Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 60
Текст из файла (страница 60)
.. ° , О, т ог 413 Ове оЕ Рагс1сп1аг Яо1пс1опв $42 Ре) Р Р Р в а в+1 а т Ь О, в = О, 1, ° ° ° , М-1, р+ 1 Тп сЬе саве аЬеге Ф (с ) 4оев пос Иереей оп с сЬЕв ргоЬТеа Ьав сЬе 1 р+1 всас1опагу (1 .е. р-1поерепоепс) во1пс1оп и е р = сопвс. Р 1п сЬе пепега1 саве Фр = Ф (с ) йерепйв оп р Ьпс, Еог а Ьоппоео пота Е(Ь) 1 1 р ((Е ~ ~ (сопса1п1пд сЬе сего (ф (с 1) — ф (с ) ~ут) 1с саппос чагу чету Ь (Ь) гар141у. ТЬегеуоге сЬе Еппсс1оп с, де11пей Ьу сЬе еепас1оп ср в р)(с ), а а1сЬопдЬ пас а всас1опагу во1пс1ап (пот а во1пс1оп ас а11) оЕ ргоЬ)еа (11), "а1аовс" вас1в11ев (11) ° 1п (асс р ! "А-'-"(с) "1(с ) — "') т Р (с ) - Ф1(с ) Ф1(с 1)) т т ТЬеге(оге 1 т М-1 т Сопй1с1оп 1* 1в вас1в11ей) К 1 апд с( ) вас1вЕ1ев сЬе 1пеепа11су С асс(оп г Сопясгнсс1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегасог СЬврсег !3 ))„о)) < к ))е("))) 1в а1во вас1в11ей: ))нв)) = вах ))но)) аах )Р[х )) < ))Е [[ То ргоче всаЫ11су, аЬ1сЬ 1в ргевепс Еог т < Ь, 1с 1я внЕЕ1с1епс со вЬое сЬас [)КР)) < !.
ТЬе ча11й1су оЕ сЫв 1пеОна11су Ео11очв Егов сЬе Ь Ьонпй [)К )) < 1! ))К а)) = вих)а (! - г) + га ) < аах)а ) = )[а[) Кхавр1е 2. Ке ч111 саСе, ав а воге соар11сасей ехаар1е, а й1ЕЕегепс й1ЕЕегепсе всЬеае Еог сЬе паве й1ЕЕегепс1а1 Ьоопйагу-ча1не ргоЫеа (10): в а а+! а-! н -2нр+н т на+! в в! р 2 = Ф Р=О, 1, ..., [Т(т[-1; в 1, 2, ° ° ., М-1, нв = Ф[х ), в О, !. ° ° ° , М, [с ), р О, 1, ..., [Т(т[-1, р+! (!2) р+! р р н( — нО н! — нО т Ь р = О, 1, ..., [Т(т[-!. 0' Р+1 Р Р Р "0 "о "! "О р т Б ~0' еЫсЬ че ч111 нве 1п сЬе Тога Р+ ! н=(1-г)н +го етф 0 0 ! 0' 01ЕЕегепсе всЬеае (12) Ьав а1геайу Ьееп сопв1йегей 1п %23, еЬеге ае й1вснввей сЬе Оневс1оп оЕ арргох1вас1оп. Мотая 1п сЬе врасе Р веге Ь 1псгойнсей, сЬеге, ав Ео11оев: 11 ТЬе й1ЕЕегепсе еОнас1оп чЫсЬ осснгв 1п сЫя всЬеве 1в оЕ весопй огйег 1п х, чЫ1е сЬе соггевропй1пК й11(егеас1а1 еснас1оп (10) 1в Е1гвс огйег.
