе ехргевв1опв оГ сЬе чоп Гп1пр К г =т/Ь, ч = (! — г)п + гп а а в+! р' - Ф'[в Ф[х, с П. ОеЕ1пе сЬе пота 1п О Ьу сЬе еопас1оп и = [п [ [ехр[1ав)), Еог апу геа1 а, е1веп(ппсс1опв оГ сЬе орегасог К Ь [и[) = вор[а [ ° РЬеп Ье1опр со сЬе врасе О сЬе Еппсс1опв апд аге 1ав 1а(в+!) 1а 1ав «Ьп (! - г)е + ге — [(! — г) + ге ~е Л(а)п, аЬеге Л(а) 1 — г + ге 1а !/2 [[Ц-(Ь ) ') аге сЬе е1вепча1пев. ТЬе всаЫ11су сааб!с!оп (5), 1п ч1ее оГ сЬе Гасе сЬас Л(а) 1в 1пберепйепс оЕ т, гейпсев со сЬе гесп1геаепс сЬас [Л(а)[ < 1, еЫсЬ 1в вас1в11ед Гог а11 геа1 а ГГ г < !.
Ав вЬоап 1п 125 сопй1с1оп (5), 1п сЬе саве оГ сЬе СапсЬу ргоЫеа Гог а сао-1ече1 б!ЕГегепсе всЬеае 1п опе пес Еппсс1пп, 1в пос оп1у песеввагу, Ьпс а!во впестс1епс еог всаы!Есу 11 сье пота Ев веттпев ьу сье еепастоп 424 СЬарсег 13 Сопвсгисс1оп о( сЬе Тгапя1с1оп Орегасог (1п сЫв саве сЬе Еипсс1опя (ехр(1оа)~ йо пос ЬеЛопВ со сЬе врасе О„ апй, сопве9иепс1у, аге пос е10еЫипсс1опв, Ъис сЬе ро1псв (7) вс111 Ъе1опВ со сЬе врессгиа о( сЬе орегасог В ).
2. Врессга1 сг1сег1оп Еог сЬе ЪоипВедпевв оЕ роиегв оЕ а ве11ад)о1пс орегагог. Виррове сЬас сЬе М"61аепв1опа1 11пеаг врасе О сопв1всв оЕ Еипсс1опв йе(1пед ас сЬе ро1псв РЕ, Р2, ... Р оЕ а пес (а пес вЫсЬ, Еог оиг ригровев, шау е9иа11у че11 11е оп ап Епсегча1 ог вигЕасе, ог 1п а врасе) апй сЬас опе Ьав 1псгойисей 1п 0„ а вса1аг ргойисс чЫсЬ, Еог апу ра1г оЕ Еипсс1опв и апй ч Еп О„, че йев10пасе ая (и,ч). Виррове, ЕигсЬег, сЬас сЬе орегасог В 1в Ъоипйей, ип11ога1у 1п Ь, Ъу вове сопвсапс с Ь ((В И <с (В) апй харя врасе О„опсо вове яиЬврасе О„оЕ О„, оЕ 01аепа1оп М < М, вЫ1е оп сЬе виЬврасе О орегасог В 1в ве1(ад)о1ш, 1.е.
(В и,ч) (и,В„ч) Еог апу Ь ра1г оЕ Еипсс1опя и апд ч 1п О„. Ав 1в Впочп Егоа 11пеаг а10еЬга, 1п виЬ- врасе О„сЬеге ех1всв, 1п сЫв саве, ап огсЬопогаа1 Ьав1в (1) (г) (м) (9) сопв1вс1пВ оЕ сЬе е10епчессогя оЕ арегасог В , Оев10пасе Ьу Л , Л Л сЬе соггевропй1пВ (геа1) е10епчаЛиев: М (10) ТЬеогеа !. Рог ЬоипН (3) Со Ье ваНеу1в<Е (С Вя пеоееяогу апН ви~~ВоВепс сЪос ~~(<1 с сопяс ° 2 РгооЕ. Месевв1су Ьав Ъееп ргочеп 1п Васс. 1 аЬоче. Ьес ия поч ргоче яи(11с1епсу. Яирраве и 1в 1п О . Варвара сЬе чессог ВЬи " ч (вЬеге ч 1в 1п О ) 1п Ъав1в чессогв (9): , Ъу (10), М ВРи ВР ч = ~ (ЛР а )Ф Ь Ь 425 143 Воопй оп Рогах оЕ Рочегв оЕ Орегасогв !/2 )(Рпи = 1 (оЛ ) ) < лс ! 1/2 < шах )ЛР /( Лг о2 ~ швх /Л~ ) ' )/ч И .
(!2) Кос1гК сЬвс, Ьу Во ° (В), !/ч Й = /!В и// < с /)п//, апй са11пВ ассоппс оЕ сопй1с1оп (!!), Егоа Ьоопй (!2) ше йейосе (3)! с Т И К„)( < с аах)Л ) < с (! + с т) < с (! + о г) < с е К. Ве1оч яе евсаЫ1вЬ вове сг1сег1а Еог сЬе ве!Евй)о1пспевв оЕ орегасог К , впй ро1пс оос вове аесЬойв Еог Ьоппй1пВ е1Вепча1оев.
Ь' 3. Ве11ай5о1пспевв сг1сег1в. Уе пов 1псгойосе сЬе посас1оп (п,ч) — ) п(Р )ч(Р ) (!3) апй аввпше сЬас сЬе вса!аг ргойпсс 1п обе враге О 1в йе(1пей Ъу сЬе Ь еоовс1оп (п,ч) !о,ч). (!4) Впррове, ЕпгсЬег, сЬас сЬе орегасог К , Ь = К в, 1в В1чеп ч1а сЬе ехргевв1опя Ъ~Р ) ЕЛ о а(Р оЬеге Р апй Р гпп сЬгопВЬ шЬо1е вес оЕ пес-ро1пся.
в ве!Еай)о1пс 11 апй оп1у 1Е Орегвсог В 1в (!5) а в о св вс Ъ(Р ) г1 а а(Р,), Р, пос 1п Г,, в Ъ(Р ~ О, Р 1пГ (!б) !и ап 1псегргесас1оп 1пйерепйепс оЕ сЬе ппшЬег1пВ оЕ ро1псв, сЫв сг1сег1оп вшапя сЬас, 1п сЬе ооаросас1оп оЕ Ъ(Р) ас впу вгЫсгвгу ро1пс Р оЕ сЬе пес, сЬе ча!пе а(О) ас апосЬег агЫсгагу ро1пс, О, апас епсег в1сЬ сЬе ваше ооеЕЕ(с1епс ч1сЬ аЫоЬ сЬе ча1пе оЕ а(Р) осспгв 1п сЬе ехргевв1оп Еог Ъ(О) ° 11, ашопК сЬе пес ро1псв (Р ), опе Ьав в1пВ!ей опс яоае воЬвес Г (сЬе К Ь Ьоппйагу оЕ сЬе геВ1оп) апй сЬе орегасог КЬ 1в В1чеп Ьу сЬе ехргевв1опв Сопвсгисс1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегасог СЬарсег 13 428 сЬеп оп сЬе виЬврасе О' Вс(. ( 18) 1в еви1ча1епс со сЬе Ео11ои1пйе Ь(Р„) 2 о а(Р ), 11 Р 1в пос 1п Г Р аос 1п Г Ь(Р ) О, 1Е Р„ 1в 1п Г Ь ТЬе сапйЕс1оп Еог ве1Еай)о1пспевв о( сЬе орегасог К оп ЕЬе виЬврасв О сЬеп сопв1всв, ав опе сап еав11у вее, о( сЬе ециас1опв (17) Р пос 1п Г , Р пес 1п Г в Ь' Ь Ь а а Ьв вс ТЬив, Еог ехаар1е, сЬе орегасог Ь К а, Ь Ь (1 — 2г)а + г(а + а ), Ь = 1, 2, ..., М-1, Ь-1 Се1 Ь Ъ О, О М (КЬи ,и (ВЬи ,и ) аах и 1пО Ь и 1пО Ь (18) Виррове, Еог ехаер1е, сЬе орегасог Л + Л ассе оп аес Еипсс1опв оЕ врасе хм уу О„, Еипсс1опв вЫсЬ аге йеЕ1пей, пос оп а веиаге, Ьис 1п а аоге соер11сасей ге81оп соаровей оЕ вОиагев, апй иЫсЬ чап1вЬ оп сЬе Ьоипйагу оЕ сЫв ге81оп.
Ьес ив рис сЬе ге81оп Ьн а вОиаге пес-ге81оп 1агйе епоиВЬ со сопса1п 1с, апй сопвййег сЬе орегасог Л + Л всс1пх оп сЬе Еипсс1опв оЕ хх уу О , йе(1пей 1п сЬе пес"в)ваге апй чап1вЫп8 оп 1св Ьоипйагу. Ь Е(е пов ехсепй сЬе йе(1п1с1оп оЕ еасЬ Еипсс1оп и оЕ О во сЬас 1с ЬеЬ сопев а Еипсс1оп и оЕ О„ , весс1п8 сЬе ехсепйей Еипсс1опв 1йепс1са11у ееиа1 со мего оп а11 сЬове ро1псв оЕ сЬе пес-вииаге иЫсЬ йо пос Ье1оп8 со сЬе ог181ов1 ге81оп.