ТЬеге(оге ас сЬе 1е(с-Ьапй Ьонпйагу х 0 (а = 0) че паче аййей сЬе сопй1с1оп Ове оЕ Рагс1сп1аг Оо1сс1опв РО1псв (аЬ О) (Ь) сЬеп 2+1 Р ) )Е [) Ь вах [с[ [ + Ь вах Р Р М 1/2 р Ьр — ЬР [а )2 ) + вах)ЬР[ + щдх[Ь вЂ” Ь ~ е аах цдх[фР) а=О р р р в Ав вав вЬоеп 1п 123 арргохсаас1оп, 1п сьсв саве, 1в оЕ огрех Ь . Ьес пв пое вЬов сЬас, 11 юе де(1пе СЬе пота ) )п [ [ Ьу сЬе есеас1оп (Ь) ОЬ 1/2 ))и [[ = вах ( — )о ) + Ь ) )и ) / (Ь) /Ь Р2 М Р2) Р ш 1 в1сЬ г < 1 сЬеп, а1опр в1СЬ арргохсаас1оп, ве а1во пате всаь111су ° Ие тег1(у всаь111су, 11гвс Ьач1пр Ьгопрьс ЙЕЕЕегепсе всЬеве ( 12) 1псо Еогш (2). Рог сьгв рогрове ве вес в1сЬ поги 1/2 /1 2 М 21 ) [" [) -~-2) О) " ~ ).в) ТЬе орегасог В в111 Ье йе(1пед ч1а сЬе Ео11ов1пх ееаас1опв: 11 а (»,, а, ..., а ), Ь = (Ь, Ь1, ° ° ., Ъ ) апа Ь М а, сЬеп г)а + га г 2 г г2 + †)а + (1 - г2)а + (- + †)а 2 а-1 а 2 2 а+1' Ь =(1 О г 2 (13) ш 1, 2, ° ° ° , М-1, Ь О. М 1п сЬ1в саве а аг Ь ас Р с ас ро1псв (1, рт), ро1псв (О, рт), ро1псв (вЬ, рт), р - О, 1, ..., [т/т[.
р = О, 1, ..., [т/т[-1, в 1, 2, ° ° ° , М-1,' р = О, 1, ..., [т/т[-1, 416 Сопвсгисс1оп оЕ сЬе Тгапв1ссоп Орегасог СЬарсег 13 р,(с,) 1) „Р = рр др др [ О' 1' " '' М-1' т С1еаг1у, ю1сЬ оиг сЬо1се оЕ потев сопд1с1оп 1' 1в пос вас1*Е1ед. 1п Еасс, 1Е, Еог ехапр1е (Ь) сЬеп р=(1,0,...,0),[[о р р )(Е [[ = Ь, во сЬас сЬеге сап Ье по К Еог имссЬ сЬе 1песиа11су ))р [[ < К ((Е ([ и111 Ьо(д Еог а11 Ь.
Рог оиг сЬо1се оЕ сЬе враге 0 , сопв1вс1пр оЕ сЬе хессогв ир- Ь' (ир, ир, ... Р), аад Еог оиг сЬо1се оЕ потев 1с 1в, аррагепс1у, 1аров- 0' 1' ' м в101е со 11пд ап орегасог, К, висЬ сЬас сопд1с(оп 1' и111 Ье вас1в11ед, Ьис со вас1вЕу сопд1с1оп 1* тв ровв1Ь)е, е в е е е * Ве(оге ргох1пм смсв 1авс аввегс1оп ие посв сЬас, 1Е ие сЬапме сЬе поги ((Е( () веСС1пр РЬ 1/2 ()Е (( /Ь аах (ср( + Ь 1 (а [2) + аах! — ) + аах пах [фР( (Ь) [Ьр[ Ь а=о а сЬеп сЬе орегасог К деЕ1пед Ьу ВО. (13), и111 вас1вЕу сопд1г1оп 1', Ьис Ь 2 3/2 сЬе огдег оЕ арргох1аас1оп (1пвсеад оЕ ЬЕ) и111 Ье оп1у Ь / .
Яе сап, е1сЬоис «Ьапс1пд сЬе погае, Ьг1пс СЬе д1ЕЕегепсе Ьоипдагу-ча1ие ргоЬ1еа (12) со сапоп1са1 Еога (2), оп 11а ооп(ога1пК со сопд1с1опа 1' апд 2', 11 ие саСе ав 0„ сЬе вес оЕ иессог Еипсс1опв а О, 1, ° ° ., М. О ас ро1псв (пЬ, 0), 0 ас ро(псв (1, рт), 1 ас ро1псв (О, рт), 0 ас ро1псв (пь, рт), О, 1, ..., [Т/.[. О, 1, ..., [Т/т!-1, 1, 2, ..., М-1; О, 1, ..., [Т/т[-1, 417 Ове оЕ Рагс1сы1аг Яо1ыс1опв Выс пе сЬеп соар11сасе сЬе сопвсгысс1оп оЕ сЬе орегасыт, К , апй сЬе евс1аас1оп оЕ потев оЕ 1св ровегв. Рог сЬЕв геавоп ве в111 пос сопв1йег высЬ а гейысг1оп ртосевв.