1с 1в ваву со вес сЬас Еог еасЬ висЬ Еипсс1оп, Ьесаиве оЕ сЬе Еасс сЬас 1с чап1вЬеа оп сЬе Ьоипйагу оЕ сЬе ог181па1 ге81оп, ие аау иг1се сЬе 1пеОиа11су иЫсЬ оссигв иЬеп сЬе 81ЕЕегепсе апа1о8 о( сЬе Ьеас еииас1оп оп ап 1псегча1 1в гейисей со сапоп1са1 Еогш (2), вас1в(1ев сои(111оп (!7), Ьис пос сопй1С1оп (15) ° 4.
Воипйв оп сЬе е18епчаЗиев оЕ орегасог В , 1п сегса1п савва сЬе е18епча1иев сап Ье ег1ссеп оис ехасс1у, ав вав йопе 1п 527 Еог сЬе орегасог Л асс1п8 оп Еипсс1опв 81чеп ас сЬе ро1псв оЕ а пес-вейвепс, апй чап1вЫп8 ас 1св епйро1псв; апй а1во Еаг сЬе орегасог Л + Л оп Еипсс1опв йе(1пей хм уу очег а пес гессап81е, апй чап1вЬ1пй оп 1св в1йев. То йеа1 в1сЬ ве1(ай7о1пс 81ЕЕегепсе орегасогв опе сап вахе иве оЕ чаг1ас1опа1 аесЬойв. 1с 1в Споип сЬас, 1п сЫв саве $43 Воипй оп Ногая оЕ Ровегв оЕ Орегасогв 427 (К и ,и ) (К и ,и ) Ь ' Ь Т'",:Т Т Т К Л + Л Ь «х уу и,и ТЬегегоге, 1п Во1пВ Егов Ков. (18) со сЬе ейиас1опв (К и ,и ) айп Л ,, Т)-.—.Ч- в1п' и' 1пО (К и ,и ) аа« Л" и,и пах и'1пО ие Вес пиаЬегв, Л апй Л, вМсЬ яас1яЕу сЬе Ьоипйя в1п вах' Л < Л' в1п — в1п' Л < Л аૠ— пах (19) и =Ли н ~ О "О, вЬеге ЕЬ 1в сЬе Ьоипйагу оЕ пес-геВ1оп О апй иЬеге, ас 1псег1ог ро1пся, 1 Ь Ри - =— [а(х Е«, у )(и -и ) ппт г в ' п а+1,п вп Ь -а(х — —,у)(и-и)1 в 2' п пв а-1,п ' + — [Ь(х , у + -)(и — и 1 Ь Тг в' п 2 в,п+1 вп — Ь(х, у — -)(н - и )[, а(х,у) ) О, Ь(х,у) ) О, сап оп1у йесгеиве вЬеп сЬе чаг1аЫе соеЕЕ1с1епсв, а(х,у) апй Ъ(х,у) аге гер1асей Ьу сЬе сопвсапсв Ъ = вах Ь(х,у) х,у а = вах а(х,у), х.у ТЫв аау Ъе вЬотпп Ьу ехасс1у сЬе яаае аесЬойв Ьу вМсЬ апе геасЬев сЬе апа1ойоив сопс1ив1оп Еог й1Е(егапс1а1 есиасгопя (КеЕ.
19), Вис 1п сЬе саве оЕ сЬе всиаге геВ1оп сЬе е1Вепча1иев аге Кнопп, яо сЬас апй Л" аге Кповп, аай ве Вес Ьоипйв (!9) оп сЬе Ьоипйа«1ев оЕ сЬе а(п вах врессгиа оЕ сЬе орегасог Л + Л асс1пВ оп сЬе Еипсс1опя оЕ О„, йе11пей х« уу 1п сЬе ог1В1па1 геВ1оп. 1п папу савва ве пиу Ьонпй е1Вепча1нев сЬгоиВЬ иве оЕ чаг1ас1опа1 весЬойя апа1оВоив со сЬояе Еог й1ЕЕегепс1а1 еоиас1опв. Рог ехаар1е сЬе Е1гвс е1Кепча1ие оЕ сЬе ргоЫеа Сопвсгисс1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегасог СЬарсег 13 1п СЬе саве оЕ сопвсапс соеЕЕ1с1епса опе гей1оп со а в9иаге, апд Вес Ьоипдв в1а11аг со сЬе орегасог аИ + ЬЛ 1п сЬе в9иаге геВ1оп хх уу ехасс1у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