Ьес ыв вЬов сЬас, Еог оыг сЬо1се (13) оЕ сЬе орегасог К , сЬеге ех1всв Ь' а ср, вас1вЕу1пй сопй1с1оа 1*: Йр- — (х-Кв)Й <К!!Е И То сопвсгысс сЬе Еыпсс1оп в ве ргосеей чету пысЬ ав 1п ехавр1е 1, (Ь) вг1с1пй оыс сЬе всас1опагу (р-1пйерепйепс) во1ыс1оп оЕ сЬе ргоЬ)еа т 2Ь 2 1,2 1, 2, ° ° °, М-1, гР' - ср гР - ср О О 1 О (14) фр О' ровсп1ас1пК СЬас ф апй фр аге Е1хей, апй йо пос йереай оа р. О 1 ТЬЕв во1ыс1оп Ьав сЬе Тога а М) ТЬе Еыпсс1оп (сР) вас1вЕ1ев сЬе Ьоыпй К=2 ° 1п Тасс 1/2 2'т '42 ~ О~ ~ ~ п~ 7' а 1 < 2Ь вах)фР) е вах)ф (с )( < 2 И Е И Р Ш Ь Р 1 р а а Р Р с -2с +с а+1 а-1 т а+1 а а-1 О т Ь Р фр М 1' СЬарсег 13 Сопвсгпсс1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегасог 418 1' и х - ВЬх ° РЕЕ р х Р = К хр е тбР, 6Р (РР 0 О 0 ! Р ) р!(с ) ТЬегеуоге хр — хр + т6Р, во сЬас Мт ь(Ф - ср) — + ' )е - Ег е) ) + 0 0 2 [ г + 1 + СРЕ( „ ) - р!Сс )) + тжОР, ~ Г'-,') '','[(;;,')"- (,',,')"~ ° + (РЕ(с ,) — РЕ( ,)).
1 <а<М, О, ев оЕ сЬе чессог р р(с ) р Ь ~ р+1 р т 0 0 рр — Ер/т паче сЬе Еога ) ' "[ — (К+"~, ТЬегеЕоге сЬе соогйЕпас т О О 2 [ г + 1 Р1(с 1)— М -~ —;,,') ~+р,' 0<а<М, ТЬе 1перпа!1су сопвс1спс1пМ соп61с1оп !* ))Р )) = )) — †, ( — КЬ ))) < ЕЕ,))Е 1в ваС1вЕ1ей: 61псе хр 1в сЬе во1пс1оп оЕ а с1ае-1пйереп!епс ргоЫеа ве аау ег1се Ове оЕ Рагс1си1аг Яо1ис1опв !/2 2М!2! )! )! =(-,!.! ° Е !?! ) Р!!. „) 6!! ) Ь! 6, 6,! (Ь) < + + вах!Ф ! < в Ь Соп61с1оп 2' 1в вас1в(1ей, )!.6)! < «,)! 'ь'!! в1псе, с1еаг1у !/2 !/2 )!„О!! ( и )„г! „ Ь ') !„а)г < !Ь ! )„В!г < ))Е(Ь))! Ь То ргоче сЬас сЬе ргоровед всЬеве 1в всаЫе, вЫсЬ 1с 1в Еог г < 1, 1с 1в вс111 песеввагу со ргоче сЬас, ипйег сЫв соп61с1оп, !)КР)! < К, р = ! 2, ..., (т/ ), (!5) вЬеге К 1в вове сопвсапс 1пйерепйепс оу Ь. Уе е111 ргоче 1асег сЬас Еог апу чессог, и = (и, и, ..., и ), вЬове 1авс совропепс и 1в еоиа! со М сего, юе Ьаче СЬе 1пепиа11гу )! Ь )! < )! )! (16) !)КЬи!! " !)Р„! О, , ° ° , „ , О) + МР (О, О, ..., О, !))! < < !)Р (иО, и , ..., и , О))! + )и ! /Ь < < )!! , и1, ° ° ° , иМ , О))! + )!(О, О, ..., )!! < 2)! )), ))Р.
)! < 2. (!7) Мов ве ргоче 1пееиа11су (!5). 1п ч1ев оЕ сЬе йеЕ1п1с1оп оЕ сЬе орегасог К сЬе чессог ч в и Ьав сЬе чап1вЫп« совропепс ч , ч 0 ° Ь Ь М' М ТЬеге(оге, ив1п« (16) апй (17), ве Кес АРР1у1п« сЬе орегасог В со сЬе чессог и (О, О, ..., 1) ве Кес сЬе чессог (О, О, ° ... О, 1/2 г + 1/2 гг, 0), чЬове поги доев пос ехсеей «'Ь. ТЬегеуоге Еог ап агЫсгагу чессог и = (и , и , ..., и ), чЬове совропепс и 1в пос 1' ' М песевваг11у сего ве вау ег1се (са«1п« ассоипг оЕ 1песиа11су (16), ча116 Еог а чессог оЕ сЬе Еогв и (и , и , ° ...
и , О)), СЬарсег 13 Сопвсгисс1оп оЕ сЬе Тгапв1с1оп Орегагог 420 ))ййии '))й (й и))! = ))К ч'!) < ))ч!) ))К и!'! < 2!)и!), ))К !! < 2 - =К. 1с геаа1пв Еог ив со )ивс1(у 1пепиа11су (!6) ироп чЫсЬ че Ьаче ге11ей, 1,е. со ргоче сЬе Ео11оч1пй ргоров1с1оп. Яиррове и = (и , и , ..., и , О) 1в ап агЫсгагу чессог шЬове 1авс соаропепс, и , 1в ейпа1 со сего, апо 1ес ч а КЬи. ТЬеп ))ч~) < И и))! 1.е.
1/2 М !/2 (-в~ +Ь ! ч ) <(-и +Ь 1 и~) ш 1 ш=1 (!К) Кеса11 сЬас, Ьу ч1гсие оЕ йеЕ1п1с1оп (13) оЕ сЬе орегасог К Ь ч (1 - г)и + ги О О 1* ч (- — + †)и + (! — г )и е (- + †)и а 2 2 в-! а 2 2 в+1' а = 1, 2, . ° ., М-1, ч О. М йе посв сЬе 1пейиа11су гг 2 — )и г) и2 + ~! - гг) 2 в-1 г(! - г )и и + г(! - г )и и а-1 а а в+!' чЫсЬ 1в вас1вЕ1ей Еог г < 1, апй а1во сЬе оЪч1опв 1йепг1су г2(1 - г) 2 г2(! е г) 2 + 1 — г + 2 — 1, Моа Еог г < 1 1с 1е ваву со ч г11у, осер Ьу веер, сЬе ча11й1су оЕ сЬе Ео11оч1пй сЬа1п оЕ 1пейпа11с1ев, а1сЬоис гейи1г1пй сЬас и = О: г2 чг < ((- в + †)и + (! - г )и + (-2 + г 1 - г ги + и )2 = ш ш+1 2 г2(! + г) и +~ — и а ш+1 643 Вовой оп Мотов оГ Роаегв оЕ Орегасогв - г(! - г ]п п + г(! — г ]п и ] а"1 а а а+1 1 2 М вЂ” (о(1-г)+пт] + ] пг+ 2 О гг(1 — г) 2 М-1 2 ' 2 т 2 М гг (1 — г) 'Е О а] 2 О п + 4 п — — (и + ((! — г)п + гп О ! 2 М-1— „2 < а=1 ТЬе гево1сЕпй епегйу Епеопа11су 1в всгопдег сЬап сЬе 1пеопа11су (1В) аЫсЬ ве вес оос со ргоче.
ТЬов ае Ьвче евсаЫ1вЬей сЬе всаЫ11су оЕ всЬеае (12) Еот г < 1. Рог г > 1 ве йо пос Ьаче всаЫ11су Гог апу геавопаЫе сЬо1се оГ пота, в1псе сЬе песеввагу всаЫ11су сопй1с1оп оЕ Сопгапс, Рг1ейг1сЬв апй сечу 1» ч1о1асей. 143. Вове аасЬойв Еог Ьоппй1пВ потап оЕ роеегв оЕ орегасогв 1п 1141 апй 42 1с ааь вЬоап сЬас ечо1пс1опа1 й1ГЕегепсе всЬеаев !.и( =Е( Ь огй1паН !у гап Ье Ьгопгпт со сЬе Гога р+1 р р и =Вп +то Ь (2) п 21чеп впсЬ сЬас всаЫ11су е111 Ье еоп1ча1епс со сЬе Ьоопйейпевв, пп1Еога 1п Ь, оЕ сЬе потев оЕ роеегв оГ сЬе сгапв1с1оп орегасог — ч + 1 чг < — (п (1 - г) + и г) + 2 О а — 2 О а=1 ! М-1 2 ~г ( - т) 2 е (! 2) 2 е г (! + т) 2 а=! 2 а-1 а 2 а+1 + [ г (1 — г) г (! + г) 2 О 2 1 ог " г(1 - г)п и О ! М М вЂ” ч2 + ~ ч2 < — п2 + ~ п2 г о а — г о а=1 а=! М < ~ от + 1 от ° а=1 Сопвсгисс1оп оГ сЬе Тгапв1с1оп Орегасог 422 СЬарсет 1Э И ВЬР И < К, р - 1, г, ..., !Тут). (3) Я1псе сопд1с1оп (3) 1я еои1ча1епс со всаЫ11су, 1с Ео11аив сЬас апу аесЬод Еаг всийу1пй всаЫ11су 1в а1во а весЬод Еог севс1пН чЬесЬег ог пос 1пейиа11су (3) 1в вас1я11ей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
